Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 - Mã đề 135 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 - Mã đề 135 (Có đáp án)

1. ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA 2019 Môn thi: Toán THPT Thời gian làm bài: 90 phút; Mã đề thi 135 1 1 Câu 1: [2D3-3] Cho các số thực m,n thỏa mãn 1 x dx m và 1 x dx n; trong đó a,b ¡ a b b và a 1 b. Tính I 1 x dx . a A. .IB. . C.m n I n m I m n .D. I m n . Câu 2: [2H2-2] Một hình nón có chiều cao bằng a 3 và bán kính đáy bẳng a . Tính diện tích xung quanhSxq của hình nón. 2 2 2 2 A. B.Sx q a . Sxq 3 a . C. Sxq 2 a . D. Sxq 2a . Câu 3. [2D1-1] Cho hàm số y x4 2x2 3. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0 .D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . 2x 1 Câu 4. [2D1-1] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y ? x 2 A. B.y 2. y 2. C. x 2 .D. x 2. Câu 5. [2D1-1] Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Hàm số f x đạt cực đại tại điểm nào dưới đây ? A. x 0 .B. .C. .D. . x 1 y 0 x 1 Câu 6: [2H1-1] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và có độ dài bằng a . Tính thể tích khối tứ diện S.BCD . a3 a3 a3 a3 A. .B. .C. .D. . 6 4 3 2 Câu 7: [2D1-1] Đồ thị của hàm số y 4x4 2x2 1 và đồ thị của hàm số y x2 x 1 có tất cả bao nhiêu điểm chung? A. 3 .B. . C.1 . D.2 . 4 1 Câu 8: [2D3-2] Tìm nguyên hàm của hàm số f x . 3 2x 3 3 A. f x dx 3 4x2 C .B. f x dx 3 4x2 C . 2 4 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 1/27 – Mã đề 135
2. 3 3 C. f x dx C .D. f x . dx C 3 4 3 4 4 16x 8 16x Câu 9: [2D4-1] Tìm phần ảo của số phức z 1 i 2 1 i 2 A. 0 .B. .C. .D. . 4 2 4 Câu 10: [2D2-1] Với các số thực dương a,b,c bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là sai ? a A. ln ln a ln bc . B. .ln abc ln a ln bc bc 1 ab b C. ln ln a ln bc .D. . ln ln a ln abc c c Câu 11: [2D2-1] Tìm nghiệm của phương trình log3 x 1 0. 1 1 A. x .B. x .C. .D. . x 1 x 1 3 3 Câu 12: [2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ n 0; 1; 1 . Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng được cho bởi các phương trình dưới đây nhận vectơ n làm vectơ pháp tuyến ? A. .xB. 0 x y 0 .C. y z 0 .D. . z 0 Câu 13: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 0; 1 , B 0; 2;1 và C 3; 0; 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng ?         A. AB AC 0 .B. AB.AC 0 .C. .D. . AB AC AB 2.AC x Câu 14: [2D2-1] Tính đạo hàm của hàm số y log3 3 1 . 3x 3x ln 3 ln 3 1 A. y ' .B. y .'C. .D. . y ' y ' 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 ln 3 Câu 15: [2H2-1] Khối đa diện nào được cho dưới đây là khối đa diện đều ? A. Khối chóp tam giác đều. B. Khối lăng trụ đều. C. Khối chóp tứ giác đềuD. Khối lập phương. 1 3i Câu 16: [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn z . Tìm môđun của số phức w i.z z. 1 i A. w 2. B. w 3 2. C. D.w 4 2. w 2 2. Câu 17: [2D4-1] Giả sử M , N, P,Q được cho ở hình vẽ bên lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1, z2 , z3 , z4 trên mặt phẳng tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Điểm Q là điểm biểu diễn số phức z4 1 2i. B. Điểm M là điểm biểu diễn số phức z1 2 i. C. Điểm P là điểm biểu diễn số phức z3 1 2i. D. Điểm N là điểm biểu diễn số phức z2 2 i. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 2/27 – Mã đề 135
3. Câu 18: [2D4-2] Cho số phức z bất kỳ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. B.z2 C. z 2 . z.z z 2 . z z . D. z2 z 2 . Câu 19: [2H1-1] Cho tứ diện ABCD . Gọi B ' và C ' lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB 'C ' D và khối tứ diện ABCD . 1 1 1 1 A. .B. . C. . D. . 4 2 6 8 Câu 20: [2D3-2] Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x cot x và F 1. Tính 2 F . 6 3 3 A. F 1 ln .B. F 1 ln 2 .C. .D. .F 1 ln F 1 ln 2 6 2 6 6 2 6 Câu 21: [2D2-1] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log2 log 1 x 0. 2 1 1 A. S 0; .B. .C. .D. . S 0;1 S ; S 1; 2 2 Câu 22: [2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2; 1;1 và B 0; 1;1 . Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. A. x 1 2 y2 z 1 2 8 .B. x 1 2 y2 z 1 2 2 . C. . D.x . 1 2 y2 z 1 2 2 x 1 2 y2 z 1 2 8 Câu 23: [2D2-1] Với các số thực dương a;b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a3 lnb a3 3ln3 A. log27 log3 a .B. . log27 log3 a b 3ln3 b lnb a3 lnb a3 3ln3 C. .lD.og 2.7 log3 a log27 log3 a b 3ln3 b lnb Câu 24: [2D2-1] Cho biểu thức P 6 x.4 x5. x3 , với x 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 47 15 7 5 A. .PB. x 48 P x16 .C. P x16 .D. . P x 42 Câu 25: [2H2-3] Trong không gian, cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A, D ) có AB 3, DC AD 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay nhận được khi quay hình thang ABCD xung quanh trục DC . 7 5 4 A. V 2 . B. V . C. D.V . V . 3 3 3 x2 3 Câu 26: [2D1-2] Cho hàm số y . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x 2 A.Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2. B.Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 3. C.Giá trị cực tiểu của hàm số bằng D.1. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 6. Câu 27: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;3; 1 , B 1; 2;4 . Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng AB. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 3/27 – Mã đề 135
4. x 1 t x 1 y 2 z 4 A B y 2 t 1 1 5 z 4 5t x 2 t x 2 y 3 z 1 C. y 3 t .D. . 1 1 5 z 1 5t Câu 28: [2D1-4] Cho hàm số y f x xác định trên 0; , liên tục trên khoảng 0; và có bảng biến thiên như sau Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f x m có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 0;2 và x2 2; . A. 2;0 .B. 2; 1 .C D 1; 0 3; 1 3 2 Câu 29: [2D3-3] Cho hàm số f x liên tục trên  1; và f x 1 dx 4. Tính I x. f x dx. 0 1 A IB. .C.8 I 4 I 16 . D. I 2 . Câu 30: [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình x 2 2 y 1 2 z 1 2 1 và mặt phẳng P : 2x y 2z m 0. Tìm giá trị không âm của tham số m để mặt cầu S và mặt phẳng tiếpP xúc với nhau. A. m 1. .B. m 0. C.m 2. D. m 5. Câu 31: [2D4-3] Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn điều kiện z2 4 2 z . Đặt P 8 b2 a2 12. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 2 2 2 A. .PB. .C. z 2 P z 2 4 P z 4 .D. P z 2 2 . Câu 32: [2D3-3] Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y ln x, y 0, x 1 và x k k 1 . Gọi Vk là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình H quay trục Ox. Biết rằng Vk , hãy chọn khẳng định đúng ? A. .3B. k 4 1 k 2.C. 2 k 3 .D. 4 k 5. Câu 33: [2H2-2] Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập phương cạnh 1m chứa đầy nước. Đặt vào trong thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 4/27 – Mã đề 135
5. 1 11 A. . B. . C. D. . . 11 12 12 12 x y 1 z Câu 34: [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho, đường thẳng : . Xét 1 1 2 mặt phẳng P : x my m2 z 1 0, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng P song song với đường thẳng . 1 1 1 A. m 1 và m .B. m và0 m .C. m 1.D. m . 2 2 2 x x2 3 2 Câu 35: [2D1-2] Cho hàm số y có đồ thị C . Khẳng định nào sau đây là đúng ? x2 2x 1 A. Đồ thị C có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang. B. Đồ thị C có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. C. Đồ thị C không có tiệm cận đứng và có một tiệm cận ngang. D. Đồ thị C không có tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang. Câu 36. [2D3-3] Biết rằng hình thang cong H giới hạn bởi các đường y 2 x, y 0, x k, x 3 k 2 và có diện tích bằng Sk . Xác định giá trị của k để Sk 16 . A. k 2 31. B. .k 2 C.31 . D. . k 2 15 k 2 15 3a3 Câu 37. [2H1-3] Cho lăng trụ đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng avà có thể tích bằng . Tính 4 khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và A C a 5 a 15 a 15 a 15 A. .d B. . dC. d . D. d . 15 15 3 5 Câu 38. [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y mx3 mx2 m 2 x 2 nghịch biến trên khoảng ; Một học sinh đã giải như sau. Bước 1. Ta có y 3mx2 2mx m 2 . Bước 2. Yêu cầu bài toán tương đương với y 0,x ¡ 3mx2 2mx m 2 0,x ¡ . 2 m 0 6m 2m 0 Bước 3. y ' 0,x ¡ m 3 m 0. a 3m 0 m 0 Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lời giải của học sinh trên là đúng hay sai ? Nếu lời giải là sai thì sai từ bước nào ? A. Sai từ bước 1. B. Sai từ bước 2. C. Sai ở bước 3. D. Đúng. x x Câu 39. [2D2-4] Cho ba số thực dương a,b,c khác 1. Đồ thị các hàm số y loga x, y b , y c được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 5/27 – Mã đề 135
6. A. .b c a B. . a C. b c c a b . D. c b a . Câu 40. [2D1-3] Một cửa hàng bán lẻ phần mềm soạn thảo công thức toán học MathType với giá là 10USD .Với giá bán này, cửa hàng chỉ bán được khoảng 25 sản phẩm. Cửa hàng dự định sẽ giảm giá bán, ước tính cứ mỗi lần giảm giá bán đi 2USD thì số sản phẩm bán được tăng thêm 40 sản phẩm. Xác định giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá mua về của một sản phẩm là .5USD A. 7,625USD . B. 8,525USD . C. 8,625USD . D. 8,125USD . Câu 41: [2D1-3] Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a 0,b 0,c 0,d 0. B. a 0,b 0,c 0,d 0. C. D.a 0,b 0,c 0,d 0. a 0,b 0,c 0,d 0. Câu 42: [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 2x3 3 m 1 x2 6mx có hai điểm cực trị A và B, sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x 2. A. m 0 và m 1 .B. và m . 0,m 1 m 2 C. m 0,m 1 và m 2 . D. m 0 và m 2 . x Câu 43: [2D2-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m e 2 4 e2x 1 có nghiệm thực. 2 1 A. 0 m .B. m 1.C. 0 m 1.D. . 1 m 0 e e 2 1 1 Câu 44: [2D4-3] Cho các số phức z1  0, z2  0 thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của z1 z2 z1 z2 z z biểu thức P 1 2 . z2 z1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 6/27 – Mã đề 135
7. 1 3 2 A. .B. .C. 2 P 2 . D. . 2 2 Câu 45: [2D2-3] Sau 13 năm ra trường, thầy An đã tiết kiệm được cho mình số tiền 30 triệu0 đồng, thầy dự định sẽ dùng số tiền đó để mua một căn nhà. Nhưng hiện nay để mua được căn nhà vừa ý, thầy An cũng cần phải có 600triệu đồng. Rất may một học trò cũ của thầy sau khi ra trường công tác đã lập gia đình và mua nhà ở thành phố nên đồng ý để thầy An ở lại căn nhà của mình trong khoảng thời gian tối đa 10 năm, đồng thời chỉ bán lại căn nhà khi trong khoảng thời gian đó thầy An giao đủ số tiền 600 triệu đồng. Sau khi tính toán thầy quyết định gửi toàn bộ số tiền 300 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8,1% /năm và lãi hàng năm nhập vào vốn. Hỏi phải mất thời gian tối thiểu bao nhiêu năm nữa thầy An mới mua được căn nhà này. A. 7 năm.B. 9 năm. C. 8 năm. D. 6 năm. Câu 46: [2H3-4] Cho ba tia Ox , Oy , Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz , đặt OC 1 , các điểm A , B thay đổi trên Ox , Oy sao cho OA OB OC. Tìm giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 6 6 6 A. .B. 6 .C. .D. . 3 4 2 x y 1 z Câu 47: [2H3-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng : và 1 2 1 1 x 1 y z 2 : . Một mặt phẳng P vuông góc với , cắt trục Oz tại A và cắt tại 2 1 2 1 1 2 B . Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn AB. 2 31 24 2 30 6 A. .B. . C. .D. . 5 5 5 5 x 1 y 1 z 1 Câu 48: [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng : và 1 1 2 2 x y 1 z 3 : cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng P . Lập phương trình đường 2 1 2 2 phân giác d của góc nhọn tạo bởi 1 , 2 và nằm trong mặt phẳng P . x 1 t x 1 A. y 1 2t t ¡ . B. y 1 t ¡ . z 1 t z 1 2t x 1 x 1 t C. y 1 t ¡ . D. y 1 2t t ¡ . z 1 t z 1 1 a Câu 49: [2D2-4] Xét các số thực a , b thỏa mãn a b 1 . Biết rằng biểu thức P loga logab a b đạt giá trị lớn nhất khi b ak . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 3 A. k 2;3 . B. k ;2 .C. k 1;0 .D. k 0; . 2 2 Câu 50: [2D3-3] Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm trên cùng đoạn đường thẳng AB , ô tô thứ nhất bắt đầu xuất phát từ A và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc va t 2t 1 km h ; ô tô thứ hai xuất phát từ O cách A một khoảng 22 km và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 7/27 – Mã đề 135
8. 10km h , sau một khoảng thời gian người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô thứ hai chuyển động chậm dần đều với vận tốc vo t 5t 20 km h . Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu kể từ khi xuất phát hai ô tô đó gặp nhau. A. 6h .B. .C. .D. .8h 7h 4h HẾT TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 8/27 – Mã đề 135
9. BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D C C C A A A B A C B C B A D B A D A B A B A C B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A D B D B D C B D A A D C D D B D C D B C C D D A Hướng dẫn giải 1 1 Câu 1: [2D3-3] Cho các số thực m , n thỏa mãn 1 x dx m và 1 x dx n; trong đó a,b ¡ a b b và a 1 b. Tính I 1 x dx . a A. .IB. . C.m n I n m I m n .D. I m n . Hướng dẫn giải Chọn D. b 1 1 1 1 Ta có I 1 x dx 1 x dx 1 x dx (1 x)dx (1 x)dx m n . a a b a b 1 1 ( Do a 1 b nên 1 x dx (1 x)dx (a 1 1 x 0) a a 1 1 và 1 x dx (1 x)dx (b 1 1 x 0) b b Câu 2: [2H2-2] Một hình nón có chiều cao bằng a 3 và bán kính đáy bẳng a . Tính diện tích xung quanhSxq của hình nón. 2 2 2 2 A. B.Sx q a . Sxq 3 a . C. Sxq 2 a . D. Sxq 2a . Hướng dẫn giải Chọn C. Gọi chiều cao hình nón là h a 3 , bán kính đáy bằng a , ta có: Độ dài đường sinh l (a 3)2 a2 2a 2 Do đó: Sxq rl .a.(2a) 2 a . Câu 3: [2D1-1] Cho hàm số y x4 2x2 3. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;0 .D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . Hướng dẫn giải Chọn C. y x4 2x2 3 y 4x3 4x x 0 y 3 3 2 y 0 4x 4x 0 x 1 y 4 x 1 y 4 Bảng biến thiên x 1 0 1 y, 0 0 0 y 3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 9/27 – Mã đề 135
10. 4 4 Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 ; 0; 1 . Hàm số đồng biến trên khoảng 1; ; 1;0 .Vậy C sai 2x 1 Câu 4: [2D1-1] Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y ? x 2 A. B.y 2. y 2. C. x 2 .D. x 2. Hướng dẫn giải Chọn C. 2x 1 lim y lim ; x 2 x 2 x 2 2x 1 lim y lim x 2 x 2 x 2 2x 1 Vậy đường thẳng x 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y . x 2 Câu 5: [2D1-1] Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Hàm số f x đạt cực đại tại điểm nào dưới đây ? A. x 0 .B. .C. .D. . x 1 y 0 x 1 Hướng dẫn giải Chọn A Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm .x 0 Câu 6: [2H1-1] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và có độ dài bằng a . Tính thể tích khối tứ diện S.BCD . a3 a3 a3 a3 A. .B. .C. .D. . 6 4 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 10/27 – Mã đề 135
11. 1 1 1 a3 Ta có V SH.S a. a2 . S.BCD 3 BCD 3 2 6 Câu 7: [2D1-1] Đồ thị của hàm số y 4x4 2x2 1 và đồ thị của hàm số y x2 x 1 có tất cả bao nhiêu điểm chung? A. 3 .B. . C.1 . D.2 . 4 Hướng dẫn giải Chọn A. x 0 4 2 2 4 2 Phương trình hoành độ giao điểm: 4x 2x 1 x x 1 4x 3x x 0 x 1 . 1 x 2 Do đó hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt 1 Câu 8: [2D3-2] Tìm nguyên hàm của hàm số f x . 3 2x 3 3 A. f x dx 3 4x2 C .B. f x dx 3 4x2 C . 2 4 3 3 C. f x dx C .D. f x . dx C 3 4 3 4 4 16x 8 16x Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 1 1 3 2 3 3 2 Ta có f x dx dx d 2x . 3 2x C 4x C . 3 2x 2 3 2x 2 2 4 Câu 9: [2D4-1] Tìm phần ảo của số phức z 1 i 2 1 i 2 A. 0 .B. .C. .D. . 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có z 1 i 2 1 i 2 2i 2i 0 .Vậy phần ảo của z bằng 0. Câu 10: [2D2-1] Với các số thực dương a,b,c bất kì. Mệnh đề nào dưới đây là sai ? a A. ln ln a ln bc . B. .ln abc ln a ln bc bc 1 ab b C. ln ln a ln bc .D. . ln ln a ln abc c c TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 11/27 – Mã đề 135
12. Hướng dẫn giải Chọn C. 1 Vì ln ln1 ln abc ln abc ln a lnbc ln a lnbc nên A sai abc Câu 11: [2D2-1] Tìm nghiệm của phương trình log3 x 1 0. 1 1 A. x .B. x .C. .D. . x 1 x 1 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B. x 0 1 log3 x 1 0 log3 x 1 1 x . x 3 3 Câu 12: [2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ n 0; 1; 1 . Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng được cho bởi các phương trình dưới đây nhận vectơ n làm vectơ pháp tuyến ? A. .xB. 0 x y 0 .C. y z 0 .D. . z 0 Hướng dẫn giải: Chọn C. y z 0 0.x y z 0 n 0;1;1 Câu 13: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 0; 1 , B 0; 2;1 và C 3; 0; 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng ?         A. AB AC 0 .B. AB.AC 0 .C. .D. . AB AC AB 2.AC Hướng dẫn giải Chọn B.    Ta có: AB 1;2;2 ; AC 2;0;1 AB.AC 2 0 2 0. Vậy B đúng Giải thích thêm +AB AC 1;2;3 0 .Vậy A sai +AB 3 AC 5 nên C sai   +2AC 4;0;2 AB nên D sai x Câu 14: [2D2-1] Tính đạo hàm của hàm số y log3 3 1 . 3x 3x ln 3 ln 3 1 A. y ' .B. y .'C. .D. . y ' y ' 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 ln 3 Hướng dẫn giải Chọn A. x 3 1 3x ln 3 3x y 3x 1 ln 3 3x 1 ln 3 3x 1 Câu 15: [2H2-1] Khối đa diện nào được cho dưới đây là khối đa diện đều ? A. Khối chóp tam giác đều. B. Khối lăng trụ đều. C. Khối chóp tứ giác đềuD. Khối lập phương. Hướng dẫn giải: TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 12/27 – Mã đề 135
13. Chọn D. 1 3i Câu 16: [2D4-2] Cho số phức z thỏa mãn z . Tìm môđun của số phức w i.z z. 1 i A. w 2. B. w 3 2. C. D.w 4 2. w 2 2. Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 3i z 1 2i z 1 2i 1 i w i.z z i  1 2i 1 2i 3 3i z 3 2 Câu 17: [2D4-1] Giả sử M , N, P,Q được cho ở hình vẽ bên lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1, z2 , z3 , z4 trên mặt phẳng tọa độ. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Điểm Q là điểm biểu diễn số phức z4 1 2i. B. Điểm M là điểm biểu diễn số phức z1 2 i. C. Điểm P là điểm biểu diễn số phức z3 1 2i. D. Điểm N là điểm biểu diễn số phức z2 2 i. Hướng dẫn giải: Chọn A . Vì điểm Q 1; 2 nên nó là điểm biểu diễn của số phức z4 1 2i. Vậy A đúng Giải thích thêm: +Xét B: Điểm M 1;2 là điểm biểu diễn số phức z 1 2i z1 2 i.Vậy B sai +Xét C :Điểm P 1; 2 là điểm biểu diễn số phức z 1 2i z3 1 2i.Vậy C sai + Xét D :Điểm N 1;2 là điểm biểu diễn số phức z 1 2i z2 2 i.Vậy D sai Câu 18: [2D4-2] Cho số phức z bất kỳ. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. B.z2 C. z 2 . z.z z 2 . z z . D. z2 z 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D Đặt z a bi, a,b ¡ z a bi z a2 b 2 a2 b2 2 2 2 2 2 Ta có: z a b z a b 2 z a2 b2 Từ đó suy ra các phương án A, B,C đúng TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 13/27 – Mã đề 135
14. z2 a bi 2 a2 2abi bi 2 a2 b2 2abi z 2 .Vậy D sai Câu 19: [2H1-1] Cho tứ diện ABCD . Gọi B ' và C ' lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB 'C ' D và khối tứ diện ABCD . 1 1 1 1 A. .B. . C. . D. . 4 2 6 8 Hướng dẫn giải: Chọn A. A C V AB AC 1 1 1 Ta có: AB C D   . B VABCD AB AC 2 2 4 C D B Câu 20: [2D3-2] Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x cot x và F 1. Tính F . 2 6 3 3 A. F 1 ln .B. F 1 ln 2 .C. .D. .F 1 ln F 1 ln 2 6 2 6 6 2 6 Hướng dẫn giải: Chọn B. cos x d sin x Ta có: cot xdx dx ln sin x C sin x sin x Mà F 1 ln sin C 1 C 1 2 2 Do đó F x ln sin x 1 1 Suy ra F ln sin 1 ln 1 1 ln 2 . 6 6 2 Câu 21: [2D2-1] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log2 log 1 x 0. 2 1 1 A. S 0; .B. .C. .D. . S 0;1 S ; S 1; 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. x 0 x 0 1 Ta có log2 log 1 x 0 log 1 x 0 x 1 0 x . 2 2 2 1 log x 1 x 1 2 2 Câu 22: [2H3-1] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2; 1;1 và B 0; 1;1 . Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. A. x 1 2 y2 z 1 2 8 .B. x 1 2 y2 z 1 2 2 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 14/27 – Mã đề 135
15. C. . D.x . 1 2 y2 z 1 2 2 x 1 2 y2 z 1 2 8 Hướng dẫn giải Chọn B. Theo đề ta có mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I 1;0;1 của AB và bán kính AB R 2 . 2 Nên phương trình mặt cầu là: x 1 2 y2 z 1 2 2 . Câu 23: [2D2-1] Với các số thực dương a;b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? a3 lnb a3 3ln3 A. log27 log3 a .B. . log27 log3 a b 3ln3 b lnb a3 lnb a3 3ln3 C. .lD.og 2.7 log3 a log27 log3 a b 3ln3 b lnb Hướng dẫn giải Chọn A . a3 lnb lnb log log a3 log b log a log a .Vậy A đúng 27 33 33 3 3 3 b ln3 3ln3 Câu 24: [2D2-1] Cho biểu thức P 6 x.4 x5. x3 , với x 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 47 15 7 5 A. .PB. x 48 P x16 .C. P x16 .D. . P x 42 Hướng dẫn giải Chọn C . 3 1 1 7 5 1 P 6 x.4 x5. x3 x 2 4 6 x16 . Câu 25: [2H2-3] Trong không gian, cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A, D ) có AB 3, DC AD 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay nhận được khi quay hình thang ABCD xung quanh trục DC . 7 5 4 A. V 2 . B. V . C. D.V . V . 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. Cách 1: Gọi V1 là khối tròn xoay tạo thành khi cho hình chữ nhật ABOD quanh quanh trục CD. 2 Ta có: V1 AD .AB 3 Gọi V2 là khối tròn xoay tạo thành khi cho tam giác CBO quanh quanh trục CD. 1 2 D O Ta có: V .OB2.CO . 1 C 2 3 3 1 7 Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là V V V . 1 2 A 3 3 B TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 15/27 – Mã đề 135
16. Cách 2: y 1 1 A B(3;1) y x 1 2 2 D 3 x C(1;0) F(3;0) Gắn hình thang ABCD vào hệ trục tọa độ như hình vẽ Ta có phương trình đường thẳng AB: y 1 1 1 Đường thẳng CB qua C 1;0 , B 3;1 nên có phương trình là y x 2 2 y 1; y 0 Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi quanh Ox x 0; x 3 Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi ss quanh Ox 3 3 2 2 1 1 7 Gọi V là thể tích cần tìm: V V1 V2 1 dx x dx . 2 2 3 0 1 x2 3 Câu 26: [2D1-2] Cho hàm số y . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? x 2 A.Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2. B.Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 3. C.Giá trị cực tiểu của hàm số bằng D.1. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 6. Hướng dẫn giải Chọn A. Tập xác định : D ¡ \2 . 2 2x x 2 x 3 x2 4x 3 y x 2 2 x 2 2 x 1 y 0 x 3 x 1 2 3 y 0 0 y 6 2 Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2. Câu 27: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 2;3; 1 , B 1; 2;4 . Phương trình đường thẳng nào được cho dưới đây không phải là phương trình đường thẳng AB. x 1 t x 1 y 2 z 4 A B y 2 t 1 1 5 z 4 5t TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 16/27 – Mã đề 135
17. x 2 t x 2 y 3 z 1 C. y 3 t .D. . 1 1 5 z 1 5t Hướng dẫn giải Chọn D. Trong các phương án, tất cả các đường thẳng đều có véctơ chỉ phương cùng phương với  AB 1; 1;5 .Lấy A 2;3; 1 thay vào các phương án 2 1 3 2 1 4 Đáp án A: :TM 1 1 5 2 1 t Đáp án B : 3 2 t 1 4 5t 2 2 t Đáp án C : 3 3 t t 0 :TM 1 1 5t 2 2 3 3 1 1 Đáp án D: .Vậy đáp án D : KTM 1 1 5 Câu 28: [2D1-4] Cho hàm số y f x xác định trên 0; , liên tục trên khoảng 0; và có bảng biến thiên như sau Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f x m có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 0;2 và x2 2; . A. 2;0 .B. 2; 1 .C D 1; 0 3; 1 Hướng dẫn giải Chọn B. y m Đường thẳng y m có vị trí như trên thì thỏa điều kiện bài toán . Vậy 2 m 1 là giá trị cần tìm. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 17/27 – Mã đề 135
18. 3 2 Câu 29: [2D3-3] Cho hàm số f x liên tục trên  1; và f x 1 dx 4. Tính I x. f x dx. 0 1 A IB. .C.8 I 4 I 16 . D. I 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. t 2 x 1 Đặt t x 1 dx=2t dt Đổi cận: Với x 0 t 1 , Với x 3 t 2 3 2 2 Khi đó: 4 f x 1 dx 2t. f t dt 2 x. f x dx 2I . 0 1 1 1 Vậy I .4 2 . 2 Câu 30: [2H3-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình x 2 2 y 1 2 z 1 2 1 và mặt phẳng P : 2x y 2z m 0. Tìm giá trị không âm của tham số m để mặt cầu S và mặt phẳng tiếpP xúc với nhau. A. m 1. .B. m 0. C.m 2. D. m 5. Hướng dẫn giải Chọn B. Mặt cầu S có tâm I 2;1;1 và bán kính R 1 . Để mặt cầu S và mặt phẳng tiếpP xúc với nhau thì : 2.2 1 2 m m 3 3 m 0 d I; P R 1 m 3 3 3 m 3 3 m 6 Vì m không âm nên m 0 là giá trị cần tìm. Câu 31: [2D4-3] Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn điều kiện z2 4 2 z . Đặt P 8 b2 a2 12. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? 2 2 2 2 A. .PB. .C. z 2 P z 2 4 P z 4 .D. P z 2 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D z2 4 2 z (a bi)2 4 2 a2 b2 (a2 b2 4)2 (2ab)2 2 a2 b2 (a2 b2 )2 8(a2 b2 ) 16 4a 2b2 4(a2 b2 ) 8(b2 a 2 ) 12 (a2 b2 )2 4a 2b2 4(a2 b2 ) 4 8(b2 a 2 ) 12 (a2 b2 )2 4(a 2 b2 ) 4 8(b2 a 2 ) 12 (a2 b2 2)2 2 2 P 8 b2 a2 12 a2 b2 2 z 2 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 18/27 – Mã đề 135
19. Câu 32: [2D3-3] Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y ln x, y 0, x 1 và x k k 1 . Gọi Vk là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình H quay trục Ox. Biết rằng Vk , hãy chọn khẳng định đúng ? A. .3B. k 4 1 k 2.C. 2 k 3 .D. 4 k 5. Hướng dẫn giải: Chọn C k Ta cóV ln xdx k 1 dx u ln x du= k k Đặt Khi đó V xln x dx x k dv=dx 1 1 v x Vk k ln k k 1 ln k 1 k e 2;3 Câu 33: [2H2-2] Một chiếc thùng đựng nước có hình của một khối lập phương cạnh 1m chứa đầy nước. Đặt vào trong thùng đó một khối có dạng nón sao cho đỉnh trùng với tâm một mặt của lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với các cạnh của mặt đối diện. Tính tỉ số thể tích của lượng nước trào ra ngoài và lượng nước còn lại ở trong thùng. 1 11 A. . B. . C. D. . . 11 12 12 12 Hướng dẫn giải: Chọn B Thể tích của chiếc thùng là 1m3 . Từ giả thiết ta thấy khối nón có chiều cao h bằng cạnh hình lập phương, bán kính đáy r bằng 1 bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh bằng 1m . Suy ra: h 1m , r m . 2 1 2 3 Thể tích nước trào ra bằng thể tích nón và bằng V1 r .h m . Thể tích lượng nước 3 12 12 V1 còn lại là V2 1 . 12 12 V2 12 x y 1 z Câu 34: [2H3-2] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho, đường thẳng : . Xét 1 1 2 mặt phẳng P : x my m2 z 1 0, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng P song song với đường thẳng . 1 1 1 A. m 1 và m .B. m và0 m .C. m 1.D. m . 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Đường thẳng đi qua M 0;1;0 có VTCP u 1;1; 2 . Mặt phẳng P có VTPT n 1;m;m2 . TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 19/27 – Mã đề 135
20. u.n 0 1 m 2m2 0 1 / / P m M  P m 1 0 2 x x2 3 2 Câu 35: [2D1-2] Cho hàm số y có đồ thị C . Khẳng định nào sau đây là đúng ? x2 2x 1 A. Đồ thị C có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang. B. Đồ thị C có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. C. Đồ thị C không có tiệm cận đứng và có một tiệm cận ngang. D. Đồ thị C không có tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang. Hướng dẫn giải: Chọn A Tập xác định D ¡ \{ 1} . 2 3 2 2 x 1 x x 3 2 2 x x lim 2 lim 1 x x 2x 1 x 2 2 1 x 1 2 x x 2 3 2 2 x 1 x x 3 2 2 x x lim 2 lim 1 x x 2x 1 x 2 2 1 x 1 2 x x 2 x x 3 2 x x2 1 x x 1 lim lim lim 2 x 1 x 2x 1 x 1 x2 2x 1 x2 3 2 x 1 x 1 x2 3 2 2 x x 3 2 x x2 1 x x 1 lim lim lim 2 x 1 x 2x 1 x 1 x2 2x 1 x2 3 2 x 1 x 1 x2 3 2 Vậy đồ thị C có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang. Câu 36: [2D3-3] Biết rằng hình thang cong H giới hạn bởi các đường y 2 x, y 0, x k, x 3 k 2 và có diện tích bằng Sk . Xác định giá trị của k để Sk 16 . A. k 2 31. B. .k 2 C.31 . D. . k 2 15 k 2 15 Hướng dẫn giải Chọn A. Diện tích hình phẳng cần tính là: 2 3 3 2 3 x2 x2 2 x dx 2 x dx x 2 dx 2x 2x 2 2 k k 2 k 2 k 2 1 k 2 5 2 2k 2k 2 2 2 2 k 2 5 k 2 31 Do Sk 16 nên 2k 16 . Do điều kiện nên ta nhận k 2 31 . 2 2 k 2 31 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 20/27 – Mã đề 135
21. 3a3 Câu 37: [2H1-2] Cho lăng trụ đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng avà có thể tích bằng . Tính 4 khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và A C a 5 a 15 a 15 a 15 A. .d B. . dC. d . D. d . 15 15 3 5 Hướng dẫn giải Chọn D. 3a3 V Gọi h là chiều cao của lăng trụ. Ta có: h ABC.A B C 4 a 3 2 SABC a 3 4 a 3 Gọi I, H lần lượt là trung điểm của AB và A B .Ta có :CI ; IH h a 3 2 A C I B K A C H Vì AB//A B nên AB// A B C chứa A C B Vậy d AB, A C d AB, A B C d I, A B C A B  IC Ta có : A B  IHC A B  IH A B C  IHC và A B C  IHC HC Trong IHC : Hạ IK  HC IK  A B C d I ; A B C IK 1 1 1 Trong IHK : IK 2 IH 2 IC 2 1 1 4 a 15 2 2 2 IK IK a 3 a 3 5 Câu 38: [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y mx3 mx2 m 2 x 2 nghịch biến trên khoảng ; Một học sinh đã giải như sau. Bước 1. Ta có y 3mx2 2mx m 2 . Bước 2. Yêu cầu bài toán tương đương với y 0,x ¡ 3mx2 2mx m 2 0,x ¡ . 2 m 0 6m 2m 0 Bước 3. y ' 0,x ¡ m 3 m 0. a 3m 0 m 0 Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 21/27 – Mã đề 135
22. Lời giải của học sinh trên là đúng hay sai ? Nếu lời giải là sai thì sai từ bước nào ? A. Sai từ bước 1. B. Sai từ bước 2. C. Sai ở bước 3. D. Đúng. Hướng dẫn giải Chọn C. Bài giải sai ở bước 3 vì chưa xét trường hợp m 0 y 2 0 x ¡ nên hàm số nghịch biến trên ; . x x Câu 39: [2D2-4] Cho ba số thực dương a,b,c khác 1. Đồ thị các hàm số y loga x, y b , y c được cho trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. .b c a B. . a C. b c c a b . D. c b a . Hướng dẫn giải Chọn D. Hàm số y cx là hàm nghịch biến nên 0 c 1 . Hàm số y bx là hàm đồng biến nên b 1 . Hàm số y loga x là hàm đồng biến nên a 1 . Lấy đối xứng đồ thị hàm số y bx qua đường thẳng y x ta được đồ thị hàm số y logb x (Hình vẽ) Ta thấy: Với 0 x 1 thì logb x loga x 0 1 1 0 log x b log x a b a log x b log x a Với x 1 thì logb x loga x 0 1 1 0 log x b log x a b a log x b log x a Vậy c b a Câu 40: [2D1-3] Một cửa hàng bán lẻ phần mềm soạn thảo công thức toán học MathType với giá là 10USD .Với giá bán này, cửa hàng chỉ bán được khoảng 25 sản phẩm. Cửa hàng dự định sẽ giảm giá bán, ước tính cứ mỗi lần giảm giá bán đi 2USD thì số sản phẩm bán được tăng thêm 40 sản phẩm. Xác định giá bán để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá mua về của một sản phẩm là .5USD A. 7,625USD . B. 8,525USD . C. 8,625USD . D. 8,125USD . Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi x là giá giảm trên một sản phẩm, khi đó sẽ bán thêm được 20x sản phẩm. Vậy lợi nhuận thu được bằng: TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 22/27 – Mã đề 135
23. 2 2 15 3125 3125 L x 25 20x 10 x 5 20x 75x 125 20 x ; 0 x 5 8 16 16 3125 15 Lợi nhuận tối đa thu được là 195,3125 USD khi x 0;5 hay giá bán một sản 16 8 15 phẩm là 10 8,125 USD 8 Câu 41: [2D1-3] Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a 0,b 0,c 0,d 0. B. a 0,b 0,c 0,d 0. C. D.a 0,b 0,c 0,d 0. a 0,b 0,c 0,d 0. Hướng dẫn giải Chọn B. Nhìn đồ thị hàm số s ta thấy a 0 . Đồ thị cắt trục tung tại điểm nằm dưới trục hoành nên d 0 . Ta có y 3ax2 2bx c . Do cực tiểu của hàm số thuộc trục tung và x 0 là nghiệm của phương trình y 0 c 0 . x 0 Lại có 3ax2 2bx 0 2b . x 3a 2b 2b Từ đồ thị suy ra x là điểm cực đại của hàm số và x 0 a 0,b 0 3a 3a Câu 42: [2D1-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y 2x3 3 m 1 x2 6mx có hai điểm cực trị A và B, sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x 2. A. m 0 và m 1 .B. và m . 0,m 1 m 2 C. m 0,m 1 và m 2 . D. m 0 và m 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. Đường thẳng d : y x 2 có 1 VTCP là u 1;1 2 x 1 y 6x 6 m 1 x 6m 0 . x m Hàm số có 2 cực trị khi m 1 , khi đó A 1;3m 1 , B m; m3 3m2 ,  AB m 1; m3 3m2 3m 1 . m 1 (l)  3 2 AB  d AB.u 0 m 3m 3m 1 m 1 0 m 2 (n) . m 0 (n) TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 23/27 – Mã đề 135
24. Kết hợp điều kiện ta có: m 0 và m 2 . x Câu 43: [2D2-3] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình m e 2 4 e2x 1 có nghiệm thực. 2 1 A. 0 m .B. m 1.C. 0 m 1.D. . 1 m 0 e e Hướng dẫn giải Chọn C. x Viết lại phương trình : m e 2 4 e2x 1 x Đặt t e 2 t 0 ta có phương trình m t 4 t 4 1 f t ,t 0 t3 f t 1 0,t 0 3 4 t 4 1 BBT t 0 f t f t 1 0 Vậy khương trình có nghiệm khi 0 m 1 2 1 1 Câu 44: [2D4-3] Cho các số phức z1  0, z2  0 thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của z1 z2 z1 z2 z z biểu thức P 1 2 . z2 z1 1 3 2 A. .B. .C. 2 P 2 . D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 2 1 1 2z2 z1 1 . 2z2 z1 z1 z2 z1 z2 0 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 2 2 2 2 z1 z1 2z1 z2 2z2 z1 z1 z2 z1 z2 0 2z1 z2 2z2 z1 0 2 2 0 z2 z2 z1 1 i z z z 1 1 1 3 2 2 1 2; 2 P 2 z1 z2 z1 z 2 2 2 1 i 1 z2 z2 Câu 45: [2D2-3] Sau 13 năm ra trường, thầy An đã tiết kiệm được cho mình số tiền 30 triệu0 đồng, thầy dự định sẽ dùng số tiền đó để mua một căn nhà. Nhưng hiện nay để mua được căn nhà vừa ý, thầy An cũng cần phải có 600triệu đồng. Rất may một học trò cũ của thầy sau khi ra trường công tác đã lập gia đình và mua nhà ở thành phố nên đồng ý để thầy An ở lại căn nhà của mình trong khoảng thời gian tối đa 10 năm, đồng thời chỉ bán lại căn nhà khi trong khoảng thời gian đó thầy An giao đủ số tiền 600 triệu đồng. Sau khi tính toán thầy quyết định gửi toàn bộ số tiền 300 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8,1% /năm và lãi hàng năm nhập vào vốn. Hỏi phải mất thời gian tối thiểu bao nhiêu năm nữa thầy An mới mua được căn nhà này. A. 7 năm.B. 9 năm. C. 8 năm. D. 6 năm. Hướng dẫn giải Chọn B. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 24/27 – Mã đề 135
25. Áp dụng công thức lãi kép ta có: n n Pn P0 1 r 600 300 1 8,1% n log1 8,1% 2 8,699 Chọn n 9 . Câu 46: [2H3-4] Cho ba tia Ox , Oy , Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz , đặt OC 1 , các điểm A , B thay đổi trên Ox , Oy sao cho OA OB OC. Tìm giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 6 6 6 A. .B. 6 .C. .D. . 3 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt A a;0;0 , B 0;b;0 . Không mất tính tổng quát, giả sử a,b 0 . Vì OA OB OC a b 1 . Gọi I; R là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC và H là hình chiếu của I lên mặt phẳng Oxy . Khi đó, H cách đều ba đỉnh O, A, B nên nó là tâm của đường tròn ngoại tiếp OAB . Do OAB vuông tại O nên H là trung điểm của AB AB a2 b2 Ta có :OH 2 2 Gọi M là trung điểm của SC . Vì IO IC nên IOC cân tại I IM  OC IMOH là hình chữ nhật. 2 2 2 2 2 1 a b Do đó R IM OM (Do OH IM ) 2 4 1 1 BCS 1 1 a b 1 1 6 a2 b2  4 4 4 4 2 4 8 4 6 Vậy Min R . 4 x y 1 z Câu 47: [2H3-4] Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng : và 1 2 1 1 x 1 y z 2 : . Một mặt phẳng P vuông góc với , cắt trục Oz tại A và cắt tại 2 1 2 1 1 2 B . Tìm độ dài nhỏ nhất của đoạn AB. 2 31 24 2 30 6 A. .B. . C. .D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn C. Vì P  1 P có dạng: 2x y z D 0 . Vì P Oz A A 0;0; D . Vì P  2 B B 1 D; 2D; 2 D .  AB 1 D; 2D; 2 AB 1 D 2 4D2 4 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 25/27 – Mã đề 135
26. 5D2 2D 5 2 1 24 24 2 30 5 D . 5 5 5 5 x 1 y 1 z 1 Câu 48: [2H3-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng : và 1 1 2 2 x y 1 z 3 : cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng P . Lập phương trình đường 2 1 2 2 phân giác d của góc nhọn tạo bởi 1 , 2 và nằm trong mặt phẳng P . x 1 t x 1 A. y 1 2t t ¡ . B. y 1 t ¡ . z 1 t z 1 2t x 1 x 1 t C. y 1 t ¡ . D. y 1 2t t ¡ . z 1 t z 1 Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi d trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi 1 , 2 và nằm trong mặt phẳng P . M1 1;1;1 . Trên 1 có u1 1;2;2 M 2 0; 1;3 . Trên 2 có u2 1;2; 2 Gọi 1  2 A Tọa độ A là nghiệm của hệ x 1 y 1 z 1 x 1 1 2 2 y 1 A 1;1;1 x y 1 z 3 z 1 1 2 2 1 Ta có cos u ;u 0 · ; ·u ;u 1 2 3 1 2 1 2 u1 1 2 2 . Véctơ đơn vị của đường thẳng 1 là v1 ; ; u1 3 3 3 u2 1 2 2 . Véctơ đơn vị của đường thẳng là2 v2 ; ; u2 3 3 3 2 4 Véctơ chỉ phương của đường thẳng d là ud v1 v2 ; ;0 hay u 1;2;0 3 3 x 1 t Vậy đường thẳng d đi qua M 1;1;1 nhận u 1;2;0 làm VTCP là y 1 2t t ¡ . z 1 1 a Câu 49: [2D2-4] Xét các số thực a , b thỏa mãn a b 1 . Biết rằng biểu thức P loga logab a b đạt giá trị lớn nhất khi b ak . Khẳng định nào sau đây đúng? TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 26/27 – Mã đề 135
27. 3 3 A. k 2;3 . B. k ;2 .C. k 1;0 .D. k 0; . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 a Ta có P loga loga ab 1 loga b 1 loga b 1 loga b logab a b a b 1 và b ak suy ra ak a k 1 . Khi b ak P 1 k 1 k . Đặt t 1 k t 0 . Với k 1 . P t 2 t 2 f t ,t 0 1 9 Khảo sát hàm số f t trên 0; ta có max f t f t 0; 2 4 3 3 k 0; . 4 2 Câu 50: [2D3-3] Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm trên cùng đoạn đường thẳng AB , ô tô thứ nhất bắt đầu xuất phát từ A và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc va t 2t 1 km h ; ô tô thứ hai xuất phát từ O cách A một khoảng 22 km và đi theo hướng từ A đến B với vận tốc 10km h , sau một khoảng thời gian người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô thứ hai chuyển động chậm dần đều với vận tốc vo t 5t 20 km h . Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu kể từ khi xuất phát hai ô tô đó gặp nhau. A. 6h .B. .C. .D. .8h 7h 4h Hướng dẫn giải Chọn A. Khoảng thời gian xe 2 xuất phát đến lúc đạp phanh là: t 2h . Quãng đường các xe đi được trong khoảng thời gian trên: 2 . Xe 1: Đi từ A đến C là AC 2t 1 dt 6 km 0 . Xe 2: : Đi từ O đến D là OD 2.10 20 km CD 22 20 6 36 km . Chọn mốc thời gian tại vị trí xuất phát, sau thời gian t1 hai xe gặp nhau. Hai xe đang ở các vị trí tức thời C, D t1 . Li độ xe 1 là X1 2t 1 dt km 2 t1 . Li độ xe 2 là: X 2 5t 20 dt CD km 2 t1 t1 Để 2 xe gặp nhau thì: X1 X 2 2t 1 dt 5t 20 dt 36 t1 6 h . 2 2 Vậy sau khoảng thời gian là 6h hai xe gặp nhau. TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập Trang 27/27 – Mã đề 135