Đề ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Đề số 41 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề ôn thi vào Lớp 10 THPT môn Toán - Đề số 41 (Có đáp án)

1. ĐỀ ễN TẬP 41. 1 a 1 a 4a Bài 1. Cho biểu thức: A 1 a 1 a 1 a a) Tỡm điều kiện của a để A xỏc định và rỳt gọn A. b) Tỡm giỏ trị của a để A > - 2. Bài 2. Cho phương trỡnh: (x2 - x - m)(x - 1) = 0 (1) a) Giải phương trỡnh khi m = 2. b) Tỡm m để phương trỡnh cú đỳng 2 nghiệm phõn biệt. Bài 3. Một thửa vườn hỡnh chữ nhật cú chu vi bằng 72m. Nếu tăng chiều rộng lờn gấp đụi và chiều dài lờn gấp ba thỡ chu vi của thửa vườn mới là 194m. Hóy tỡm diện tớch của thửa vườn đó cho lỳc ban đầu. Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (vàP) đường: y = x2 thẳng (d): y = 2(m- 1)x .- m2 + 3m a) Với m = 3 , tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P) . b) Tỡm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ lần lượt là chiều dài và chiều rộng của 7 hỡnh chữ nhật cú diện tớch bằng . 4 Bài 5. Cho tam giỏc ABC (AB < AC) cú cỏc gúc đều nhọn, cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC và AD lần lượt tại K và I. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD lần lượt tại M và N. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh: a) DA là phõn giỏc của FãDE b) F là trung điểm MN c)OD.OK OE 2 và BD.DC OD.DK Bài 6. Cho x, y là hai số thực thoả món: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1 HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI NỘI DUNG 1 a) ĐK : 0 a 1 ( * ) 1
2. 2 2 1 a 1 a 4a 4 a 4a 4 a 1 a A 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 4 a A 1 a b) 4 a 2 a 2 A 2 2 0 0 (1) 1 a 1 a Do 2 a 2 0 với mọi a 0 nờn 1 a 0 a 1 0 a 1 ( thỏa món (*) ). Kết luận 0 a 1 2 Với m = 2, ta cú phương trỡnh 2 2 x x 2 0 x 1; x 2 (x - x - 2)(x - 1) = 0 x 1 0 x 1 Vậy phương trỡnh cú 3 nghiệm x 1; x = 2 Vỡ phương trỡnh (1) luụn cú nghiệm x1 = 1 nờn phương trỡnh (1) cú 2 đỳng nghiệm phõn biệt khi và chỉ khi: - Hoặc phương trỡnh f(x) = x2 - x - m = 0 cú nghiệm kộp khỏc 1 1 0 1 4m 0 m 1 4 m . f (1) 0 1 1 m 0 4 m 0 - Hoặc phương trỡnh f(x) = x 2 - x - m = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt trong đú cú một nghiệm bằng 1. 1 0 1 4m 0 m 4 m 0. f (1) 0 m 0 m 0 1 Vậy phương trỡnh (1) cú đỳng 2 nghiệm phõn biệt khi và chỉ khi m = - ; m = 0. 4 2
3. 3 Gọi x là chiều dài, y là chiều rộng của hỡnh chữ nhật (điều kiện: x > 0, y > 0, x, y tớnh bằng một) Theo bài ra ta cú: 2 (x + y) = 72 x +y = 36 (1) Sau khi tăng chiều dài gấp 3, chiều rộng gấp đụi, ta cú : 2 (3 x + 2y) = 194 3x + 2y = 97 (2) x + y = 36 Ta cú hệ PT : 3x + 2y = 97 x = 25 Giải hệ ta được: y = 11 Đối chiếu điều kiện bài toỏn ta thấy x, y thỏa món. Vậy diện tớch thửa vườn là: S = xy = 25.11 = 275 (m2) 4 Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P) : x2 = 2(m- 1)x - m2 + 3m Û x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 (1) ộx = 0 Với m = 3 thỡ phương trỡnh (1) trở thành: x2 - 4x = 0 Û ờ ởờx = 4 Thay x = 0, x = 4 lần lượt vào phương trỡnh của parabol (taP )được: y = x2 y = 0, y = 16 . Vậy với m = 3 thỡ (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A(0;0), B(4;16) . Để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ lần lượt là chiều dài và chiều 7 rộng của hỡnh chữ nhật cú diện tớch bằng thỡ phương trỡnh (1) phải cú hai 4 7 nghiệm dương phõn biệt x , x và thỏa món x .x = . 1 2 1 2 4 Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm dương phõn biệt 3
4. ỡ 2 2 ỡ Â ù (m- 1) - (m - 3m)> 0 ùỡ ù D > 0 ù ù m + 1> 0 ù ù ù ùỡ m > 1 Û ớ x1 + x2 > 0 Û ớ 2(m- 1)> 0 Û ớ m > 1 Û ớ Û m > 3(*) ù ù ù ợù m > 3 ù > ù 2 ù ợù x1x2 0 ù m - 3m > 0 ù m(m- 3)> 0 ợù ợ Ta cú: ộ 7 ờm = (thỏa mãn (*)) 7 2 7 2 ờ 2 x .x = Û m - 3m = Û 4m - 12m- 7 = 0 Û ờ 1 2 4 4 ờ 1 ờm = - (không thỏa mãn (*)) ởờ 2 7 Vậy m = là giỏ trị cần tỡm. 2 Phõn tớch đề bài a) Giải phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P) trong trường hợp m = 3 , từ đú tỡm được tọa độ giao điểm của (d) và (P) . b) Ở cõu này ta phải trả lời được hai cõu hỏi: + Tỡm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt. + Hoành độ giao điểm lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hỡnh chữ nhật cú 7 diện tớch bằng . 4 Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ lần lượt là x1, x2 . Theo giả 7 thiết x , x là chiều dài và chiều rộng của hỡnh chữ nhật cú diện tớch bằng nờn 1 2 4 7 x , x là cỏc số dương và x .x = . 1 2 1 2 4 4
5. 5 Hỡnh vẽ A 1 M E P 2 I F H 1 3 N 1 2 1 C K B D O Q Chứng minh DA là phõn giỏc của FãDE ả ả Tứ giỏc AFDC nội tiếp nờn D1 = A1 ả ả Tứ giỏc AEDB nội tiếp nờn D2 = A1 ã ã ả ả Mà: FDA và EDA lần lượt phụ với cỏc gúc D1 và D2 nờn FãDA = EãDA DA là phõn giỏc của FãDE Chứng minh F là trung điểm MN Cỏch 1: Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD tại P, Q PQ // MN // AC à à Ta cú: F1 = F2 (đối đỉnh) à à Tứ giỏc BFEC nội tiếp nờn F2 = C1 ã à ã à ã mà BHD = C1 (vỡ cựng phụ với HBD ); F3 = BHD (vỡ tứ giỏc BFHD nội tiếp) à à ã Do đú: F1 = F3 FB là phõn giỏc KFD 5
6. mà FB  FC nờn FC là phõn giỏc ngoài KFD KB KC KF KB DB = = = DB DC DF KC DC BP KB Ta cú: BP // AC = (Theo định lớ Talet) AC KC BQ DB BQ // AC = (Theo định lớ Talet) AC DC BP BQ KB DB Do đú: = = BP = BQ AC AC KC DC MF AF NF MF // PQ, NF // BQ nờn = = MF = NF BP = BQ F là trung BP AB BQ điểm của MN KF DF IF Cỏch 2: Ta cú: DK  DA nờn DK là phõn giỏc ngoài FDE nờn = = KE DE IE (1) FM KF FN IF Ta cú: MN // AC nờn = ; = (2) AE KE AE IE FM FN Từ (1) và (2) suy ra: = FM = FN. AE AE Chứng minh OD.OK = OE2 và BD.DC = OD.DK Chứng minh tương tự cõu a ta cú FC là phõn giỏc của Dã FE Dã FE = 2Cã FE (3) Tứ giỏc BFEC nội tiếp đường trũn (O) đường kớnh BC nờn EãOC = 2Cã FE (4) Từ (3) và (4) suy ra: Dã FE = EãOC Tứ giỏc DFEO nội tiếp Ta cú: OằE = OằF (vỡ OE = OF) EãDO = Oã EF = OãEK 6
7. Do đú: ODE ∽ OEK g g OD.OK = OE2 BEC vuụng tại E cú EO là trung tuyến nờn OE = OB = OC OE2 = OB2 BD.DC = OB OD OC + OD OB2 OD2 OD.OK OD2 Ta cú: OD OK OD OD.DK 6 Từ giả thiết: x y 2 7 x y y2 10 0 2 2 2 7 7 7 2 x y 2 x y  10 y 0 2 2 2 2 7 9 x y 0 . 2 4 2 7 9 x y 2 4 Giải ra được : 4 x y 1 1. A = -1 khi x = - 2 và y = 0, A = - 4 khi x = -5 và y = 0. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là - 4 và giỏ trị lớn nhất của A là - 1. 7