Đề tham khảo thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2020-2021

Nội dung text: Đề tham khảo thi thử tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2020-2021

1. Đề tham khảo thi thử tuyển sinh 10 Đề thi có 3 trang Năm học: 2020 – 2021 Hình thức: Tự luận Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. (1 điểm) 1. Rút gọn biểu thức A = 2. Một cái thang được đặt tựa vào bức tường hợp với mặt đất 1 góc là 82*. Biết độ cao của tường thang tựa vào là 2,6 m. Tìm chiều dài của thang.(kết quả làm tròn lấy 2 chữ số thập phân) Câu 2. (2 điểm) 1. Cho phương trình: . Không giải phương trình a/ Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 b/ Tính giá trị của biểu thức A = 2. Một thư viện cho thuê sách có quy định như sau. Nếu đăng ký làm thành viên của thư viện thì đóng lệ phí là 50.000 đồng và giá tiền thuê 1 cuốn là 5000 đồng. Nếu là khách thông thường thì giá tiền thuê 1 cuốn là 10000 đồng. Gọi y ( đồng) là số tiền cần trả cho thư viện và x là số lượng sách được thuê. a/ Biểu diễn y theo x trong 2 trường hợp là thành viên và khách thông thường b/ Hùng là thành viên của thư viện và trong 1 năm trước Hùng tốn 85000 đồng để chi trả cho thư viện. Hỏi nếu Hùng không phải là thành viên của thư viện thì phải trả bao nhiêu tiền cho thư viện.
2. c/ Biết Mai là khách thông thường của thư viện và Hân là thành viên của thư viện. . Biết rằng trong 1 năm số sách thuê của Hân nhiều hơn số sách thuê của Mai là 2 cuốn và số tiền chi trả của Mai và Hân là như nhau . Tính số tiền Mai trả cho thư viện. Câu 3. (2 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): (m là tham số ) a/ Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ b/ Xác định đường thẳng (d) biết (P) cắt (d) tại điểm A có tung độ là 16 2. Chị Năm là thành viên tích cực của khu mua sắm siêu thị big C. Chị có thẻ thành viên được giảm giá 10% cho tất cả mặt hàng mà chị đã mua. Vào ngày cuối tuần, siêu thị giảm giá 20% cho tất cả các sản phẩm của cửa hàng. Vào ngày cuối tuần, chị ghé vào siêu thị mua 5 lốc sữa chua vinamik, 2 hộp sữa bò Long Thành không đường và 4 gói mì ăn liền Gấu Đỏ. Biết giá gốc của các sản phẩm ở siêu thị là (chưa tính thuế VAT) Tên sản phẩm Thành tiền Thuế VAT Sữa chua VinaMilk 15000 đồng / lốc 8% Sữa bò Long Thành không đường 40000 đồng / hộp 15% Mì ăn liền Gấu Đỏ 5000 đồng / gói 5% Bánh su kem 22000 đồng / hộp 10% 1/ Hỏi chị Năm phải trả bao nhiêu tiền cho các sản phẩm trên. 2/ Biết chị Năm có 200000 đồng để chi trả cho tất cả sản phẩm của cửa hàng. Sau khi mua các sản phẩm trên chị muốn mua thêm vài hộp bánh su kem. Hỏi với số tiền trên chị mua được nhiều nhất là bao nhiêu hộp bánh su kem. Câu 4. (1,5 điểm) 1. Giải hệ phương trình:
3. 2. Váo ngày nghỉ lễ, một trường THCS đã tổ chức cho 150 học sinh khối 9 đi cắm trại .Số tiền đóng của mỗi học sinh là như nhau và số tiền cho buổi cắm trại tính bằng tổng số tiền đóng của tất cả học sinh khối 9. Biết rằng lúc sau có sự thay đổi là chi phí đi cắm trại của trường đã tăng thêm 20% so với ban đầu và có 30 học sinh hủy kế hoạch, do vậy mỗi học sinh phải bù thêm 20000 đồng so với số tiền đã đóng ban đầu. a/ Tính chi phí thực tế đi cắm trại của học sinh toàn trường khối 9 b/ Biết rằng nhà trường thuê các xe mini bus đón học sinh đi cắm trại. Cò 2 loại xe mini bus. Loại 1 chứa được tối đa là 15 học sinh, giá phí thuê mỗi xe là 40000 đồng. Loại 2 chứa được tối đa là 20 học sinh, giá phí thuê mỗi xe là 60000 đồng. Em hãy tính toán sao cho giá tiền đưa rước bằng xe buýt cho các học sinh khối 9 là tiết kiệm nhất. Câu 5. (1 điểm) 1. Vào lúc 7 giờ sáng, một con thuyền xuất phát thì vị trí A của một bờ hồ hình tròn chạy sang vị trí B của bờ A B hồ bên kia theo 1 đường thẳng với 120* vận tốc là 4,8 km/h. Biết lúc 8 giờ 30 phút sáng thì thuyền đến vị trí B. O Biết góc tạo bởi tâm của hồ với 2 vị trí A và B là 120* a/ Tìm diện tích của bờ hồ b/ Cũng vào lúc 7 giờ sáng có 1 người bắt đầu chạy bộ quanh bờ hồ xuất phát từ vị trí A với vận tốc là 2,2 km/h. Tính khoảng cách giữa người chạy bộ và thuyền vào lúc 8 giờ sáng. Các kết quả tính toán được làm tròn lấy 1 chữ số thập phân.
4. N A B F E C D M 2. Vào ngày sinh nhật có bé Lan năm nay tròn 15 tuổi, gia đình đã tặng cho bé 1 chiếc bánh kem hình chữ nhật ABCD có hình dạng như trên. Biết AB = 60cm, BC = 40cm. Bé dùng dao cắt chiếc bánh thành 2 nhát như trên chia chiếc bánh thành 4 phần. Biết lát cắt thứ nhất là EF bắt đầu tại vị trí E với DE = 10cm. Em hãy xác định vị trí 2 lát cắt MN và EF như hình vẽ trên sao cho chiếc bánh được chia thành 4 phần có diện tích bằng nhau Câu 6. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) .Đường tròn tâm (O;R) ,đường kính BC cắt AB tại M và cắt AC tại N, BN cắt CM tại H, AH cắt BC tại D 1/ Chứng minh: Tứ giác AMDC nội tiếp và HM . HC = HB . HN 2/ MN cắt BC tại E. Chứng minh: Tứ giác DMNO nội tiếp 3/ Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AE tại I. Chứng minh: IN là tiếp tuyến của đường tròn (O) 4/ MI cắt AD tại K, IC cắt AD tại S. Trong trường hợp tứ giác CKSN nội tiếp và . (S là diện tích). Chứng minh: &&& Hết đề thi &&& ^^^ Chúc các em học sinh làm bài tốt ^^^
5. Đáp án đề thi tham khảo Câu 1. 1/ A = 2/ Giả sử độ cao của tường là AC = 2,6m . Chiều dài của thang là độ dài BC. Vậy góc hợp bởi thang và mặt đất là Góc .Áp dụng công thức lượng giác trong tam giác ABC SinABC = => BC = 2,63m Câu 2. 1. Xét phương trình a/ => Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 b/ Theo định lý vi et ta có: Ta có: A = = 2. a/ Nếu có thể thành viên thì công thức là: y = 50000 + 5000.x Nếu là khánh thông thường thì công thức là: y = 10000.x b/ Do Hùng là có thể thành viên => 85000 = 50000 + 5000.x  35000 = 5000. x  x = 7. Vậy trong 1 năm Hùng thuê 7 cuốn sách Nếu Hùng không phải là thành viên của hiệu sách thì số tiền Hùng phải trả là: 10000 . 7 = 70000 đồng
6. c/ Gọi x là số sách Mai thuê trong 1 năm ( x> 0 , x thuộc N) Số sách Hân thuê trong 1 năm là: x + 2 Số tiền Mai trả cho hiệu sách trong 1 năm là: 10000.x Số tiền Hân trả cho hiệu sách trong 1 năm là: 50000 + 5000 . (x+2) Theo đề bài ta có phương trình 10000.x = 50000 + 5000 . (x+2)  10000.x = 50000 + 5000x + 10000  5000.x = 60000  x = 12 (nhận) Vậy số sách Mai trả cho hiệu sách trong 1 năm là: 10000 . 12 = 120000 đồng. Câu 3. 1.a Giá trị của parabol (P): y = x2 X -2 -1 0 1 2 Y 4 1 0 1 2 2 2 b/ Vì A thuộc parabol (P) => yA = xA => 16 = xA  xA = 4 hoặc xA = . Vậy có 2 điểm A là A (4; 16) và A ( ; 16) Để đường thẳng (d): y = mx + 3m +2 là hàm số bậc nhất  m # 0. Do A cũng thuộc đường thẳng (d): y = mx + 3m +2 => yA = m.xA + 3m +2 Trường hợp 1: A (4; 16) => 16 = 4m + 3m +2  7 m =14  m =2 (nhận) Vậy đường thẳng (d) có phương trình là : y = 2x + 8 Trường hợp 2: A ( ; 16) => 16 = m + 3m +2  m =14  m = 14 (nhận) Vậy đường thẳng (d) có phương trình là : y = 14x 40
7. 2a/ Vào ngày cuối tuần giá bản của sản phẩm chỉ còn : 100% - 20% = 80% = 0,8 so với giá ban đầu. Do chị Năm có thể thành viên cho nên giá bản chỉ còn 100% - 10% = 90% = 0,9 so với giá ban đầu. Vậy vào ngày cuối tuần chị Năm được bán với giá giảm 0,9 . 0,8 = 0,72 so với giá ban đầu. Số tiền tính của của hàng = giá tiền gốc + (% VAT) . giá tiền gốc Giá tiền của 5 lốc sữa vinamilk là: (1 + 0,08) . 15000. 0,72. 5 = 58320 đồng Giá tiền của 2 hộp sữa bò Long Thành là: (1 + 0,15) . 40000. 0,72. 2 = 66240 đồng Giá tiền của 4 gói mì ăn liền Gấu Đỏ là: (1 + 0,05). 5000. 0,72 . 4= 15120 đồng Giá tiền chị Năm cần phải trả là: 58320 + 66240 + 15120 = 139680 đồng b/ Gọi x là số hộp bánh su kem chị Năm có thể mua với số tiền đã có Giá tiền của 1 hộp bánh su kem được giảm giá là: (1 + 0,1). 22000 . 0,72 = 17424 đồng Theo yêu cầu bài toán ta có điều kiện: 139680 + 17424.x 200000  17424.x 60320  x 3,46 Vậy số lượng bánh su kem tối đa chị Năm có thể mua là 3 hộp Câu 4. 1.      2a/ Gọi x là số tiền ban đầu mỗi học sinh lớp 9 cần đóng (x > 0) Số tiền đóng cho buổi cắm trại là: 150.x Lúc sau số học sinh tham gia buổi cắm trại là: 150 – 30 = 120 học sinh. Số tiến đóng của mỗi học sinh lúc sau là: x + 20000. Số tiền đóng cho buổi cắm trại lúc sau là: 120 . (x + 20000) Theo đề bài ta có phương trình: 120 . (x + 20000) = (1 + 20%) . 150.x  120 . (x + 20000) = 1,2 . 150.x  120 . (x + 20000) = 180.x  120.x + 2400000 = 180 x  60.x = 2400000  x = 40000 đồng. Vậy số tiền đóng cho buổi cắm trại thực tế là: 120 . (40000 + 20000) = 7200000 đồng. 2. Gọi x và y lần lượt là số lượng xe minibus loại 1 và loại 2 (x , y > 0 và x, y thuộc N) Vì chi phí thuê xe tiết kiệm nhất => mỗi xe đều chở tối đa học sinh Trường hợp 1: Chỉ sử dụng duy nhất 1 loại xe + Nếu là xe loại 1: Số lượng xe loại 1 cần chở học sinh đi cắm trại là: 120 : 15 = 8 xe
8. Chi phí thuê xe minibus loại 1 là: 8 . 40000 = 320000 đồng + Nếu là xe loại 2: Số lượng xe loại 2 cần chở học sinh đi cắm trại là: 120 : 20 = 6 xe Chi phí thuê xe minibus loại 2 là: 6 . 60000 = 360000 đồng So sánh ta thấy chỉ dùng xe min bus loại 1 chi phí rẻ hơn Trường hợp 2: Dùng cả 2 loại xe mini bus Theo yêu cầu bài toán ta có: 15.x + 20 .y = 120  3x + 4y = 24  y = Ta có giá tiền xe cả 2 loại xe là: S = 40000.x + 60000 .y = 40000 .x + 60000. = 40000 .x + 15000. ( 24 – 3x) = 40000 .x + 360000 – 45000.x = 360000 – 5000.x Để S nhỏ nhất  5000. x lớn nhất  x lớn nhất Từ hệ thức 3x + 4y = 24  4y = 24 – 3x Ta có: 4y > 0 => 24 – 3x > 0  3x 24 – 3x chia hết cho 4 => 3x chia hết cho 4 => 3x chia hết cho 12 . Kết hợp tất cả điều kiện trên chỉ có 1 trường hợp 3x = 12  x = 4 (nhận) Với x = 4 ta có y = = 3. Vậy khi đó chi phí thuê xe mini bus là: S = 360000 – 5000.4 = 340000 đồng So sánh 2 trường hợp ta thấy chi phí tiết kiệm nhất là chỉ sử dụng xe mini bus loại 1 và chi phí sẽ là 320000 đồng. Câu 5.
9. 1a/ Kẻ OD _|_ AB tại D => DA = DB ( Quan hệ đường kính va dây cung). Khi đó OD là tia phân giác => 60* Thời gian thuyền đi từ A đến B là: 8h30 – 7h = 1giờ 30 phút = 1,5 giờ Quãng đường AB thuyền đi được là: 1,5 . 4, 8 = 7,2 km. DA = DB = = 3,6 km Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông AOD: AD = OA . sin AOD = R . sin AOD =>R = = 4,2 km Diện tích của bờ hồ là: S = = 3,14 . 4,22 = 55,4 km2 b/ Vào lúc 8 giờ thuyền chạy được quãng đường ở vị trí C là: AC = 4,8 . ( 8h – 7h) = 4,8 km Quãng đường của người đi bộ đi được đến lúc 8 giờ sáng là: 2,2 . ( 8h – 7h) = 2,2km Chu vi của bờ hồ là: L = 2. 3,14 . 4,2 = 26,4 km Quãng đường người đi bộ đi được chính là độ dài cung đường tròn của bờ hồ Trường hợp 1: Người đi bộ đi ngược chiều kim đồng hồ. Vào lúc 8 giờ thì người đi bộ ở vị trí E và quãng đường đi được chính là cung nhỏ AE. Ta cần tính EC. Ta có: => = = 30* Kẻ OI _|_ AE tại I. Tương tự như trên ta có: 15* AE = 2 AI = 2OA. sinAOI = 2R.sin AOI = 2 . 4,2 . sin15* = 2,2 km. Tam giác OAE cân tại O (OA=OE) cho = = 75* Tam giác OAB cân tại O (OA=OB) cho = = 30* Kẻ EH _|_ AB tại H. Ta có: = 75* Áp dụng tỉ số lượng giác tam giác AHE: AH = AE . cosHAE = 2,2 . cos 75* = 0,6 km HE = AE . sinHAE = 2,2. sin75* = 2,1 km HC = AH + AC =0,6 + 4,8 = 5,4 km Áp dụng định lý pi-ta-go trong tam giác HEC: EC = = 5,8 km
10. Trường hợp 2: Người đi bộ đi cùng chiều kim đồng hồ. Lúc này vào lúc 8 giờ sáng người đi bộ ở vị trí F. Khoảng cách giữa người đi bộ và thuyền là độ dài FC Vẽ FK _|_ AC tại K. Tính toán tương tự như trường hợp 1 ta có: AF = 2,2 km, , Nhận thấy => F thuộc cung nhỏ AB FK = AF. SinFAB = 2,2 . sin45* = 1,6 km AK = AF. CosFAB = 2,2 . cos45*= 1,6 km CK = AC – AK = 4,8 – 1,6 = 3,2 km FC = = 3,6 km 2/ Do chiếc bánh có dạng hình chữ nhật ABCD cho nên AB = CD =60cm, AD = BC = 40cm ,AB//CD và AD//BC. Gọi S là diện tích Diện tích chiếc bánh là: 40.60 =2400 cm2 Diện tích 4 phần bằng nhau của chiếc bánh là: a = 2400 :4 = 600 cm2 Nhận thấy tứ giác DEFC là hình thang vuông (AD// BC) do đó SDEFC = = 2a và SABCD = 4a = AD.CD Từ đó suy ra : CD . ( DE + FC) = AD . CD => AD = DE + FC => DE + AE = DE +FC => AE = FC =AD – DE= 40 – 10 = 30 cm => DE = BF = 10 cm ( do AD = BC ) Chứng minh tương tự ta cũng có AN = MC, BN = MD
11. Xét và ta có: , AN = MC cmt) , AE = FC (cmt) => = ( c-g-c) => và MF = NE Ta lại có: (2 góc ở vị trí sole trong do AD // BC) => => NE // MF ( 2 góc ở vị trí sole trong) Gọi O là giao điểm cùa 2 lát cắt MN và EF Xét tứ giác NEMF ta có: NE = MF (cmt), NE // MF (cmt) => Tứ giác NEMF là hình bình hành => OM = ON ( 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) Cho EF cắt CD tại I. Dựng IK _|_ AB tại K. 2 Ta có : SDEFC = 2a = 2.600 = 1200 cm Xét và ta có: , là góc chung, => ~ ( g-g) => => => = = 150 cm 2 Ta có: => = 450 cm2 150 + 600 = 750 cm2 450 + 600 = 1050 cm2 Kẻ IK _|_ AB tại K. Đặt AN = MC = x. Ta có: IK _|_ AK, AK _|_ AD , DI_|_ AD nên tứ giác ADIK là hình chữ nhật => IK = AD = 40cm = 20.x 1050 – 20.x (cm2) Kẻ IS _|_ MN tại S ta có: = 1 ( do OM = ON)
12. => => 750 = 1050 – 20.x  20.x = 300  x = 15 cm. Vậy để cắt chiếc bánh thành 4 phần có diện tích bằng nhau thì lát cắt EF tại vị trí F có BF = 10cm. Lát cắt MN tại vị trí M và N có AN = MC = 15cm Câu 6 1/ Chứng minh: Tứ giác AMDC nội tiếp và HM.HC=HB.HN Ta có : =90*(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC) =>AB_|_MC =90*(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC) =>AC_|_BN Xét ABC có 2 đường cao MC và BN cắt nhau tại H =>H là trực tâm của ABC =>AD là đường cao thứ ba của ABC =>AD_|_BC=> = 90* Xét tứ giác AMDC ta có : = 90*=>Tứ giác AMDC nội tiếp (2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau) (đpcm) Xét HMB và HNC ta có : =90*, ( 2 góc đối đỉnh )
13. => HMB ~ HNC(g-g) => => HM.HC = HB.HN (đpcm) 2/ Chứng minh: Tứ giác DMNO nội tiếp Xét tứ giác BMHD ta có : =90*=>Tứ giác BMHD nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong) => (1a) Mà ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC) (1b) Từ (1a),(1b)=> =>MC là tia phân giác của => 2 = 2 (2a) Ta có :ON = OB => ONB cân tại O => (3a) Mà = + (Tính chất góc ngoài của ONB) (3b) Từ (3a) , (3b) => =2 (3c) Từ (2a) , (3c) => = =>Tứ giác DMNO nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong) ( đpcm) 3/ Chứng minh: IN là tiếp tuyến của đường tròn (O) Ta có : = ( góc ngoài bằng góc đối trong do tứ giác MNBC nội tiếp trong đường tròn (O) Xét và ta có : là góc chung , = (cmt) => ~ (g-g)=> =>EB.EC = EM.EN (5a) Ta có : = ( Tứ giác MDON nội tiếp) Xét và ta có : là góc chung , = (cmt) => ~ (g-g)=> =>EM.EN = ED.EO (5b) Từ (5a) , (5b)=>EB.EC=ED.EO=> (5c) Ta có :BI_|_EC (BI là tiếp tuyến của (O), AD_|_BC (cmt) =>BI//AD => (Định lý ta lét trong ADE) (5d) Từ (5c) , (5d)=> =>OI//AC (Định lý ta lét đảo trong AEC) Ta có :AC_|_BC , AC//OI (cmt)=>OI_|_BN
14. Ta có :OB = ON => ONB cân tại O => ONB cân tại O có OI là đường cao (OI_|_BN) =>OI cũng là đường phân giác trong ONB => = Xét và ta có : OB=ON, = (cmt) ,OI là cạnh chung => = (c-g-c) => = =90*=>ON_|_IN Ta lại có N thuộc đường tròn (O), ON_|_IN (cmt) =>IN là tiếp tuyến của đường tròn (O) (đpcm) 4. Trong trường hợp tứ giác CKSN nội tiếp và . (S là diện tích). Chứng minh: Xét và ta có : là góc chung , = (Tứ giác CKSN nội tiếp) => ~ (g-g) => =>AS.AK=AN.AC (6a) Xét và ta có :
15. là góc chung , = (Tứ giác BMNC nội tiếp đường tròn (O)) => ~ (g-g) => =>AN.AC = AM.AB (6b) Từ (6a),(6b)=>AS.AK = AM.AB => (6c) Ta có :AD//BI ,Áp dụng hệ quả định lý ta lét ta có: (6d) Từ (6c), (6d) => (6e) Gọi T là giao điểm của OI và BN Theo như trên thì ta có :OT_|_BN =>T là trung điểm của BN (quan hệ đường kính và dây cung) => BN = 2BT Ta có: BI//AD (cmt) => = (2 góc ở vị trí sole trong) Xét và ta có : = , = (cmt) => ~ (g-g)=> => HD.BI = BT.BH Mà BN = 2BT => 2HS.BI = 2BT.BH = BN.BH (7a) Xét và ta có : là góc chung , = =90* => ~ (g-g) => =>BN.BH = BM.BA (7b) Từ (7a),(7b) =>2HD.BI=BM.BA => (7c) Từ (6e),(7c) => =>AS = 2HD Ta có: OI // AC (cmt) => (2 góc ở vị trí đồng vị) Xét và DCA ta có : , (cmt) => ~ (g-g) => Mà BC = 2OB => (7d) Ta có: AD// BI => ( Hệ quả talet trong tam giác BIC) (7e)
16. Từ (7d) , (7e) => AD = 2AS => SA = SD hay AD = 2DS Mà AS = 2HD (cmt) => SD = 2HD Ta có: DH . DA = . 2SD = SD2 (7f) Xét và DBA ta có : , = (Tứ giác AMDC nội tiếp) => ~ DBA (g-g)=> => DH.DA = DB.DC (7g) Từ (7f), (7g) => DS2 = DB.DC => Xét và DSC ta có : , (cmt) => ~ DSC (c –g -c) => = Ta có: ( Tam giác DBS vuông tại S). => Tam giác BSC vuông tại S => Tam giác BSC nội tiếp trong đường tròn đường kính BC => S thuộc đường tròn (O) Ta có: Tứ giác DMNO nội tiếp (cmt) => = (7h) Ta có : OM = ON => OMN cân tại O=> = (7k). Từ (7ha) , (7k)=> = Xét và ONE ta có : là góc chung , = (cmt) => ~ ONE (g-g) => Mà ON = OS= R => Xét và OSE ta có : là góc chung, (cmt) => ~ OSE (c –g -c) => = => ES _|_ OS Ta có: ES _|_ OS (cmt), S thuộc (O) (cmt) => ES là tiếp tuyến của đường tròn (O) Bài toán phụ. Trong tam giác ABC ta có hệ thức: Thật vậy, áp dụng tỉ số lượng giác các tam giác vuông AMC, ABD, ACD và (7g) ta có:
17. tanB + tanC = tanB . tanC = Xét và MCB ta có : , = (Tứ giác AMDC nội tiếp) => ~ MCB (g-g) => = tanA. Kết hợp những hệ thức trên ta có: TanA + tanB + tanC = =tanA . tanB. tanC . (Bài toán phụ được chứng minh) Từ giả thiết => Xét và ACB ta có : là góc chung , = (Góc ngoài bằng góc đối trong tứ giác BMNC nội tiếp trong đường tròn O ) => ~ ACB (g-g) => => Cos 2A = Áp dụng công thức lượng giác ta có: = 3  Tan2A = 2  (Do tanA > 0) Theo như trên: TanB. TanC = = 4 (8a) Áp dụng bài toán phụ ta có: => => (8b) Từ (8a) , (8b) => tan B và tan C là nghiệm của phương trình: (Điều kiện: x> 0 do tan B > 0 và tanC >0) , => Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
18. x1 = (nhận) x2 = (nhận) Theo bài toán ta có: AB HB => Tan B > Tan C Từ đó ta nhận TanB = , tanC = => TanA = TanC ( = ) => => Tam giác ABC cân tạo B Tam giác ABC cân tại B có BN là đường cao => BN cũng là đường trung tuyến tam giác ABC => NA = NC Xét tam giác ADC ta có: AS = DS (cmt), AN =NC (cmt) =>a NS là đường trung bình của tam giác ADC => NS // CD Ta có : NS // CD, AD _|_ CD => NS _|_ AD Vì S thuộc đường tròn (O) cho nên đường tròn ngoại tiếp tam giác SNC là đường tròn (O), đường tròn ngoại tiếp tứ giác CKSN cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác SNC => Đường tròn ngoại tiếp tứ giác CKSN trùng với đường tròn (O) => K thuộc đường tròn (O). Ta có: NS _|_ AD (cmt) => Tam giác NSK vuông tại S => tam giác NSK nội tiếp đường tròn đường kính NK. Mà tam giác NSK nội tiếp (O) => O là trung điểm của KN và 3 điểm K, O, N thẳng hàng. Cho MS cắt DE tại L. Do NS // CD (cmt) => (2 góc ở vị trí solo trong ) (8c) Mà (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung SM ) (8d) Từ (8c) , (8d) => Xét và LSE ta có : là góc chung , (cmt) => ~ LSE (g-g) => => LE2 = LM . LS (8e) Ta có: (Tứ giác DMNO nội tiếp) (8f) Mà (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MK) (8g) Từ (8f) , (8g) => Xét và LDS ta có : là góc chung , (cmt)
19. ~ LDS (g-g) => => LD2 = LM . LS (8h) Từ (8e) , (8h) => LD = LE => DE = 2DL = 2EL (9a) Ta có: ( góc ngoài bằng góc đối trong do tứ giác BMNC nội tiếp (O)) (9b) Mà ( Tứ giác AMDC nội tiếp ) (9c) Từ (9b) , (9c) => => BM là tia phân giác trong của tam giác EMD. Mà EM _|_ MC => MC là tia phân giác ngoài của tam giác EMB. Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác EMB ta có: => tanB : tan C => EC = 2EB => BE = BC => EC = 2BC => CD = 2BD => BC = BD + CD = CD + => CD = => => EC = 3CD => (9d) Từ (9a) , (9d) => EL = LD = CD => LC = 2LE. => (9e) Bài toán phụ: Trong tam giác ESC, lấy 1 điểm bất kỳ thuộc EC (ví dụ điểm O ) thì ta luôn có: Thật vậy ta có: Áp dụng bài toán phụ kết hợp với (9e) ta có: , => => => (9f) Ta có: CD = 2BD và BE = BC (cmt) =>ED = BE +BD = BC + BD = BD + CD + BD = 4 BD => BE = DE – BD = 3 BD => Theo như trên ta có: Ta có: OB _|_ SK => DS = DK ( quan hệ đường kính và dây cung)
20. Mà AD = 2 DS (cmt) => AK = AD + DK = AD + DS = AD + => . Theo như trên đã có => . Theo như trên ta có: Nếu đặt BD = a => CD = 2BD = 2a, AD =BD . tanB = .a AB = AC = Ta có: (Tứ giác AMDC nội tiếp) .Mà (cmt) => => MD // AC ( 2 góc ở vị trí đồng vị) MD // AC. Áp dụng định lý ta lét trong tam giác ABC: => MD = Theo như trên ta có: CosCAB = và => CosACB = Ta có: => Tứ giác ANDB nội tiếp ( 2 góc cùng nhìn 1 cạnh dưới 2 góc bằng nhau) => Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông BNC Xét và ta có: là góc chung, (cmt) => ~ ( g-g) => = cos ACB => DN = AB . cosACB = 3a . = Ta có: (cmt) mà ( Tứ giác AMDC nội tiếp) => => ( cùng phụ với 2 góc bằng nhau) => AD là tia phân giác trong của tam giác DMN Lại có: DE _|_ AD => DE là tia phân giác ngoài của tam giác DMN =>
21. Từ các kết quả chứng minh trên ta có: , (do AN = NC) , (9g) Áp dụng liên tiếp bài toán phụ về tỉ số diện tích kết hợp với (9g) = 1 => (10a) Theo như trên => = 1 Theo như trên ta có (10b) Áp dụng liên tiếp bài toán phụ về tỉ số diện tích kết hợp với (10b) => (10c) Từ (10a) , (10c) => (10d) Từ (9f) , (10d) => 18 + 2 = 20 (10d) Ta lại có: = 20 (10e) Từ (10d) , (10e) => (đpcm)