Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Đề thi thử số 00 - Năm học 2020-2021 - Phòng giáo dục và đào tạo Quế Võ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Đề thi thử số 00 - Năm học 2020-2021 - Phòng giáo dục và đào tạo Quế Võ (Có đáp án)

1. TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC UBND HUYỆN QUẾ VÕ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ THI THỬ SỐ 00 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: (6,0 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 y2 2xy xz yz b) x3 x 3x2 y 3xy2 y3 y 2. Tìm hai số x, y thỏa mãn: x2 2y2 2(3x 2y) 11 0 3. Cho x y z 0 . Chứng minh rằng : x3 y3 z3 3xyz Bài 2: (3,0 điểm) 2 1 1 ÁN GIÁO DỤC TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN 1. Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức x y 2x y x3 y3 M y3 x3 2. Xác định các số a,b biết: 2x3 + ax + b chia cho x 1 dư 6 ; chia cho x 2 dư 21 Bài 3: (7,0 điểm) 1. Cho hình vuông ABCD , M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD , kẻ ME  AB , MF  AD a) Chứng minh DE CF ; b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF,CM đồng quy; c) Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất 2. Cho tam giác ABC nhọn, O là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho ·ABO ·ACO . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, AC ; M , I lần lượt là trung điểm của BC, DE . Chứng minh rằng MI vuông góc với DE Bài 4: (4,0 điểm) 1. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 xy 2020x 2021y 6054 0 2. Cho a,b là các số thực thỏa mãn a2 b2 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a4 b4 4ab = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN QUẾ VÕ Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6,0 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 y2 2xy xz yz b) x3 x 3x2 y 3xy2 y3 y 2. Tìm hai số x, y thỏa mãn: x2 2y2 2(3x 2y) 11 0 3. Cho x y z 0 . Chứng minh rằng : x3 y3 z3 3xyz ÁN GIÁO DỤC TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN Lời giải 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a)x2 y2 2xy xz yz (x y)2 z(x y) (x y)(x y z) b)x3 x 3x2 y 3xy2 y3 y (x y)(x2 xy y2 ) (x y) 3xy(x y) 2 2 2 (x y)(x xy y 1 3xy) (x y) (x y) 1 (x y)(x y 1)(x y 1) 2. Tìm hai số x, y thỏa mãn: x2 2y2 2(3x 2y) 11 0 x2 2y2 2(3x 2y) 11 0 x2 2y2 6x 4y 11 0 (x2 6x 9) 2(y2 2y 1) 0 (x 3)2 2(y 1)2 0 (1) Do (x 3)2 0 ; 2(y 1)2 0 (x 3)2 2(y 1)2 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra x 3 và y 1 3. Cho x y z 0 . Chứng minh rằng : x3 y3 z3 3xyz Có x y z 0 x (y z) Xét vế trái: x3 y3 z3  (y z)3 y3 z3 y3 3y2 z 3zy2 z3 y3 z3 3yz(y z) 3xyz = Vế phải (do x (y z) ) đpcm Bài 2: (3,0 điểm) 2 1 1 1. Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức x y 2x y x3 y3 M y3 x3
3. TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2. Xác định các số a,b biết: 2x3 + ax + b chia cho x 1 dư 6 ; chia cho x 2 dư 21 Lời giải 2 1 1 1. Cho x, y là các số thực thỏa mãn . Tính giá trị của biểu thức x y 2x y x3 y3 M y3 x3 2 1 1 Ta có (ĐKXĐ: x 0, y 0, y 2x ) x y 2x y 2y(2x y) x(2x y) xy 4xy 2y2 2x2 xy xy x2 y2 2xy 0 x2 y2 2xy y x x2 y2 Do x 0, y 0 xy 0 2 2 2 4 ÁN GIÁO DỤC TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN x y y x Vậy giá trị của M 4 2. Xác định các số a,b biết: 2x3 + ax + b chia cho x 1 dư 6 ; chia cho x 2 dư 21 3 Đặt f(x) 2x + ax + b Ta có f(x) Q(x) (x 1) 6 f( 1) 6 2 a b 6 a b 4 (1) Ta có f(x) P(x) (x 2) 21 f(2) 21 16 2a b 21 2a b 5 (2) Từ (1) và (2) suy ra a 3,b 1 Vậy a 3,b 1 Bài 3: (7,0 điểm) 1. Cho hình vuông ABCD , M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD , kẻ ME  AB , MF  AD a) Chứng minh DE CF ; b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF,CM đồng quy; c) Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất 2. Cho tam giác ABC nhọn, O là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho ·ABO ·ACO . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, AC ; M , I lần lượt là trung điểm của BC, DE . Chứng minh rằng MI vuông góc với DE Lời giải
4. TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC A E B H F M ÁN GIÁO DỤC TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN D C a) Chứng minh DE CF AF ME + Có tứ giác AEMF là hình chữ nhật AE MF + FMD có M· ED 900 (gt) và M· DF 450 (Do DB là phân giác) MDF vuông cân tại F MF FD nên FD AE( FM ) AED DFC (c-g-c) DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF,CM đồng quy + Gọi CF  DE tại Q Vì AED DFC (cmt) ·ADE D· CF ( 2 góc tương ứng) Mà ·ADE E· DC 900 (Do ·ADC 900 ) E· CD E· DC 900 Hay D· QC 900 DE  CF tại Q + Chứng minh tương tự ta được CE  BF + Gọi EM  DC tại K . Có DC P AB (Do DFMK là hình vuông) mà ME  AB (gt) EM  DC hay M· KC 900 + C/m tứ giác DFMK là hình chữ nhật (Do có 3 góc vuông) Mà DM là phân giác của F· DK (Do DB là phân giác của ·ADC ) Tứ giác DFMK là hình vuông MK MF + C/m tứ giác EKCB là hình chữ nhật KC EB AC DK + Mà BEM vuông cân tại E EB EM nên EM KC( EB) + MEF KCM (c-g-c) K· MC E· FM Gọi CM  EF tại H H· ME K· MC (đối đỉnh) E· FM H· ME
5. TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Mà E· MH H· MF 900 (Do tứ giác AEMF là hình chữ nhật) E· FM H· MF 900 hay F· HM 900 CH  EF + Xét CEF có CM  EF tại H (cmt); ED  CF (cmt); FB  EC (cmt) DE, BF,CM đồng quy (đpcm) c) Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất Giải: Có tứ giác MEAF là hình chữ nhật SMEAF AE.EM AE.EB ( Do EB EM ) Áp dụng BĐT Cô si ta có: AB2 AB2 AE EB 2 AE.EB AB 2 AE.EB AE.EB S 4 MEAF 4 ÁN GIÁO DỤC TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN Dấu = xảy ra khi AE EB hay AE EM . Mà AEMF là hình chữ nhật AEMF là hình vuông AM là phân giác của E· AF . Mà AC là phân giác của B· AD (E AB; F AD) M AC Vậy M là giao điểm của AC và BD thì SAEMF lớn nhất 2. Cho tam giác ABC nhọn, O là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho ·ABO ·ACO . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, AC ; M , I lần lượt là trung điểm của BC, DE . Chứng minh rằng MI vuông góc với DE Lời giải A D E I O P Q C M B Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của OC và OB
6. TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC CO Xét tam giác vuông EPC có P là trung điểm của CO EP CP PO (tính chất đường 2 trung tuyến trong tam giác vuông) Xét tam giác CPE có EP CP CPE cân tại P E· CP C· EP E· PO 2E· CP (1) (tính chất góc ngoài của tam giác) Tương tự ta có D· QO 2D· BQ (2) Từ 1 , 2 E· PO D· QO (do ·ABO ·ACO theo giả thiết) Xét OBC có Q là trung điểm của OB và M là trung điểm của BC MQ là đường trung bình của OBC MQ / /CO (3) (theo tính chất của đường trung bình). Tương tự PM / /OB (4) Xét tứ giác POQM có MQ / /CO và PM / /OB POQM là hình bình hành (dấu hiệu nhận ÁN GIÁO DỤC TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN biết tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành) O· PM O· QM Xét hai tam giác EPM và tam giác MQD có EP MQ (vì cùng bằng PO ) O· PM O· QM PM DQ (vì cùng bằng OQ ) Suy ra EPM MQD c g c EM DM (2 cạnh tương ứng) Xét EMD có EM DM EMD cân tạn M , mặt khác I là trung điểm của ED MI đồng thời là đường trung tuyến và là đường cao MI  ED (điều phải chứng minh) Bài 4: (4,0 điểm) 1. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 xy 2020x 2021y 6054 0 2. Cho a,b là các số thực thỏa mãn a2 b2 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a4 b4 4ab Lời giải 1. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x2 xy 2020x 2021y 6054 0 Ta có: x2 xy 2020x 2021y 6054 0 x(x y 1) 2021(x y 1) 4033 (x 2021(x y 1) 4033 Có x 2021 U(4033) x; y Z x 2021; x y 1 Z x y 1 U(4033) Mà U(4033) 1; 37; 109; 4033 Ta có bảng:
7. TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 4033 - 37 1 1 37 109 4033 x 2021 10 9 1 37 - 4033 4033 109 37 1 x y 1 10 9 x 2012 1912 1984 2020 2022 2058 2130 6054 y 2010 1950 2094 6054 2010 1950 2094 6054 Vậy (x; y) ( 2012;2010);(1912; 1950);(1984; 2094);(2020; 6054);(2022;2010);(2058; 1950);(2130; 2094);(6054; 6054) 2. Cho a,b là các số thực thỏa mãn a2 b2 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a4 b4 4ab 4 4 2 2 2 2 2 2 ÁN GIÁO DỤC TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN Giải: Xét P a b 4ab (a b ) 2a b 4ab mà a b 4 P 16 2a2b2 4ab P 16 2(a2b2 2ab) P 18 2(ab 1)2 Do a2 b2 2ab 4 2ab ab 2 Có ab 2 ab 1 1 (ab 1)2 1 2(ab 1)2 2 P 16 ab 2 1 a2 4 a4 4a2 4 0 (a2 2)2 0 2 2 2 Dấu = xảy ra khi a b 4 a a2 2 a 2 b 2 a 2;b 2 Vậy để giá trị nhỏ nhất của P 16 a 2;b 2