Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo Bình Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo Bình Giang (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2018 - 2019 MÔN: TOÁN - LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề bài gồm 1 trang) Câu 1 (2,0 điểm). 20 2 112 4 1) Rút gọn biểu thức: A 5 7 3 3 1 5 1 2x 1 x 1 x 2) Chứng minh rằng: x 1 x 0 với 0 x 1 . 2 x x2 1 Câu 2 (2,0 điểm). x x 1 4 1) Giải phương trình: x2 x 1 7 2) Cho xy 1 và x y 3 . Tính giá trị đa thức: A x5 y5 . Câu 3 (2,0 điểm). 1) Biết 0,9999 9 (18 chữ số 9) là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Hãy tìm 18 chữ số đầu tiên của phần thập phân của số đó. 2) Chứng minh rằng: Tích của một số chính phương với số liền trước của nó là một số chia hết cho 12 (Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên). Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD D AC . Kẻ CH vuông góc với tia BD tại H. 1) Tính sin A·BD (Kết quả để nguyên dấu căn bậc hai). 2) Chứng minh rằng: A·HB 450 . 3) Chứng minh rằng: Diện tích tam giác ABH bằng 6 lần diện tích tam giác ADH. Câu 5 (1,0 điểm). 1 Cho hai số x, y thỏa mãn: 8x2 y2 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của xy. 4x2 (Ghi chú: Học sinh không được dùng máy tính cầm tay khi làm bài thi) Họ tên học sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: . . Chữ kí giám thị 2:
2. PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Đáp án Điểm 20 2 112 4 1)A 5 7 3 3 1 5 1 0,25 2 5 2 4 7 4 35 15 3 1 5 1 2 5 1 3 1 4 7 1 5 1 35 15 0,25 3 1 5 1 15 5 3 1 35 7 5 1 35 15 0,25 7 3 2 0,25 Câu 1 2x 1 x 1 x (2,0 đ) 2) Với 0 x 1 : x 1 x 2 x x2 1 0,25 x 1 x x 1 x x 1 x x 2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 2 x 1 x 0,25 x 1 x x 1 x x 1 x 0,25 = 0 0,25 1) ĐK: x 0 x2 x 1 0 : x x 1 4 x x 1 4 x x 1 4 x2 x 1 7 x2 2x 1 x 7 2 2 7 x 1 x 0,25 x x 1 4 1 4 x 1 x x 1 x 7 x x 1 7 2 Câu 2 1 3 (2,0 đ) 4x 4 x 3 0 (Do x x 1 x 0 ) 0,25 2 4 2 4x 4 x 1 4 0 2 x 1 22 0 0,25 3 1 2 x 3 2 x 1 0 x hoặc x (Loại) 2 2 0,25 9 x (Thỏa mãn) 4
3. 2) Cho xy 1 và x y 3 x y 2 9 x2 y2 2xy 9 x2 y2 7 0,25 x3 y3 x y x2 y2 xy 3. 7 1 18 0,25 Ta có: x2 y2 x3 y3 x5 y5 x2y2 x y 0,25 Hay: 7.18 x5 y5 12.3 x5 y5 126 3 123 0,25 1) Đặt 0,999 9 = a. Để chứng minh 18 chữ số thập phân đầu tiên của a là các chữ số 9, muốn vậy cần chứng minh a < 0,25 a < 1. Thật vậy ta có: 0 < a < 1 a(a – 1) < 0 a2 – a < 0 a2 < 0,25 a. Từ 0 < a2 < a < 1 suy ra a < a < 1. 0,25 Vậy 0,9999 9 = 0,9999 9 (18 chữ số 9 đầu tiên sau 1 44 2 4 43 Câu 3 18chu so9 0,25 (2,0 đ) phẩy) 2) Số chính phương có dạng n2 n N , tích của một số chính 0,25 phương với số liền trước của nó là: n2 n2 1 n 1 n2 n 1 Ta có: n 1 n n 1 M3 với mọi n N n2 n2 1 M3 0,25 n 1 n M2 ; n n 1 M2 với mọi n N n2 n2 1 M4 0,25 Do 3, 4 là hai số nguyên tố cùng nhau nên: n2 n2 1 M12 0,25 1 1) Ta có AD AB . B 2 Áp dụng định lý Py-ta-go trong 0,25 tam giác vuông ABD có: BD2 AB2 AD2 AB2 5AB2 AB2 0,25 K 4 4 Câu 4 AB 5 (3,0 đ) A D C BD 2 0,25 AD H sin A·BD BD AB AB 5 1 1 : sin A·BD 0,25 2 2 5 5 2) Chứng minh được: ABD đồng dạng HCD (g.g) 0,25 BD AD BD CD 0,25 CD HD AD HD
4. BDC đồng dạng ADH (c.g.c) 0,25 A·HD B·CD 450 (Do ABC vuông cân) A·HB 450 0,25 AD BD 3) Ta có ABD đồng dạng HCD (g.g) HD CD 0,25 AD HD AD 1 HD AD 1 mà sin A·BD BD CD BD 5 CD BD 5 HD AD 1 1   (Vì AD = CD) 0,25 CD BD 5 5 HD 1 hay BD = 5HD BH = 6DH 0,25 BD 5 Kẻ AK vuông góc với BH, ABH và ADH có chung đường 0,25 cao AK và BH = 6DH SABH 6SADH 2 2 1 2 1 2 2 8x y 2 4 4xy 4x 2 2 4x 4xy y 2 0,25 4x 4x 2 1 2 4xy 2x 2x y 2 0,25 2x 2 1 1 2 1 1 xy 2x 2x y 2 . 2 0,25 Câu 5 4 2x 4 2 (1,0 đ) 1 Dấu bằng xảy ra khi: 2x 0 và 2x y 0 2x x;y 0,5;1 , 0,5; 1 . 0,25 1 Vậy xy đạt giá trị nhỏ nhất là khi 2 x;y 0,5;1 , 0,5; 1 . Ghi chú: - Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.