Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Thanh Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng giáo dục và đào tạo huyện Thanh Sơn (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN THANH SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÒNG GD& ĐT Năm học: 2019 - 2020 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề có 03 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm). Hãy chọn phương án trả lời đúng rồi ghi vào tờ giấy thi. Câu 1. Rút gọn biểu thức x 1 2x x2 khi x  2 được kết quả là: A.2x 1 B. 1 C. 2 D. -1 3 Câu 2. Tập hợp các giá trị nguyên của xđể biểu thức 2 x có nghĩa x 1 là: A. x 1;0;1;2 B. x0;1;2 C. x1;2 D. x 1;0;1 9 Câu 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức P =1+ là: x2 +1 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 1 1 Câu 4. Số nghiệm của phương trình 1 là: x 3 x 2 x 2 x 1 A. 1 B. 2 C.3 D. Vô nghiệm Câu 5. Giá trị của biểu thức 264 2 1 22 1 24 1 232 1 bằng: A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2 Câu 6. Số các giá trị x để P = có giá trị là số nguyên là: x - x +1 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 7. Cho số thực x thỏa mãn 0 x 5 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x 8- x + 5- x x +3 là: 3 22 5 22 A. B. C. 3 5 D. 5 3 2 2 Câu 8. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1- x + 1+ x 2 x là: 3 3 3 3 A. 0 B. 2 C. D. 2 2 1
2. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Câu 9. Biểu thức S = 12 22 32 12 32 42 12 992 1002 Có giá trị bằng: A. 98 B. 99 C. 98,49 D. 99,49 Câu 10. Cho hình chữ nhật ABCD. Từ D hạ đường vuông góc với AC tại H. Biết rằng AB = 13 cm; DH = 5 cm. Khi đó BD bằng: 169 169 169 169 A. cm B. cm C. cm D. cm 10 11 12 17 Câu 11. Cho hình chữ nhật ABCD. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BD ở H. Biết rằng DH = 9cm; BH = 16cm. Chu vi hình chữ nhật ABCD bằng: A. 35 cm B. 50 cm C. 70 cm D. 80 cm Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 9 cm; AC = 12 cm. Khi đó độ dài CH là: A. 8,4 cm B. 9,2 cm C. 9,4 cm D. 9,6 cm Câu 13. Cho tam giác ABC có A = 2B , AC = 4,5 cm và BC = 6 cm. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Độ đài đoạn AE là: A. 2,5 cm B. 3,5 cm C. 4 cm D. 5 cm Câu 14. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : AC = 4 : 3 và BC = 75 cm. Khi đó BH bằng: A. 28 cm B. 36 cm C. 48 cm D. 52 cm Câu 15. Hình bình hành có hai cạnh là 5 cm và 6 cm, góc tạo bởi hai cạnh đó là 1500 . Diện tích hình bình hành đó là: A. 15 cm2 B. 17 cm2 C. 20 cm2 D. 24 cm2 Câu 16. Giữa hai toà nhà (kho và phân A xưởng) của một nhà máy người ta xây dựng một băng chuyền AB để chuyển vật liệu. Khoảng cách giữa hai toà nhà là 10m, còn hai vòng quay của băng chuyền được đặt ở B độ cao 8m và 4m so với mặt đất. Độ dài AB của băng chuyền làm tròn đến chữ số thập 8 phân thứ nhất là: 4 A. 10,5 m B. 10,6 m 10 C. 10,7 m D. 10,8 m 2
3. II. PHẦN TỰ LUẬN. (12,0 điểm) Bài 1. (3,0 điểm). a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + xy + y2 = x2y2 b) Tìm số tự nhiên n sao cho 3n +19 là số chính phương. Bài 2. (3,0 điểm). a) Giải phương trình: x2 - 3x + 2 x2 +15x + 56 + 8 = 0 b) Giải phương trình: x x - 2 + x x - 5 = x x + 3 Bài 3. (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME AB, MF AD. a) Chứng minh: DE = CF và DE CF; b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy; c) Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Bài 4. (2,0 điểm) Cho ba số a, b, c dương, thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4a 2 + 6b2 + 3c2 . HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./. 3
4. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học: 2019 - 2020. Môn: Toán 9 (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống nhất cho điểm. Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai không tính điểm. I. PHẦN TRẮC NGHIỆM. (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 Câu B B C A D D B B 9 10 11 12 13 14 15 16 Câu C C C D B C A D II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm). Bài 1. (3,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + xy + y2 = x2y2 b) Tìm số tự nhiên n sao cho 3n +19 là số chính phương. Nội dung cần đạt Điểm a) Thêm xy vào hai vế ta được x2 2xy y2 x2 y2 xy 0,25  x y 2 xy xy 1 0,25 Ta thấy xy và xy 1 là hai số nguyên liên tiếp, có tích là một số 0,25 chính phương nên tồn tại một số bằng 0 + Xét xy = 0 thay vào phương trình đầu ta có x2 y2 0 x y 0 0,25 + Xét xy 1 = 0 ta có xy = -1 nên x, y bằng (1; -1) hoặc (-1; 1) 0,25 Thử lại x, y lấy các giá trị (0; 0), (1; -1), (-1; 1) đều là nghiệm của 0,25 phương trình đã cho. b) Giả sử 3n 19 = a2 (a N ). Dễ thấy a chẵn nên a2  0(mod 4) 0,5 Suy ra 3n 1 (mod 4) Mặt khác, vì 3  1 (mod 4) nên 3n  ( 1)n (mod 4) 0,25 Vậy n là số chẵn hay n 2m (m N ).Ta có 32m 19 a2 nên 0,25 a 3m 1 a 3m a 3m 19 . Từ đó tìm được m = 2, suy ra  m a 3 19 0,5 n =4 4
5. Bài 2. (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 - 3x + 2 x2 +15x + 56 + 8 = 0 b) Giải phương trình: x x - 2 + x x - 5 = x x + 3 Nội dung cần đạt Điểm a) Phương trình được viết lại: (x 1)(x 2)(x 7)(x 8) 8 0 0,25  (x2 6x 16)(x2 6x 7) 8 0(1) Đặt t x2 6x 7 ta có (1)  t(t 9) 8 0 0,5  (t 1)(t 8) 0 t =1 hoặc t =8 Với t =1 ta có x2 6x 7 1 x2 6x 9 17 0,25  (x 3)2 17 Vậyx 3 17 hoặc x 3 17 Với t =8 ta có x2 6x 7 8  x2 6x 9 24 0,25  (x 3)2 24 Vậy x 3 24 hoặc x 3 24 Kết luận: tập nghiệm của phương trình là 0,25 x 3 17; 3 24; 3 17; 3 24 b) Điều kiện để phương trình có nghĩa là : x 3; x 0; x  5 0,25 x x - 2 + x x -5 = x x +3  x x - 2 + x -5 - x +3 0 0,25 x 0  x 0 (t / m) Nếu x - 2 + x -5 - x +3 0  x - 2 + x -5 = x +3 Nếu Bình phương hai vế của phương trình ta được: 0,25 x 2 x 5 2 x 2 x 5 x 3 5
6.  2 x 2 x 5 10 x  4 x 2 x 5 10 x 2 Đk: (x 10)  4 x 2 x 5 100 20x x2  4 x2 7x 10 100 20x x2 0,25  3x2 8x 60 0  (3x 10)(x 6) 0. Giải phương trình này  10  được x ;6 . 0,25  3  Thử lại chỉ có hai nghiệm x 0; x 6 thoả mãn đề bài. 0,25 Bài 3. (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME AB, MF AD. a) Chứng minh: DE = CF và DE CF; b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy; c) Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. Nội dung cần đạt Điểm Hình vẽ A E B F M N D C a) Chứng minh tứ giác AEMF là hình chữ nhật suy ra AE = MF 0,25  MDF cân ở F suy ra MF = FD AE = FD 0,5  AED = DFC (c.g.c) Suy ra DE = CF Mà E DA = F CD mà E DA +E DC = 900 0 0 0,5 Vậy F CD +E DC = 90 hay N CD +N DC = 90 Do đó C ND = 900 suy ra DE CF 0,25 6
7. b) Tương tự: EC BF ta có MC = MA và MA = EF suy ra MC = EF 0,5  MCF = FED (c.c.c). Do đó F ED = M CF 0,25 Gọi H là giao điểm của CM và EF ta có F ED +E FC = 900 . Vì thế 0 0 0,5 M CF +C FE = 90 thì E HM = 90 suy ra CM EF Trong  ECF có ED, FB, CM là ba đường cao nên chúng đồng quy. 0,25 c) CAEMF = AE + EM + AF + FD = 2AB là không đổi nên ME + MF không đổi. Do đó tích ME.MF lớn nhất khi và chỉ khi ME = MF 1 Hay SAEMF ME.MF lớn nhất khi và chỉ khi ME = MF 1,0 2 Suy ra AEMF là hình vuông khi và chỉ khi M O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD. Bài 4. (2,0 điểm) Cho ba số a, b, c dương, thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4a 2 + 6b2 + 3c2 . Nội dung cần đạt Điểm 8 16 Ta có P 4a2 4 6b2 3c2 12 0,5 3 3 Áp dụng BĐT Côsi, ta có 8 16 P  2. 16a2 2. 6b2. 2. 3c2. 12 3 3 0,5 P  8a 8b 8c 12 8.3 12 12 (do a b c 3 ) 2 4 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a 1;b ;c 0,5 3 3 2 4 Vậy Min P 12  a 1;b ;c 0,5 3 3 HẾT 7