Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THỪA THIấN HUẾ LỚP 9 THCS_ NĂM HỌC 2018-2019 MễN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) Bài 1. (4,0 điểm) 4 2 a) Biết x0 là một nghiệm dương của phương trỡnh x 2 8 x 3 8 0. Tớnh giỏ trị của 6 4 2 biểu thức A x0 2 2 8 x0 678 8 x0 8 670 8.(Khụng sử dụng mỏy tớnh cầm tay để tớnh) 1 1 2 1 1 x3 x y y x y3 b) Cho biểu thức C . : , với x 0, y 0. Biết 3 3 x y x y x y x y xy tớch xy 16. Tỡm cỏc giỏ trị của x, y để biểu thức C cú giỏ trị nhỏ nhất, tớnh giỏ trị nhỏ nhất đú. Bài 2. (4,0 điểm) 3 a) Giải phương trỡnh x3 3x2 2 x 2 6x 0. mx 4y 10 m b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của m để hệ phương trỡnh cú nghiệm x, y x my 4 nguyờn dương. Bài 3. (3,0 điểm) Cho phương trỡnh x2 2 m 1 x 4m 0. (*) a) Giải phương trỡnh (*) khi m 1. b) Xỏc định cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (*) cú đỳng một nghiệm dương. c) Xỏc định cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (*) cú hai nghiệm x1; x2 sao cho x1 3 x2. Bài 4. (3,5 điểm) Cho hai đường trũn O1;r1 và O2;r2 cắt nhau tại hai điểm A và B. Biết rằng r1 1cm; r2 2cm; AB 1cm và hai điểm O1, O2 nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB. Đường thẳng d đi qua A cắt hai đường trũn O1 , O2 lần lượt tại M và N sao cho điểm A nằm giữa hai điểm M và N. Tiếp tuyến của đường trũn O1 tại M và tiếp tuyến của đường trũn O2 tại N cắt nhau tại điểm E. a) Chứng minh tứ giỏc BMEN là tứ giỏc nội tiếp. b) Tớnh độ dài đoạn thẳng O1O2. c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của tổng 2EM EN. Bài 5. (3,5 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC AB AC nội tiếp đường trũn O;R , cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H D BC , E AC , F AB . Vẽ tia Ax là tia tiếp tuyến của đường trũn O tại A, tia Ax nằm trờn nửa mặt phẳng bờ AB cú chứa điểm C . Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC . Đường thẳng đi qua F song song với AC cắt AK, AD lần lượt tại M, N a) Chứng minh rằng AE.AC AF.AB. b) Chứng minh rằng Ax / /EF. Từ đú suy ra OA  EF. c) Chứng minh rằng MF NF. x3 y3 x2 y2 Bài 6. (2,0 điểm) Cho x, y 1. Chứng minh rằng: 8 . x 1 y 1 ___HẾT___ Họ và tờn thớ sinh: .Số bỏo danh:
2. Họ và tờn GT1: .Họ và tờn GT2: . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THỪA THIấN HUẾ LỚP 9 THCS_NĂM HỌC 2018-2019 ĐÁP ÁN_HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN Hướng dẫn này gồm cú 06 trang Chỳ ý: - Học sinh làm cỏch khỏc, đảm bảo kiến thức cấp học của bộ mụn vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài khụng làm trũn. Bài 1. (4,0 điểm) Bài Lời giải 4 2 Biết x0 là một nghiệm dương của phương trỡnh x 2 8 x 3 8 0. 6 4 2 Tớnh giỏ trị của biểu thức A x0 2 2 8 x0 678 8 x0 8 670 8. (Khụng sử dụng mỏy tớnh cầm tay để tớnh) Giải phương trỡnh x4 2 8 x2 3 8 0, ta cú nghiệm x2 1; x2 3 8. 1a x0 3 8 là nghiệm dương cần tỡm. Ta cú A x6 2 2 8 x4 678 8 x2 8 670 8 x2 8 x4 2 8 x2 3 8 673 0 0 0 0 0 0 2 4 2 Mà x0 8 3, x0 2 8 x0 3 8 0, Suy ra A 3.673 Vậy F 2019. 1 1 2 1 1 x3 x y y x y3 Cho biểu thức C . : , với x y x y x y 3 3 x y xy x 0, y 0. Biết tớch xy 16. Tỡm cỏc giỏ trị của x, y để biểu thức thức C cú giỏ trị nhỏ nhất, tớnh giỏ trị nhỏ nhất đú. Do x> 0, y> 0, ta cú: 1 1 2 1 1 x3 x y y x y3 C . : 3 3 x y x y x y x y xy 1b x y 2 x y x y x xy y x y xy . : xy x y xy x y xy 2 2 x y x y x y x y xy x y : . . xy xy x y xy xy x y xy Với x 0, y 0 thỡ x y 2 xy x y 2 xy 2 16 Với xy 16 thỡ C 1. xy xy 16 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 HSG NĂM HỌC 2018-2019 TRANG 1
3. x y Vậy min C 1 khi x y 4. xy 16 Bài 2. (4,0 điểm) Bài Lời gải 3 Giải phương trỡnh x3 3x2 2 x 2 6x 0. Điều kiện x 2. Đặt y x 2. Phương trỡnh viết lại: 3 3 x3 3x2 2 x 2 6x 0 x3 3x x 2 2 x 2 0 x3 3xy2 2y3 0 2 y x x y x 2y 0 2y x x 0 2a x 0 Khi y x x 2 x x 2 tm k x 2 2 x 1 đ x 2 x x 2 2 x 0 2 x 0 Khi 2y x 2 x 2 x 2 x 2 2 3 4x 8 x x 2 2 3 x 2 2 3 tmđk x 2 Vậy phương trỡnh đó cho cú tập nghiệm: S 2 2 3; 2. mx 4y 10 m Tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của m để hệ phương trỡnh cú x my 4 nghiệm x, y nguyờn dương. mx 4y 10 m m 4 my x 4y 10 m 4m m2y 4y 10 m x my 4 x 4 my x 4 my 2 m 4 y 5 m 2 x 4 my 0y 0 + Nếu m 2, thỡ ta cú hệ: Hệ cú vụ số nghiệm x 4 2y, y Ă . 2b x 4 2y Theo yờu cầu x, y nguyờn dương. Do đú để x 0 0 y 2 y 1, x 2. 0y 20 + Nếu m 2, thỡ ta cú hệ: Hệ phương trỡnh vụ nghiệm. x 4 2y 8 m 5 + Nếu m 2, thỡ hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x ; y . m 2 m 2 m 2 1 m 1 Để y nguyờn dương thỡ . m 2 5 m 3 • Thế m 1 x 9 (thỏa). • Thế m 3 x 1 (thỏa). HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 HSG NĂM HỌC 2018-2019 TRANG 2
4. Vậy cỏc giỏ trị m cần tỡm là: m 1;2;3. Bài 3. (3,0 điểm) Cho phương trỡnh x2 2 m 1 x 4m 0. (*) Bài Lời giải Giải phương trỡnh (*) khi m 1. Khi m 1, phương trỡnh viết lại: x2 4x 4 0 3a Giải phương trỡnh ta cú x 2. Suy ra phương trỡnh cú cỏc nghiệm x 2. Xỏc định cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (*) cú đỳng một nghiệm dương. Phương trỡnh: x2 2 m 1 x 4m 0. (*) Ta cú: m 1 2 4m m 1 2 + Phương trỡnh (*) cú nghiệm kộp dương 2 0 m 1 0 m 1 m 1 a x x 0 m 1 3b 1 2 m 1 0 + Phương trỡnh (*) cú hai nghiệm trỏi dấu 4m 0 m 0. (b) + Phương trỡnh (*) cú một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương khi: 4m 0 m 0 m 0 m 0 (c) S 0 2 m 1 0 m 1 Kết hợp (a), (b) và (c) cỏc giỏ trị m cần tỡm là m 0, m 1. Xỏc định cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (*) cú hai nghiệm x1; x2 sao cho x1 3 x2. Để phương trỡnh (*) cú hai nghiệm x ; x phõn biệt sao cho x 3 x khi và chỉ khi 1 2 1 2 2 m 1 0 x1 3 x2 3 0 m 1 3c (1) x1x2 3 x1 x2 9 0 Mà x1 x2 2 m 1 ; x1x2 4m. m 1 m 1 m 1 3 (1) m x1x2 3 x1 x2 9 0 4m 6 m 1 9 0 2m 3 0 2 3 Cỏc giỏ trị m cần tỡm là: m . 2 Bài 4. (3,5 điểm) Cho hai đường trũn O1;r1 và O2;r2 cắt nhau tại hai điểm A và B. Biết rằng r1 1cm; r2 2cm; AB 1cm và hai điểm O1, O2 nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 HSG NĂM HỌC 2018-2019 TRANG 3
5. Đường thẳng d đi qua A cắt hai đường trũn O1 , O2 lần lượt tại M và N sao cho điểm A nằm giữa hai điểm M và N. Tiếp tuyến của đường trũn O1 tại M và tiếp tuyến của đường trũn O2 tại N cắt nhau tại điểm E. Bài Lời giải Chứng minh tứ giỏc BMEN là tứ giỏc nội tiếp. N E A O1 4a H O2 B M Ta cú: Ã BN Ã NE; Ã BM Ã ME Mã BN Mã BA Ã BN Ã ME Ã NE Mã BN Mã EN Eã MN Eã NM Mã EN 180o Vậy tứ giỏc EMBN là tứ giỏc nội tiếp (đpcm). b) Tớnh độ dài đoạn thẳng O1O2. Gọi H là giao điểm của O O với AB. Ta cú: AH = BH và O O  AB. 1 2 1 2 2 2 1 1 DO1AH vuụng tại H, nờn O1H = O1A - AH = 1- = 3 (cm) 4b 4 2 1 1 DO AH vuụng tại H, nờn O H = O A2 - AH2 = 4- = 15 (cm) 2 2 2 4 2 1 1 1 Vậy O O = O H + O H = 3 + 15 = 3 + 15 (cm) 1 2 1 2 2 2 2( ) c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của tổng 2EM EN. BN AO2 DO1O2A ∽ DMNB ị = = 2 ị BN = 2BM. BM AO1 EM AN DEMB ∽ DNAB ị = = AN ị EM = BM.AN (v ì AB = 1cm). BM AB Chứng minh tương tự, ta cú: EN = NB.AM 4c Nờn: 2EM+ EN = 2MB.AN+ NB.AM = 2MB.AN+ 2MB.AM= 2MB(AN+ AM)= 2MB.MN (1) MN MB Mặt khỏc DMBN ∽ DO1AO2 ị = Ê 2 ị MN Ê 2O1O2; MB Ê 2O1A. O1O2 O1A Suy ra : 2MB.MN Ê 2.2O1 A.2O1O2 = 4( 3 + 15). Dấu “ = ” xẩy ra khi và chỉ khi MB = 2r hay M là điểm đối xứng với B qua O . 1 1 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 HSG NĂM HỌC 2018-2019 TRANG 4
6. Bài 5. (3,5 điểm) Cho tam giỏc nhọn ABC AB AC nội tiếp đường trũn O;R , cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H D BC , E AC , F AB . Vẽ tia Ax là tia tiếp tuyến của đường trũn O tại A, tia Ax nằm trờn nửa mặt phẳng bờ AB cú chứa điểm C . Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC . Đường thẳng đi qua F song song với AC cắt AK, AD lần lượt tại M, N. Bài Lời giải Chứng minh rằng AE.AC AF.AB. x A E M I 5a F H O N K B D C o Hai tam giỏc ABE và ACF cú: Bã AC chung, Ã EB Ã FC 90 ABE ∽ ACF AB AE AE.AC AF.AB AC AF b) Chứng minh rằng Ax / /EF. Từ đú suy ra OA  EF. Ta cú Bã FC Bã EC 900 Tứ giỏc BFEC nội tiếp. 5b Suy ra: Ã EF Fã BC (gúc ngoài của tứ giỏc nội tiếp BFEC) Mà xã AC Ã BC (cựng chắn AằC ), do đú xã AC Ã EF nờn Ax / /EF. Mặt khỏc OA  Ax , do đú OA  EF. (đpcm) c) Chứng minh rằng MF NF. Gọi I là giao điểm của AD và EF . Ta cú Ã DE Ã BE Fã DH Suy ra DI là tia phõn giỏc Eã DF . ã 5c Mà AD  BC nờn DK là đường phõn giỏc ngoài EDF của DEF . KF IF DF Xột DEF cú (1). KE IE DE NF IF Áp dụng hệ quả Talet vào tam giỏc IAE cú FN / /AE (2). AE IE HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 HSG NĂM HỌC 2018-2019 TRANG 5
7. KF MF Tương tự KAE cú MF / /AE (3). KE AE NF MF Từ (1), (2), (3) cho NF MF (đpcm). AE AE Bài 6. (2,0 điểm) x3 y3 x2 y2 Cho x, y 1. Chứng minh rằng: 8 . x 1 y 1 Bài Lời gải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta cú: 3 3 2 2 x y x y x2 y2 x2 y2 2xy 2 . (1). x 1 y 1 y 1 x 1 y 1 x 1 x 1 y 1 a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a, b ta cú: ab 2 1 x 1 x 1 y 1 y Nờn: x 1 1. x 1 ; y 1 1. y 1 . 2 2 2 2 xy 2xy x 1 y 1 8 (2). 4 x 1 y 1 x3 y3 x2 y2 Từ (1) và (2) suy ra 8 (đpcm). x 1 y 1 x2 y2 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi: y 1 x 1 x y 2 . x 2, y 2 ___HẾT___ HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9 HSG NĂM HỌC 2018-2019 TRANG 6