Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Khối 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Khối 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. SƠ GIAO DUC VA ĐAO TAO KY THI CHON HOC SINH GIOI CÂP TINH TINH . LƠP 9 THCS, NĂM HOC 2022 - 2023 Môn thi: TOAN ĐÊ CHINH THƯC Ngay thi: / / . Thơi gian: 150 phut (không kê thơi gian phat đê) Câu 1. (3,00 điêm) Cho hê phương trinh vơi tham sô m: a) Giai va biên luân hê phương trinh theo m� .+ 𝑚 = � + 1 b) Trong trương hơp hê co nghiêm duy nh�ât�, t+im�c=ac3g�ia−tri1cua m đê tich xy nho nhât. Câu 2. (3,50 điêm) Giai hê phương trinh: (a, b, c la tham sô, a + b + c ≠ 0) (� + �)(� + �) − 𝑐 = � − � (� + �)(� + �) − �� = � − � Câu 3. (1,50 điêm) (T�im+s�ô)(c�hi+nh�p)h−ươ�n�g=lơn� −nh�ât, biêt răng nêu xoa hai chư sô tân cung cua no (hai chư sô nay không cung băng 0), ta lai đươc môt sô chinh phương. Câu 4. (5,00 điêm) Chưng minh răng: a) Vơi . n nguyên dương 1 1 1 n b) Vơi moi sô dương A, ta luôn tim đươc sô tư nhiênn n đê 1 + 2 + 3 + . . . + 2 −1 > 2 . 1 1 1 n Câu 5. (4,50 điêm)Cho đương tron tâm O1 +nô2i t+iêp3 h+in.h. .v+uô2ng−1A>BCAD, tiêp điêm trên AB la M. Môt tiêp tuyên vơi đương tron (O) căt cac canh BC, CD lân lươt ơ E, F. Chưng minh răng: a) Cac tam giac DFO va BOE đông dang; b) ME song song AF. Câu 6. (2,50 điêm) Cho ba đương thăng song song a, b, c theo thư tư ây, điêm A thuôc a, điêm B thuôc b. Goi M la môt điêm bât ki thuôc c. MA căt b ơ B’, MB căt a ơ A’. Chưng minh răng khi điêm M chuyên đông trên c thi đương thăng A’B’ luôn luôn đi qua môt điêm cô đinh. HÊT Thi sinh không sư dung tai liêu. Giam thi không giai thich gi thêm. Ho va tên thi sinh: ;Sô bao danh: Chư ki giam thi 1: .;Chư ki giam thi 2:
2. Đap an va thang điêm: Câu Đap an Điêm 1 3,00 đ a) Giai va biên luân hê phương trinh theo m. 1,50 đ Vơi m ≠ ± 1, hê co môt nghiêm duy nhât: . 0,50 đ 3�+1 �−1 Vơi m = 1, hê vô sô nghiêm: (x; 2-x) vơi x ϵ R. 0,50 đ �+1 ; �+1 Vơi m =-1, hê vô nghiêm. 0,50 đ b) Trong trương hơp hê co nghiêm duy nhât, tim cac gia tri cua m đê tich xy nho 1,50 đ nhât. Vơi m ≠ ± 1, ta co: 1,25 đ xy= = 2 = 2 2 = 2 ≥ - 1 (3�+1)(�−1) 3� −2�−1 4� −(� +2�+1) 4� Kêt luân: min2 xy = -1 khi2va chi khi m =2 0 2 0,25 đ (�+1) (�+1) (�+1) (�+1) − 1 2 Giai hê phương trinh: 3,50 đ Công tưng vê vơi vê: 1,00 đ (� + �)(� + �) − 𝑐 + (� + �)(� + �) − �� + (� + �)(� + �) − 𝑚 1,00 đ = � − � + � − � + � − � (� + �)(� + �) + (� + �)(� + �) + (� + �)(� + �) − �� − 𝑚 − 𝑐 = 0 ax + bx + ay + by + by + cy + bz + cz + ax + cx + az + cz − ax − by − = 0 ax + bx + ay + by + cy + bmz +a ac+zb++cc≠x0+ az = 0 =>ax(x+ +y +y z+=z)0+ b(x + y + z) + c(x + y + z) = 0 Dưa(vxa+o xy++yz)+(za =+0bt+hacy)v=ao0tưng vê, ra cac nghiêm lân lươt la: 1,50 đ ; 3 �−� �−� �−� 1,50 đ �+�+� �+�+� �+�+� Goi sô chinh phương phai tim la n2, t;a co n2 = 100A + b (A la sô trăm, 1≤ b ≤ 99). 0,25 đ Theo đê bai, 100A la sô chinh phương nên A la sô chinh phương. Đăt A=a2 (a ϵ N). Cân tim gia tri lơn nhât cua a. 0,50 đ Ta co: n2 > 100a2 => n > 10a => n ≥ 10a + 1 => n2 ≥ (10a + 1)2 => 100a2+b ≥ 100a2 + 20a +1 => b ≥ 20a + 1. Ma b ≤ 99 nên 20a + 1 ≤ 99 => a ≤ 4. 0,75 đ Ta co: n2 = 100a2 + b ≤ 1600 + 99 = 1699. Kiêm tra: 422 = 1764; 412 = 1681. Sô chinh phương lơn nhât phaI tim la 1681=412. 4 5,00 đ a) Chưng minh bât đăng thưc 2,00 đ Goi A= . Ta co: 1,00 đ 1 1 1 n A= 1 + 2 + 3 + . . . + 2 −1 1 1 1 1 1 1 n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 8 + . . . + 2 −1 1 1 1 1 1 1 1 1 Thay môi phân sô tr2ong mô2i dâu ngoăc b3ơi phân sô nhno−1nhât trong dâun ngoăcn đo: 1,00 đ 1 + 2 + 3 + 2 + 2 +1 + . . . + 2 + . . . + 2 +1 + . . . + 2 − 2 A> 1 1 1 1 1 2 3 2 n n−1 n = 1 + 2 + 2 . 2 + 2 . 2 + . . . += 12 +. 2 −> 2. 1 1 1 1 1 � 1 � b) Chưng minh bât đăng thưc n � 3,00 đ 1 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2 − 2 2 − 2 2
3. Ap dung câu a: , nêu ta chon k = 2n-1 thi 2,00 đ 1 1 1 n n 1 + 2 + 3 + . . . + 2 −1 > 2 2A 1 1 1 n 1,00 đ Như vây nêu chon k = 2 - 11th+i + + . . . + > 2 13 1 k 1 2 2A 5 4,50 đ a) Cac tam giac DFO va BOE đôn1g+da2n+g 3 + . . . + k > 2 = A 2,00 đ Dê dang chưng minh = 45o, = 45o. 0,50 đ Do đo: OFE ᔕ DFO(g.g). 1,00 đ Tương tư: OFE ᔕ �B�O�E(g.g). ��� Suy ra: DFO ᔕ BOE (tinh chât băc câu) 0,50 đ b) Chưng minh ME // AF 2,50 đ Đăt BM=a. Tư câu a suy ra 1,00 đ �� �� �� � 2 �� 2� �=�>= �� =>=>� 2 D=A�F�ᔕ=>BEM� (=c.g�.�c) �� �� 𝐵 = �� => = 0,50 đ Lai co: = nên = 0,50 đ Suy�ra�M� E �//�A�F 0,50 đ �𝐵 ��� ��� ��� 6 2,50 đ Goi giao điêm cua A’B’ vơi AB la O; h1, h2 lân 1,00 đ lươt la khoang cach cua c vơi a, vơi b. Dê dang chưng minh đươc: A’MA ᔕ BMB’ (g.g) => (ti sô đông dang băng ti sô đương h1 ��' ℎ1 cao) (1) ��' = ℎ2 Xet AOA’ va BOB’, ta co: 0,50 đ AOA’ ᔕ BOB’ (g.g) h2 => (2) 0,50 đ �� ��' Tư (1), (2) suy ra: 0,50 đ �� = ��' 1 => O la điêm cô đinh�.� ℎ = 2 Vây khi điêm M chu�yê�n đôℎng trên c thi đương thăng A’B’ luôn luôn đi qua môt điêm cô đinh (la O).