Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Vòng 1) - Bảng A - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Long An (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Vòng 1) - Bảng A - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Long An (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 LONG AN VÒNG 1 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (BẢNG A) Ngày thi: 23 tháng 10 năm 2012 Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1: ( 5,0 điểm ) a. Giải phương trình sau trên tập số thực: x 1 (2x 1) x 1 2 . 2 2 x y xy y 8 b. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 2 . xy y xy x y 12 Câu 2: ( 5,0 điểm ) a. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm A 1;2 ,B 4;3 . Tìm trên trục hoành điểm M sao cho ·AMB 450 . b. Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 6cm , trọng tâm là G . Một đường thẳng đi qua G , cắt các đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm M và N sao cho 2AM 3AN . Tính diện tích tam giác AMN . Câu 3: ( 4,0 điểm ) n Cho dãy số un được xác định bởi u1 1 và un 1 un 2 với mọi n 1 . n a. Chứng minh rằng: un 2 1 . b. Tính tổng S u1 u2 u3 un theo n . Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho các số thực dương a,b,c. 9 2 a. Chứng minh rằng: 2 a2 2 b2 2 a b 7 . 16 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (2 a2 )(2 b2 )(2 c2 ) P . (3 a b c)2 Câu 5: ( 3,0 điểm ) 1 Cho hàm số y mx3 m 1 x2 4 3m x 1 có đồ thị là C , m là tham số. Tìm 3 m các giá trị của m để trên Cm có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của Cm tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y 0 .
2. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ;Số báo danh:
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM LONG AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1) Môn: TOÁN, BẢNG A. Ngày thi: 23/10/2012 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn này có 03 trang ) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. Câu Đáp án Thang điểm 1 a. ( 2,5 điểm ) (5,0 1 Điều kiện: x . Đặt y x 1 2 (y 2 ), điểm) 2 0,25 x 1 y 2(x 1)y ta thu được hệ 2 y x 1 2 0,25 Suy ra x 1 y y2 x 1 (x 1)y 0,25 2 y x 1 1 y x 1 y x 1 0 0,25 y x 1 1 y 2 x 1 0 0,25 y 2 x 1 0,25 Do vậy 15 33 x 1 2 2 x 1 x . 32 0,5 15 33 Thay vào, thử lại thấy x thỏa mãn. 32 0,25 15 33 Đáp số: x . 32 0,25 b. ( 2,5 điểm ) u v 8 Đặt u x x y ,v y y 1 , hệ trở thành: u.v 12 0,5
4. u 2 u 6 Giải hệ tìm được hay v 6 v 2 0,25 + 0,25 3 17 u 2 x 1 3 x Với ta tìm được: hoặc 2 v 6 y 2 y 3 0,25 + 0,25 u 6 x 2 x 3 Với ta tìm được: , v 2 y 1 y 1 0,25 x 1 7 hoặc y 2 0,25 Kết luận : Hệ đã cho có các nghiệm 3 17 x 1 3 x x 2 x 3 x 1 7 , 2 , , , 0,5 y 2 y 1 y 1 y 2 y 3 a. ( 2,5 điểm ) 2 Gọi I x; y là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác (5,0 MAB. điểm) 0,25 + 0,25 AI BI Ta có:   AI.BI 0 3x y 10 2 2 x y 5x 5y 10 0 0,25 + 0,25 x 3 x 2 hay y 1 y 4 0,25 + 0,25  Với I 3;1 thì IA 5 . Đường tròn tâm I bán kính IA có phương trình x 3 2 y 1 2 5 cắt trục hoành tại hai 0,5 điểm M1 1;0 và M 2 5;0 .  Với I 2;4 thì IA 5 . Đường tròn tâm I, bán kính IA không cắt trục hoành. 0,5
5. b. ( 2,5 điểm ) Đặt AM x, AN y với x 0,y 0 . 1 x 3 1 y 3 S AM.AG.sin300 , S AN.AG.sin300 AMG 2 2 ANG 2 2 0,25 + 0,25 1 xy 3 S AM.AN.sin600 , S S S AMN 2 4 AMN AMG ANG 0,25 + 0,25 3 3 Nên ta có: (x y) xy 2 x y xy . 2 4 0,25 2 x y xy Vậy ta có hệ : 0,25 2x 3y x 5cm Giải hệ tìm được 10 y cm 3 0,5 xy 3 25 3 Diện tích cần tìm: S cm2 AMN 4 6 0,5 Câu Đáp án Thang điểm 3 a. 2,0 điểm (4,0 1 2 Khi n 1 : u2 u1 2 1 2 2 1 đúng. 0,5 điểm) k Giả sử uk 2 1 đúng với k 1,k N . 0,5 k 1 Ta chứng minh: uk 1 2 1 0,5 k k k k 1 Thật vậy: uk 1 uk 2 2 1 2 2 1 0,5 b. 2,0 điểm S 21 1 22 1 2n 1 21 22 2n n 0,5 + 0,5 2n 1 S 2. n 2n 1 n 2 2 1 0,5 + 0,5 a. 1,5 điểm 4 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: (3,0 14a2 14b2 16a2b2 36ab 1 0 0,5
6. điểm) 14 a b 2 4ab 1 2 0 đúng 0,5 1 Đẳng thức xảy ra khi a b 2 0,5 b. 1,5 điểm Đặt t a b , ta có: 16P (2t 2 7)(c2 2) 0,5 9 (3 t c)2 2 2 1 2 1 2 2 2 tc 3(t 1) 6 c (2t 7)(c 2) 2 2 1 1 (3 t c)2 (3 t c)2 0,25 + 0,25 9 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi a b c 16 2 0,25 + 0,25 5 y/ mx2 2(m 1)x 4 3m . Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 0,25 + 0,25 (3,0 Ta tìm m :mx2 2(m 1)x 4 3m 2 * có đúng một 0,5 điểm) nghiệm âm * x 1 mx 3m 2 0 x 1 hoặc mx 2 3m 0,25 + 0,25 m 0 : không thỏa yêu cầu 0,5 m 0 2 3m m 0 , yêu cầu bài toán xảy ra khi 0 2 0,25 + 0,25 m m 3 m 0 Kết luận: 2 0,5 m 3