Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục đào tạo Lâm Đồng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục đào tạo Lâm Đồng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 14/12/2023 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Câu 1. (4,0 điểm) 1.1. Tính giá trị biểu thức P ( x3 6 x 5) 2023 tại x 3324. 1.2. An mua một chiếc laptop cũ đã qua sử dụng 1 năm tại cửa hàng X với số tiền là 29,6 triệu đồng. Sau khi sử dưng được thêm 3 năm nữa, An mang chiếc laptop đó ra cửa hàng X để bán, cửa hàng mua lại với số tiền 17 triệu đồng. An thắc mắc về sự chênh lệch nhiều giữa giá mua và giá bán nên được nhân viên cửa hàng giải thích về mối liên hệ giữa giá tiền của một chiếc laptop với thời gian sử dụng biểu thị dưới dạng một hàm số y=ax+b ( x là số năm sử dụng, y là giá tiền). Hãy tính giá tiền ban đầu của chiếc laptop nêu trên khi chưa qua sử dụng. Câu 2. (4,0 điểm) 2.1. Hường ứng phong trào viết thư gửi các bạn thiếu nhi tại huyện đảo Trường Sa nhân dịp Tết Nguyên đán, hai bạn Lâm và Đồng mua số tờ giấy trắng bằng nhau và mua số phong bì bằng nhau. Lâm sử dụng một tờ giấy cho mỗi bức thư trong khi đó Đồng sử dụng ba tờ giấy cho mỗi bức thư. Biết rằng, Lâm dùng hết số phong bì đã mua còn dư 10 tờ giấy, Đồng dùng hết số giấy đã mua còn dư 10 phong bì. Tìm số tờ giấy mỗi bạn đã mua. 2.2. Số nhà bạn Bình là một số có hai chữ số mà hiệu bình phương của số đó với bình phương của số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. Tìm số nhà của bạn Bình. Câu 3. (4,5 điểm) 3.1. Một bức tường trang trí có hình dạng là một tam giác đều được ghép bởi 36 tam giác đều bằng nhau, mỗi tam giác đều đó có cạnh là 2 mét (minh họa bới hình bên). Hãy tính diện tích của phần sơn trang trí (phần tô đậm). 1
2. 3.2. Giải phương trình: (x 6 x 3)(1 x2 318)0 x Câu 4. (4,5 điểm) 4.1. Cho △ABC vuông tại A(AB a + b = 29,6 laptop sau khi sử dụng thêm 3 năm nữa (tổng 4 năm sử ab 29,6 dụng) có giá là 17 => 4a + b = 17. Ta có HPT . Giải ra tìm 4ab 17 được a=−4,2,b=33,8. Vậy hàm số: y=−4,2x+33,8. Giá tiền ban đầu của chiếc laptop là: y=−4,2.0+33,8=33,8 (triệu đồng). Câu 2. (4,0 điểm) 2.1. Hường ứng phong trào viết thư gửi các bạn thiếu nhi tại huyện đảo Trường Sa nhân dịp Tết Nguyên đán, hai bạn Lâm và Đồng mua số tờ giấy trắng bằng nhau và mua số phong bì bằng nhau. Lâm sử dụng một tờ giấy cho mỗi bức thư trong khi đó Đồng sử dụng ba tờ giấy cho mỗi bức thư. Biết rằng, Lâm dùng hết số phong bì đã mua còn dư 10 tờ giấy, Đồng dùng hết số giấy đã mua còn dư 10 phong bì. Tìm số tờ giấy mỗi bạn đã mua. 2
3. 2.2. Số nhà bạn Bình là một số có hai chữ số mà hiệu bình phương của số đó với bình phương của số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. Tìm số nhà của bạn Bình. Lời giải 2.1. Gọi số tờ giấy và số phong bì mỗi bạn đã mua lần lượt là x, y (x, y là số tự nhiên, x, y > 10). Vì Lâm sử dụng một tờ giấy cho mỗi bức thư và dùng hết số phong bì đã mua còn dư 10 tờ giấy nên: x – y = 10. Vì Đồng sử dụng ba tờ giấy cho mỗi bức thư và dùng hết số giấy đã mua còn dư 10 phong bì nên: y – 3x = 10. xy 10 x 30 Ta có HPT x .Vậy mỗi bạn đã mua 30 tờ giấy. y 10 y 20 3 2.2. Số nhà bạn Bình là một số có hai chữ số mà hiệu bình phương của số đó với bình phương của số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. Tìm số nhà của bạn Bình. Gọi số nhà bạn Bình là ab (a,b∈N,0 a+b=11. Khi đó: 11(a−b)(a+b)=112(a−b) là số chính phương, nên (a−b) là số chính phương kết hợp với điều kiện của a, b suy ra (a−b)∈{0,1,4,9}. Giải các trường hợp ta được a = 6 và b = 5. Vậy có các đáp án: 65, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Câu 3. (4,5 điểm) 3.1. Một bức tường trang trí có hình dạng là một tam giác đều được ghép bởi 36 tam giác đều bằng nhau, mỗi tam giác đều đó có cạnh là 2 mét (minh họa bới hình bên). Hãy tính diện tích của phần sơn trang trí (phần tô đậm). 3.2. Giải phương trình: (x 6 x 3)(1 x2 318)0 x Lời giải 3
4. 1 3.1.Diện tích tam giác đều nhỏ: . 3.2 3 (m2). Diện tích bức tường tam giác 2 đều: 36 3 (m2) Tính diện tích các tam giác ABM, ANC, BCP từ đó tính được diện tích tam giác ABC. xa 60 (a b )(1 ab ) 9 3.2.Điều kiện: x≥3. Đặt ta được 22 (a b )( a 1)( b 1) 0 .Từ xb 30 ab 9 đó chia trường hợp giải tiếp. Câu 4. (4,5 điểm) 4.1. Cho △ABC vuông tại A(AB BH = AB (1).Chứng minh ΔABC=ΔBEF(g−c−g)=> BC = BF(2). Tam giác BEF vuông tại B 1 1 1 đường cao BH có: (3). Từ 1, 2, 3 suy ra đpcm. BE2 BF 2 BH 2 4.2. Cho tứ giác ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Đường thẳng MN cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh AE.BF = DE.CF Kẻ AG và CH cùng song song với BD; G, H thuộc đường thẳng MN. Ta có: ΔANG=ΔCNH⇒GA=CH. Lần lượt chứng ED DM MB BF minh: AE BF ED CF EA GA CH CF 4
5. Câu 5. (3,0 điểm) 5.1. Một cửa hàng bán giày thể thao mỗi tuần bán được 50 đôi giày với giá là 500 nghìn đồng một đôi. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi đôi 1 nghìn đồng thì số giày mỗi tuần bán tăng thêm được 1 đôi. Xác định giá bán để mỗi tuần cửa hàng giày thể thao thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi đôi giày thể thao là 300 nghìn đồng. 5.2. Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A cố định trên BC. Vẽ tiếp tuyến xy tại C và trên xy lấy điểm H di động. Vẽ đường tròn (H;HA) cắt đường (O) tại D và E. Chứng minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải 5.1.Gọi số tiền giảm giá cho mỗi đôi giày là x (nghìn đồng) (x > 0). Lợi nhuận thu được 200 xx 50 trong 1 tuần là: (500 x 300)(50 x ) (200 x )(50 x ) 125 .Dấu “=” xảy ra 2 khi 200−x=50+x⇔x=75. Vậy giá bán là 425 nghìn đồng thì lợi nhuận cao nhất. 5.2. Cho đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A cố định trên BC. Vẽ tiếp tuyến xy tại và trên xy lấy điểm H di động. Vẽ đường tròn (H; HA) cắt đường tròn (O) tại D và E. Chứng minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. Vẽ thêm hình như trên dựa vào phương tích chứng minh AI không đổi => DE luôn đi qua điểm I cố định. 5