Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: Nếu a,b là các số tự nhiên sao cho 7 48 a b thì a2 b2 bằng A. 25. B. 37. C. 29. D. 40. 1 x 1 Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức P : nhận giá trị nguyên? x2 x x x x x A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 3: Một chiếc xe khách khởi hành từ Hà Nội và một chiếc xe tải khởi hành từ Vinh cùng một lúc và đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe khách chạy thêm 2 giờ thì đến Vinh, còn xe tải chạy thêm 4 giờ 30 phút thì đến Hà Nội. Biết Hà Nội cách Vinh là 300 km, hai xe đi cùng tuyến đường. Vận tốc của xe khách bằng A. 60 km/h. B. 40 km/h. C. 50 km/h. D. 80 km/h. Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đa giác OABCDE có tọa độ các đỉnh A 3;0 , B 3;3 , C 1;3 , D 1;5 , E 0;5 . Đường thẳng y ax chia đa giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 0 a 1. B. 1 a 2. C. 2 a 3. D. 1 a 0. Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , đường thẳng d : y m 3 x 2m 1 cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB cân. Khi đó, số giá trị của m thỏa mãn là A. 1. B. 0. C. 3. D. 2. 1 Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol P : y x2. Có bao nhiêu điểm A thuộc P 2 sao cho khoảng cách từ A đến trục hoành gấp 4 lần khoảng cách từ A đến trục tung? A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. Câu 7: Cho phương trình x2 30x a 0 ( a là tham số), có hai nghiệm đều dương và một nghiệm là bình phương của nghiệm kia. Gọi hai nghiệm của phương trình là u,v với u v. Giá trị của u v a bằng A. 100. B. 115. C. 130. D. 145. a b 2 m 1 Câu 8: Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện . Gọi m là giá trị của m để tổng 2 0 a.b m m 2 a2 b2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 m0 0. B. 0 m0 1. C. 3 m0 2. D. 1 m0 3. Câu 9: Khi tính toán thể tích căn phòng hình hộp chữ nhật, bạn An đã nhập sai chiều cao vào máy tính, 1 An đã nhập số liệu lớn hơn chiều cao thật. Sau khi có kết quả, An nói: “Mình đã nhầm, nhưng không 3 1 sao, lại trừ bớt đi kết quả này thì sẽ cho kết quả đúng thôi”. Bạn Bình, người đã tính đúng kết quả nói 3 rằng: “Kết quả đó vẫn chưa đúng, An phải tiếp tục cộng thêm8 m3 nữa mới đúng”. Thể tích căn phòng bằng A. 24m3. B. 72m3. C. 48m3. D. 64m3. 2 2 Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, biết SABH 15,36cm ;SAHC 8,64cm . Độ dài của AH bằng A. 4,8cm. B. 9,6cm. C. 2,4cm. D. 6,4cm. Trang 1/10
2. Câu 11: Trong hình bên, ABCD là hình thang có hai đáy AB 2;CD 5, AX song song với BC, BY song song với AD; BY lần lượt cắt AX , AC tại Z, W. Khi đó tỉ số diện tích của tam giác AZW và hình thang ABCD bằng 8 7 A. . B. . 105 105 9 10 C. . D. . 105 105 Câu 12: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại P và Q. Khi PQ a thì 1 1 giá trị của bằng AB CD 1 2 a a A. . B. . C. . D. . a a 3 2 Câu 13: Cho tam giác ABC đều, có cạnh bằng 6cm. Trên đoạn BC lấy điểm D sao cho BD 2cm. Đường trung trực của đoạn AD cắt AB tại E. Độ dài của DE bằng A. 2,8cm. B. 5,2cm. C. 3,6cm. D. 3cm. Câu 14: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O , đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại Q, đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại P. Từ P,Q lần lượt kẻ các tiếp tuyến PM ,QN với O ( M , N là các tiếp điểm). Biết PM u,QN v. Độ dài của PQ bằng u v uv A. . B. . C. u2 v2 . D. uv. 2 2 Câu 15: Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm O; R . D là điểm di động trên cạnh BC, đường thẳng AD cắt đường tròn O tại E, ( E khác A ). Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBD, ECD. Giá trị lớn nhất của R1.R2 bằng 3R2 R2 3R2 3R2 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 2 Câu 16: Một đoàn học sinh đi trải nghiệm ở công viên Văn Lang thành phố Việt Trì bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh được chia đều cho các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chở không quá 30 học sinh, số học sinh của đoàn tham quan là A.506. B. 528. C. 507. D. 529. B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Bài 1 (3,0 điểm). 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn: 3 x2 y2 2 xy 1 662. m2 n2 mn 2. Cho các số nguyên dương a,b,m,n thỏa mãn a,b 1 và . a b Chứng minh rằng: a 2b a 2b là số nguyên. Bài 2 (4,0 điểm). x4 y4 1 x10 y10 2 1. Cho a,b, x, y là các số thực thỏa mãn a b a b . Chứng minh rằng: 5 5 5 . 2 2 a b a b x y 1 2. Giải phương trình: x 1 5x2 2x 3 5x2 4x 5. 3 x x y x y 2y 2y 1 3. Giải hệ phương trình: . 2 2x 3.3 y 5 y x 6 Trang 2/10
3. Bài 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A(B· AC 900 ). Một đường tròn tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại B,C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy điểm M ( M khác B,C). Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC,CA, AB. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MB và IK , Q là giao điểm của hai đường thẳng MC và IH, T là giao điểm của hai đường thẳng HK và MI. a) Chứng minh TK.MH MK.TH. b) Chứng minh PQ song song với BC. c) Gọi O1 và O2 lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác MPK và MQH, N là giao điểm thứ hai của O1 và O2 ( N khác M ). Chứng minh khi M di động trên cung nhỏ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4 (1,0 điểm). Cho x, y, z,t là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn: x2 y2 z2 t 2 2023. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z t S . 2023 2023 yzt 2023 2023 xzt 2023 2023 txy 2023 2023 xyz HẾT Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 3/10
4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 07 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu Đáp án Câu Đáp án 1 A 9 B 2 A 10 A 3 A 11 A 4 B 12 B 5 D 13 A 6 D 14 C 7 D 15 B 8 B 16 D II. PHẦN TỰ LUẬN Lưu ý khi chấm bài - Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic. - Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC. - Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số. Bài 1 (3,0 điểm): 1). Tìm tất cả các căp số nguyên dương x, y thỏa mãn: 3 x2 y2 2 xy 1 662. m2 n2 mn 2). Cho các số nguyên dương a,b,m,n thỏa mãn: a;b 1 và 1 . a b Chứng minh rằng: a 2b a 2b là số nguyên. Ý Đáp án Điểm 1). Tìm tất cả các căp số nguyên dương x, y thỏa mãn: 3 x2 y2 2 xy 1 662. Xét phương trình: 3 x2 y2 2 xy 1 662. 3 x y 2 2xy 2xy 664. 0,25 3 x y 2 4xy 664 3 x y 2 4xy 664 Đặt S x y; P xy, S 2 4P * , ta được PT :3S 2 4P 664 1 1. (1,5 điểm) 0,25 Vì S 2 4P nên 3S 2 S 2 664 S 2 332. Trang 4/10
5. Ý Đáp án Điểm 664 664 Lại có: P 0 nên 3S 2 664 S 2 .Suy ra: S 2 332. 0,25 3 3 Từ (1) suy ra: S chẵn nên S 16;18. 0,25 Với S 16 P 26, t / m * . Khi đó x, y là 2 nghiệm của phương trình: X 8 38 0,25 X 2 16X 26 0 (loại do x, y nguyên dương). X 8 38 Với S 18 P 77 , thỏa mãn (*). Khi đó x, y là 2 nghiệm của phương 2 X 7 trình: X 18X 77 0 (t/m). 0,25 X 11 Vậy có 2 cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn là: 7;11 và 11;7 . m2 n2 mn 2). Cho các số nguyên dương a,b,m,n thỏa mãn: a;b 1 và 1 . a b Chứng minh rằng: a 2b a 2b là số nguyên. Gọi d m,n m dx,n dy, x, y 1;d, x, y ¢ . 0,25 Thay vào 1 , ta được: b x2 y2 axy 2 Từ (2) suy ra: axy x2 y2 mà x, y 1 nên a x2 y2 . 0,25 Và b x2 y2 a và a;b 1 nên x2 y2 a 0,25 2. (1,5 điểm) Vậy ta phải có: x2 y2 a, kéo theo b xy. 0,25 2 Suy ra: a 2b x y ; x, y ¢ . Suy ra: a 2b ¢ . 0,25 2 Lại có: a 2b x y a 2b ¢ . Do đó: a 2b a 2b là số nguyên. 0.25 Bài 2 (4,0 điểm). x4 y4 1 x10 y10 2 1). Cho a,b, x, y là các số thực thỏa mãn: a b a b . Chứng minh 5 5 5 . 2 2 a b a b x y 1 2). Giải phương trình: x 1 5x2 2x 3 5x2 4x 5 3 x x y x y 2y 2y 1 3). Giải hệ phương trình: . 2 2x 3.3 y 5 y x 6 Ý Đáp án Điểm x4 y4 1 x10 y10 2 1). Cho a,b, x, y là các số thực thỏa mãn: a b a b . Chứng minh 5 5 5 . 2 2 a b a b x y 1 Từ giả thiết, ta có: 2 2 2 x4 y4 x y x4 2x2 y2 y4 . 0,25 a b a b a b Trang 5/10
6. Ý Đáp án Điểm x4 y4 b a a b a b x4 2x2 y2 y4 x4 x4 y4 y4 x4 2x2 y2 y4 a b a b b2 a2 x4 y4 2x2 y2 0,25 1. ab ab (1,0 b2 x4 a2 y4 2abx2 y2 điểm) 2 bx2 ay2 0 bx2 ay2 x2 y2 x2 y2 1 Suy ra: * . 0,25 a b a b a b Áp dụng kết quả * , ta có: 5 5 x10 x2 1 1 5 5 a a a b a b 5 5 y10 y2 1 1 0,25 5 5 b b a b a b x10 y10 1 1 2 Do đó: . a5 b5 a b 5 a b 5 a b 5 2). Giải phương trình: x 1 5x2 2x 3 5x2 4x 5 x 1 Điều kiện: 3 * x 5 Ta có: x 1 5x2 2x 3 5x2 4x 5 0,25 x 1 5x2 2x 3 5x2 2x 3 2x 2 1 Đặt t 5x2 2x 3, t 0 . 2 Khi đó phương trình 1 trở thành: t x 1 t 2x 2 0 t 2 0,25 2.(1,0 t x 1 điểm) x 1 Với t 2 5x2 2x 3 2 7 t/m * x 0,25 5 Với t x 1 5x2 2x 3 x 1 1 5 x 2 x2 x 1 0 1 5 (vô nghiệm) x 1 x 0,25 2 x 1 7 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1, x . 5 Trang 6/10
7. Ý Đáp án Điểm 3 x x y x y 2y 2y 1 (1) 3). Giải hệ phương trình: . 2 2x 3.3 y 5 y x 6 (2) 3 Điều kiện: x ; y 0; x y 0. 0,25 2 Xét phương trình (1) : x x y x y 2y 2y3 1 x2 xy x y 2y2 2y 0,25 x2 xy 2y2 x y 2y 0 3 Xét x y 2y 0 x y 0 không thỏa mãn hệ phương trình. x y 2y Xét x y 2y 0 , ta có: 3 x 2y x y 0 3.(2,0 x y 2y điểm) 0,25 1 x y x 2y 0 x y 2y x y 1 x 2y 0 x y 2y 0,25 1 Do x y 0; y 0 nên x 2y 0. x y 2y Với x y, thay vào phương trình ( 2) của hệ , được phương trình: 2x 3.3 x 5 x2 x 6 4 0,25 3 Nhận xét VT 3 0,x nên x2 x 6 0 x 2. 2 4 2x 3 3 3 x 5 3 3 x 5 2 x2 x 12 3 2x 6 x 5 8 x 5. 3. 2 x 3 x 4 2x 3 3 3 x 5 2 3 x 5 4 0,25 2 3 x 5 3 x 3 x 4 0 4 2 2x 3 3 3 x 5 2 3 x 5 4 Vì x 2 2x 3 x 5 x 2 x 5 2x 3 3 x 5 2 3 x 5 0,25 2x 3 3 3 x 5 2 2x 3 3 3 3 Lại có: 1,x 2. 2 0,25 3 x 5 2 3 x 5 4 4 Trang 7/10
8. Ý Đáp án Điểm 2 3 x 5 3 Suy ra: 2 3 x 4,x 2. 2x 3 3 3 x 5 2 3 x 5 4 2 3 x 5 3 2 x 4 0,x 2. 2x 3 3 3 x 5 2 3 x 5 4 PT 4 x 3.Vậy hpt đã cho có nghiệm duy nhất x; y 3;3 . Bài 3 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A(B· AC 900 ). Một đường tròn tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại B,C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy điểm M ( M khác B,C). Gọi I, H, K lần lượt là hình chiếu của M trên BC,CA, AB. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MB và IK , Q là giao điểm của hai đường thẳng MC và IH, T là giao điểm của hai đường thẳng HK và MI. a) Chứng minh TK.MH MK.TH. b) Chứng minh PQ song song với BC. c) Gọi O1 và O2 lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác MPK và MQH, N là giao điểm thứ hai của O1 và O2 ( N khác M ). Chứng minh khi M di động trên cung nhỏ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Ý Đáp án Điểm a. (1,5 điểm) Từ giả thiết có tứ giác BKMI nội tiếp suy ra K· BI K· MT. 0,25 Tứ giác CHMI nội tiếp nên H· CI T·MH. 0,25 Do tam giác ABC cân tại A nên ·ABC ·ACB. 0,25 hay K· MT H· MT. 0,25 Vì thế có MT là đường phân giác trong K· MH. TH MH 0.25 Từ đó có: . TK MK Suy ra: TH.MK MH.TK. 0,25 Tứ giác CHMI nội tiếp suy ra M· IH M· CH mà M· CH M· BC (góc nội tiếp 0,25 Trang 8/10
9. Ý Đáp án Điểm và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) nên M· IH M· BC . Tương tự: M· IK M· CB (*). 0,25 b. (1,5 điểm) Từ đó: P· MQ P· IQ 1800. Suy ra tứ giác MPIQ nội tiếp. 0,25 · · Do tứ giác MPIQ nội tiếp nên MQP MIK; 0,25 Theo (*) M· IK M· CB nên M· QP M· CB . 0,25 Từ đó suy ra PQ song song với BC. 0,25 c.(1,0 điểm) Do PQ / /BC nên M· PQ M· BC , M· BC I·KM (tứ giác BKMI nội tiếp). 0,25 Suy ra P· KM M· PQ. Vì Q, K nằm khác phía đối với MP nên PQ là tiếp tuyến của đường tròn O1 tại P. Tương tự PQ là tiếp tuyến của đường tròn O2 tại Q. 0,25 Gọi E là giao điểm của đường thẳng MN và PQ. Chứng minh: EP2 EM.EN; EQ2 EM.EN nên E là trung điểm của 0,25 PQ.Suy ra MN đi qua trung điểm E của PQ . Do PQ / /BC nên MN đi qua trung điểm D của BC , D là điểm cố định. 0,25 Từ đó ta được đpcm. Bài 4: Cho x, y, z,t là các số thực không âm thỏa mãn x2 y2 z2 t 2 2023. Tìm giá trị nhỏ nhất x y z t của biểu thức F 2023 2023 yzt 2023 2023 ztx 2023 2023 txy 2023 2023 xyz Ý Đáp án Điểm Trang 9/10
10. x y z t Đặt a ;b ;c ;d . 2023 2023 2023 2023 a,b,c,d 0 Khi đó có 2 2 2 2 . a b c d 1 1 a b c d 0,25 F . 2023 1 bcd 1 acd 1 abd 1 abc Chỉ ra được: 2 1 a b c d F   2023 a b c d 4abcd Nhận xét: 0 a,b,c,d 1, suy ra 1 a 1 b 1 c 1 d 0. Hay Q 1 2 ab ac ad bc bd cd (a b c d) 4abcd 0,25 ab ac ad bc bd cd 5abcd abc abd acd bcd Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ab ac ad bc bd cd 6 6 abcd 3 6 abcd Ngoài ra abc abd bcd acd 0 4. (1,0điểm) Suy ra Q 6 abcd 5abcd 5 abcd abcd abcd 0,a,b,c,d 0;1. 0,25 Do a2 b2 c2 d 2 1 nên Q a b c d 2 a b c d 4abcd 0 suy ra a b c d 2 a b c d 4abcd 1 Từ đó F . 2023 Dấu bằng xảy ra khi: a b c 0;d 1 và các hoán vị hay x y z 0,t 2023 và các hoán vị. 0,25 1 Vậy GTNN của F bằng . 2023 HẾT Trang 10/10