Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Bình (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH QUẢNG BÌNH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 26/12/2021 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 2 5xx 1 1 Câu 1 (2.0 điểm): Cho biểu thức A : 2 2x 141x 2 x 1 (2 x 1) a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị biểu thức A khi x 3320 14 2 20 14 2 Câu 2 (2.0 điểm): a) Giải phương trình: x2 x 4 2 x 1(1 x ) 3x ( m 1) y 12 b) Cho hệ phương trình: (với m là tham số).Tìm tất cả các giá trị của m để 3y ( m 1) x 24 hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x;y ) thỏa điều kiện x +y >1. Câu 3 (1.5 điểm): Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: x+y+z=2023. yz zx xy 2023 CMR : x y z y 2022 z z 2022 x x 2022 y 3 Câu 4 (3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Điểm E di động trên cạnh CD (khác C, D). M là giao điểm của AE với BC. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt CD tại N. I là trung điểm của đoạn thẳng MN. Đường phân giác của góc BAE cắt cạnh BC tại P. Chứng minh rằng: a) BM. DE a2 b) AI vuông góc với MN và I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi E di động trên cạnh CD (khác C, D). c) AP 2 EP Câu 5 (1,0 điểm): Cho P=n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó nn ,1.Chứng minh rằng: P không phải là số chính phương. Lời giải Câu 1 (2.0 điểm): Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị biểu thức A khi Lời giải 2 5x 1 x 1 2 x 1 1 a) Ta có A : , x 0, x , x 1 . 2 2x 14x 1 2 x 1 (2 x 1) 2 x 1 4 5 b) Ta có x 3320 14 2 20 14 2 ( x 4)( x2 4 x 10) 0 x 4 A . 3 1
2. Câu 2 (2.0 điểm): a) Giải phương trình: x2 x 4 2 x 1(1 x ) 3x ( m 1) y 12 b) Cho hệ phương trình: (với m là tham số).Tìm tất cả các giá trị của m để 3y ( m 1) x 24 hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x;y ) thỏa điều kiện x +y >1. Lời giải a)Ta có : x2 x4 2 x 1(1 x ),( x 1) ( x x 1 1)( x x 1 3) 0 13 x 13 x x x1 3 0 x 1 3 x 2 x 2 x 2 x 1 9 6 x x x 5 3x ( m 1) y 12 (1) 3x ( m 1) y 12 b) Ta có: 24 (mx 1) .Thay (2) vào (1) ta được: 3y ( m 1) x 24 y (2) 12 2 36 (m 1) x 168 24 m ( m 7)( m 5) x 24 m 168(3) .Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ 24 x m 5 m 5 khi (3) có nghiệm duy nhất .Khi đó ta có .Mà m 7 12 y m 5 24 x m 5 24 12m 31 x y1 1 0 5 m 31.Kết hợp với điều kiện ta có 12 m 5 m 5 m 5 y m 5 5 m 31 và m khác 7 .Vậy và m khác 7 thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Câu 3 (1.5 điểm): Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: x+y+z=2023. yz zx xy 2023 CMR : x y z y 2022 z z 2022 x x 2022 y 3 Lời giải 1 1 1 20232 Ta có , tương đương y z z y 2022 z 2021 z 2022 y yz yz x z 2022 y x (1). 20232 y 2022 z y 2022 z 2023 1 1 1 20232 Tương tự , tương đương z x x zx 2022 2021 x 2022 zzx zx y z 2022 x y (2). 20232 z 2022 x z 2022 x 2023 Tương tự , tương đương (3). 2
3. yz zx xy 2023 Cộng (1),(2) và (3) ta có x y z y 2022 z z 2022 x x 2022 y 3 Câu 4 (3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Điểm E di động trên cạnh CD (khác C, D). M là giao điểm của AE với BC. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt CD tại N. I là trung điểm của đoạn thẳng MN. Đường phân giác của góc BAE cắt cạnh BC tại P. Chứng minh rằng: a) BM. DE a2 b) AI vuông góc với MN và I luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi E di động trên cạnh CD (khác C, D). c) AP 2 EP Lời giải a.Xét tam giác AEN có: góc EAN = 900 , AD là đường cao. Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông cho tam giác AEN ta có: DE. DN AD22 DE . DN a (1) .Xét hai tam giác ADN và MBA ta có: gócADN =gócABM = 900 ,AD =AB =a, góc DAN =góc BAM (vì cùng phụ với góc góc DAE). Suy ra: ADN = MBA (g -c –g) suy raDN =BM (2) . Từ (1), (2) suy ra: (đpcm). b.Xét tam giác AMN ta có:AM =AN (theo câu a)), AI là đường trung tuyến. Suy ra: AI là đường cao của tam giác AMN hay AI ⊥ NM. Xét tam giác AMN ta 1 có: góc MAN = 900 (giả thiết), AI là đường trung tuyến. Suy ra: AI = MN (3) . 2 Xét tam giác CMN ta có: góc MCN = (giả thiết), CI là đường trung tuyến. Suy ra: CI = MN (4). Từ (3), (4) suy ra: AI =CI hay I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC (5) . Mặt khác, BD là đường trung trực của đoạn thẳng AC (vì ABCD là hình vuông) (6). Từ (5), (6) suy ra: I nằm trên đường thẳng BD cố định (đpcm) c.Kẻ EF ⊥AP, F thuộc AB, EK ⊥AB, K thuộc AB (7). Xét tứ giác BCEK có góc B =góc C = góc K = 900 nên BCEK là hình chữ nhật. Suy ra: EK =BC =a (8) . Gọi L là giao điểm của AP với EK. Ta có: Góc BAP =góc KEF (vì cùng phụ với góc AKL (9). Từ (7), (8), (9) suy ra: ABP = EKF suy ra AP =EF (10 ). Vì AP vừa là đường cao vừa là đường phân giác của tam giác AEF nên AP là đường trung trực của đoạn thẳng EF. Suy ra: PE =PF (11) . Từ (10), (11) ta có: AP =EF PE +PF PE =PE +PE AP 2PE (đpcm) Câu 5 (1,0 điểm): Cho P=n6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó nn ,1.Chứng minh rằng: P không phải là số chính phương. Lời giải Ta có n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)] = n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]= n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2). Với n N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2 Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương. 3