Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Long (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh Long (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH VĨNH LONG LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 14/12/2023 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Câu 1. (4.0 điểm) x 3 2 x 2 x x x a) Rút gọn biểu thức A :1 x 2 3 x x 5 x 6 x 1 với x 0, x 1, x 9 3 10 6 3( 3 1) b) Cho x . Tính giá trị của biểu thức M ( x3 4 x 1) 2022 . 6 2 5 5 Câu 2. (4.0 điểm) a) Giải phương trình x 1 2 7 x 2 x 1 7 6 x x2 b) Cho hai đường thẳng ( d1 ):mx+(m−1)y−2m+1=0, ( d2 ):(1−m)x+my−4m+1=0. Tìm giá trị của tham số m để tam giác IAB cân tại I với A, B lần lượt là các điểm cố định mà ( ), ( ) đi qua và I là giao điểm của ( ), ( ) Câu 3. (5,0 điểm) a.Cho tam giác ABC( AB < AC ). Giả sử AH=12cm,BC=25cm. Tính độ dài các cạnh AB,AC. b) Gọi M là điểm đối xứng của B qua H . Đường tròn tâm O đường kính MC cắt AC tại D. Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O c) Cho BC=2a, AH phải có độ dài bằng bao nhiêu theo để diện tích tam giác OHD là lớn nhất. Câu 4. (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n+2021 và n+2205 đều là các số chính phương. b) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x22 3 xy 2 y 6 x 2 y 1 Câu 5. (3,0 điểm) a) Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn xy 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 63 3 thức P 24 x22 y xy b) Trong mặt phẳng cho 6 điểm AAAAAA1;;;;; 2 3 4 5 6 . Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 3 điểm bất kỳ luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 674. Chứng minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2022. Lời giải Câu 1. (4.0 điểm) 1
2. x 3 2 x 2 x x x a) Rút gọn biểu thức A :1 x 2 3 x x 5 x 6 x 1 với x 0, x 1, x 9 3 10 6 3( 3 1) b) Cho x . Tính giá trị của biểu thức M ( x3 4 x 1) 2022 . 6 2 5 5 Lời giải x 3 2 x 2 x x x x 1 x 1 a) Ta có A :1 .Vậy A x 2 3 x x 5 x 6 x 1 x 2 x 2 với 3 10 6 3( 3 1) b)Ta có x 2 . Khi đó M ( x3 4 x 1) 2022 1 2022 1. 6 2 5 5 Câu 2. (4.0 điểm) a) Giải phương trình x 1 2 7 x 2 x 1 7 6 x x2 b) Cho hai đường thẳng ( d1 ):mx+(m−1)y−2m+1=0, ( d2 ):(1−m)x+my−4m+1=0 Tìm giá trị của tham số m để tam giác IAB cân tại I với A, B lần lượt là các điểm cố định mà ( ), ( ) đi qua và I là giao điểm của ( ), ( ) Lời giải a) Ta có điều kiện 17 x .Ta có x 127 x 2 x 176 x x2 ( x 12)( x 17)0 x x 1 2 0 x 3( tm ).Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho S={3}. xx 1 7 0 b) Gọi A(;) x00 y là điểm cố định mà ( ) luôn đi qua với mọi m m x0 +(m−1) y0 −2m+1=0 với mọi m m( + −2)−m+1=0 với x0 y 0 2 0 x 0 1 mọi m A(1;1). Tương tự B(−1;3) yy00 1 0 1 + Nếu m=0 thì ( ):y=1 và ( ):x=−1. Tọa độ I(−1;1).Khi đó IA=IB=4. Vậy I(−1;1) thỏa mãn điều kiện bài toán. + Nếu m=1 thì ( ):x=1 và ( ):y=3. Tọa độ I(1;3). Khi đó IA=IB=4. Vậy I(1;3) thỏa mãn điều kiện bài toán. + Nếu m≠0;m≠1. Gọi K là trung điểm của AB. Suy ra tọa độ của K(0;2). Ta có K thuộc trung trực của AB. Phương trình đường thẳng AB có dạng y=ax+b.Ta có a b 22 b . Suy ra y=−x+2. Phương trình đường trung trực của AB có a b 31 a dạng y=x+d. Vì K(0;2) thuộc trung trực của AB. Nên 0+d=2⇒d=2. Phương trình đường trung trực của AB là y=x+2. Tọa độ của I là nghiệm của hệ 6mm2 4 1 y 2 mx ( m 1) y 2 m 1 0 21m . Vì I thuộc đường trung trực của AB. (1 m ) x my 4 m 1 0 (2mm2 4 1) x 21m2 6m22 4 m 1 (2 m 4 m 1) Nên 2 4m2 2 0( KTM ) .Vậy I(−1;1) hoặc I(1;3). 2mm22 1 2 1 2
3. Câu 3. (5,0 điểm) a.Cho tam giác ABC( AB < AC ). Giả sử AH=12cm,BC=25cm. Tính độ dài các cạnh AB,AC. b) Gọi M là điểm đối xứng của B qua H . Đường tròn tâm O đường kính MC cắt AC tại D. Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O c) Cho BC=2a, AH phải có độ dài bằng bao nhiêu theo để diện tích tam giác OHD là lớn nhất. Lời giải a.Tính độ dài các cạnh AB,AC. Đặt AB=x;AC=y. Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao xy2 225 2 xy 35 trong tam giác vuông ABC ta có xy, là nghiệm của phương xy 12.25 xy 300 2 X1 20 trình XX 35 300 0 . Vì AB<AC nên x=15;y=20. Vậy AB=15;AC=20. X 2 15 b.Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.Ta có đường tròn đường kính MC cắt AC tại D. Nên góc MDC=90.Suy ra tứ giác ADMH nội tiếp⇒góc HDM=góc HAM (cùng chắn cung HM). Vì ΔABM cân tại A. Nên AH đồng thời là phân giác⇒góc BAH=góc HAM. Lại có góc BAH=góc ODC⇒góc HDM=góc ODC.Ta luôn có góc MDO+góc OCD=90 hay góc MDO+góc HDM=90⇒góc HDO=90 hay DH⊥OD tại D∈(O).Vậy HD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. DH. DO DH2 OD 2 OH 2 BC c.Ta có: S .Mà HO HM MO a . HDO 2 4 4 2 DH. DO DH2 OD 2 OH 2 a 2 a2 Nên S . Suy ra S lớn nhất là ⇔ΔHDO vuông HDO 2 4 4 4 HDO 4 a cân tại D. Mà HO a DH . Lại có gócADH=gócAMH=gócABH=góc 2 a HAD⇒ΔHAD cân tại H HA DH . 2 Câu 4. (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n+2021 và n+2205 đều là các số chính phương. b) Giải phương trình nghiệm nguyên 2x22 3 xy 2 y 6 x 2 y 1 Lời giải a) Vì n+2021 và n+2205 đều là các số chính phương. 3
4. na 2021 2 (b a )( b a ) 2.92 4.46 8.23 Nên 2 .Với a>44.Vì (b−a)+(b+a)=2b là số chẵn nb 2205 và 184 là số chẵn. Nên (b−a) và (b+a) đều là số chẵn. Mặt khác b−a<b+a nên ta có các trường hợp sau: b a 2 b 47 ()tm b a 92 a 45 b 47 .Với ()tm thì n=4. Vậy n=4. b a 4 b 45 a 45 ()ktm b a 46 a 1 b) Ta có 2x22 3 xy 2 y 6 x 2 y 1 ( x 2 y 2)(2 x y 2) 5 1.5 ( 1).( 5) .Xét từng trường hợp ta có nghiệm (1;1). Câu 5. (3,0 điểm) a) Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn xy 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 63 3 thức P 24 x22 y xy b) Trong mặt phẳng cho 6 điểm AAAAAA1;;;;; 2 3 4 5 6 . Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 3 điểm bất kỳ luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 674. Chứng minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2022. Lời giải 2 263 3 2 2 63 3 a) Ta có P 2 x 4 y 2( x 3) 4( y 1) 7 x 3 y 5( x y ) 22 x y x y x 3 2.21 2.3 5.4 22 46 .Vậy P nhỏ nhất là 46. y 1 b)Trong các đoạn AAij với i,j∈{1,2,3,4,5,6} và i≠j nếu <674 thì tô màu đỏ, các đoạn còn lại tô màu xanh.Ta chỉ cần chứng minh tồn tại một tam giác có các cạnh đều là màu đỏ là đủ vì khi đó chu vi tam giác hiển nhiên nhỏ hơn 3.674=2022. 5 Xét AAAAAAAAAA1 2;;;; 1 3 1 4 1 5 1 6 có 5 đọan nên theo nguyên lý Dirichle tồn tại 1đoạn 2 thẳng ở trên được tô cùng màu. Nếu AAAAAA1 2;; 1 3 1 4 được tô cùng màu xanh thì buộc AAAAAA2 3;; 3 4 4 2 được tô màu đỏ vì trong ba điểm bất kỳ luôn tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 674 nên trong một tam giác bất kỳ luôn tồn tại một cạnh màu đỏ.Vậy tam giác AAA234có các cạnh được tô hoàn toàn bằng màu đỏ. Nếu được tô cùng màu đỏ thì xét tam giác tồn tại một cạnh màu đỏ, giả sử AA23được tô màu đỏ thì tam giác AAA1 2 3 được tô hoàn toàn bằng màu đỏ.Vậy ta có điều phải chứng minh. 4