Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học: 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Số báo danh Ngày thi /03/2018. Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 2 trang được đánh số từ số 1 đến số 2 Câu I (4,0 điểm). Cho biểu thức: x x x 4 x 4 x x x 4 x 4 A với x 0, x 1, x 4 . 2 3 x x x 2 3 x x x a) Rút gọn biểu thức A. (2 3) 7 4 3 b) Tính giá trị của biểu thức A khi x . 2 1 Câu II (4,0 điểm). a) Giải phương trình: 10 x3 1 3x2 6 1 x 3 y 1 b) Giải hệ phương trình: y 3 z 1 z 3 x Câu III. (4,0 điểm) 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x y 2x + y + 1 9 y 1 13 2. a) Chứng minh rằng : A 13 23 33 43 20163 là số chính phương. b) Cho a1,a2 , ,a2016 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5. Chứng minh rằng: 3 3 3 A a1 a2 a2016 chia hết cho 5. Câu IV (6,0 điểm) . 1.Cho đường tròn tâm O bán kính R đường kính AB. Từ hai điểm A và B kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn , điểm M thuộc nửa đường tròn (sao cho tia Ax, By và nửa đường tròn chứa điểm M cùng nẳm trên nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở C và D, Gọi giao điểm của AD và BC là K, MK và AB là H. a) Chứng minh MK vuông góc với AB và MK=KH. b) Vẽ tam giác vuông cân MBE đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn (O) (BE và BD cùng nửa mặt phẳng bờ AB). Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua E và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định. 2.Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC= a. Ba đường cao tướng ứng với ba cạnh (a b c)2 BC, AC, BC là ha, hb,,hc .Chứng minh rằng: 2 2 2 4 ha hb hc 1
2. Câu V (2,0 điểm). Cho các số thực phân biệt a,b,c . Chứng minh rằng 1 1 1 9 a 2 b 2 c 2 2 2 2 . (a b) (b c) (c a) 2 Hết 2
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học: 2018-2019 Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Câu Nội dung Điểm Ia Đặt t x , t 0,t 1,t 2 khi đó: 0,5 t3 t 2 4t 4 t3 t 2 4t 4 A 2 3t t3 2 3t t3 (t 1)(t 2)(t 2) (t 1)(t 2)(t 2) 0,5 A (t 1)(t 1)(t 2) (t 1)(t 1)(2 t) t 2 t 2 2t 2 4 2 0,5 A 2 t 1 t 1 t 2 1 t 2 1 2 0,5 A 2 x 1 Ib 0.5 (2 3) 7 4 3 (2 3) (2 3)2 (2 3)(2 3) x 2 1 2 1 2 1 1 0,5 x 2 1 2 1 2 2 1,0 Do đó: A 2 2 2 2 2 1 1 2 10 x3 1 3(x2 2) 0,5 II a 2 2 10 (x 1)(x x 1) 3(x 2) điều kiện x 1 Đặt x 1 a (a 0) 2 x x 1 b (b>0) 2 2 Ta có: 10ab = 3a 3b 0,5 a = 3b (a 3b)(3a-b) = 0 b 3a Trường hợp1: a = 3b 0,5 2 Ta có: x 1 3 x x 1 (1) 2 9x 9x+9=x+1 2 9x 10x+8 = 0 ' 25 9.8 < 0 phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp 2: b = 3a 0,5 2 Ta có: 3 x 1 x x 1 9(x 1) x2 x 1 3
4. x 5 33 (TM) 1 2 x 10x-8 = 0 x2 5 33 (TM) Vậy phương trình có 2 nghiệm x 5 33 II.b 1 0,5 x 3 y 1 y 3 z 1 z 3 x 3x-1 z Từ (3) x thay vào (2) 3xy+3 = 8x+y (4) 0,5 Từ (1) xy 1 3y 3xy+3 = 9y (5) Từ (4) và (5) 8x+y = 9y x y Chứng minh tương tự : y = z 0,5 Từ đó x y z 1 x 3 x2 3x+1 = 0 Thay vào (1) x 3 5 x 2 3 5 x y z hệ có 2 nghiệm 2 III.1 1. 0,5 x y 2x y 1 9 y 1 13 2x2 xy x 2xy y2 y + 9y 9 13 0,5 2x2 xy x y2 8y 15 7 2x2 xy 5x 2xy y2 5y 6x 3 7 0,5 x 2x + y 5 y 2x + y 5 3 2x + y 5 7 x y 3 2x + y 5 7 0,5 Lập bảng: x – y + 3 1 7 - 1 - 7 2x + y – 5 7 1 - 7 - 1 10 10 x - 2 - 2 3 3 16 2 y 2 8 3 3 0,5 Loại Loại Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x ; y) là (-2 ; 2); (-2 ; 8) III.2 a) Chứng minh : A 13 23 33 43 20163 là số chính phương.Thật vậy: a 4
5. 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 2016 A .4.1 .4.2 .4. 3 .4. 4 .4. 5 .4.2016 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 2016 2 2 A 2 0 3 1 4 2 5 3 2017 2015 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.2 0.1 2.3 1.2 3.4 2.3 2016.2017 2015.2016 A 2 2 2 2 2 2 2 2 0,5 2 2016.2017 2 A ; A 1008.2017 ; Vậy A là số chính phương. 2 III.2 Dễ thấy: a5 a a(a4 1) a(a2 1)(a2 4 5) b a(a2 1)(a2 4) 5a(a2 1) (a 2)(a 1)a(a 1)(a 2) 5a(a2 1) (a 2)(a 1)a(a 1)(a 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5; còn 5a(a2 1) là bội của 5 nên chia hết cho 5. Vậy; a5 a chia hết cho5 0,5 5 5 5 Xét hiệu A (a1 a2 a2016 ) (a1 a2 a2016 ) (a1 a2 a2016 ) 5 5 5 (a1 a1) (a2 a2 ) (a2016 a2016 ) chia hết cho 5 Mà a ,a , a là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5. 1 2 2013 0,5 Do vậy A chia hết cho 5. IV. 1 F D E M 1,0 C K 1,0 A H O B N a)( 2 điểm) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: 5
6. AC = CM, BD = DM. Vì Ax và By cùng vuông góc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta KD BD KD MD có: MK // AC mà AC  AB MK  AB KA AC KA MC KH BK KM DK KD BK Ta có (1); (2); (3);Tu (1)(2)(3) ta có : AC BC AC DA AD BC KH MK MK KH AC AC b)( 2 điểm )Gọi F là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua E và song song với MB. Ta có B·EF = 900 . Chứng minh tam giác AMB và tam giác FEB bằng nhau ( g-c-g) 1,0 AB = BF=2R BF không đổi, F thuộc tia By cố định F cố định. Vậy khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi 1,0 qua E và song song với MB luôn đi qua điểm cố định F. IV. D 2 c ha d A b ha c ha H B C a Qua A kẻ đường thẳng d//BC gọi D là đối xứng của B qua d thì BD 2ha , AD c 2 Trong tam giác ACD ta có DC AD AC c b DC 2 b c dấu “=: xảy ra khi ABC A 600 1,0 mà trong tam giác vuông DBC 2 2 2 2 2 2 2 2 DC BD BC 4ha a 4ha b c a b c a b c a ,(1) 2 2 Tương tự 4hb a c b b c a ,(2);4hc a b c b c a ,(3) Từ (1);(2);(3) ta có: 6
7. 4h2 4h2 4h2 a b c b c a a c b a b c a b c 2 a b c 1,0 a b c 2 2 2 2 4 ha hb hc Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều V a b b c c a a b b c c a Ta có 1 1 1 1 1 1 a b b c c a a b b c c a 0,25 a b b c b c c a c a a b . . . 1 a b b c b c c a c a a b 2 a b b c c a Khi đó 0 a b b c c a 0,25 2 2 2 a b b c c a a b b c b c c a c a a b 2. . . . 2 a b b c c a a b b c b c c a c a a b Suy ra a2 b2 b2 c2 c2 a2 (a b)2 (a b)2 (b c)2 (b c)2 (c a)2 (c a)2 2. 2 2 2 2 2 2 (a b) (b c) (c a) (a b) (b c) (c a) 0,5 2 2 2 a b b c c a a2 b2 b2 c2 c2 a2 5 3 2 3 5 2 2 2 a b b c c a (a b) (b c) (c a) 2 (1) a b c a b c Mặt khác 1 1 1 1 1 1 b c c a a b b c c a a b 0,25 a b b c c a . . . 1 b c c a c a a b a b b c 2 a b c Khi đó 0 b c c a a b 2 2 2 0,25 a b c a b b c c a 2. . . . 2 b c c a a b b c c a c a a b a b b c (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 1 1 a2 b2 c2 2 2 2 (a b) (b c) (c a) 2 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b c 5 9 2 . 2 2 2 (a b) (b c) (c a) b c c a a b 2 2 0,5 a b b c c a 0 a b b c c a 1 1 1 Dấu “=” xảy ra a b c 0 a b c a b b c c a 0 b c c a a b Chẳng hạn a 0,b 1,c 1 . 7