Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT - Bảng A - Năm học 2016-2017 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THPT - Bảng A - Năm học 2016-2017 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ninh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2016 TỈNH QUẢNG NINH Mụn thi : TOÁN – Bảng A Ngày thi : 03/12/2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 180 phỳt , khụng kể thời gian giao đề (Đề thi này cú 01 trang) Bài 1(3 điểm) : 3 2 Cho hàm số : y = (2 – m)x – 6mx + 9(2 – m)x – 2 cú đồ thị (Cm), với m là tham số. Tỡm m để (Cm) cắt đường thẳng d : y = –2 tại ba điểm phõn biệt sao cho diện tớch tam giỏc tạo bởi gốc tạo độ O và hai giao điểm khụng nằm trờn trục tung là 13 Bài 2(3 điểm) : Chứng minh : tan142030’ = 2 2 3 6 Bài 3(3 điểm) : Giải phương trỡnh: 1 x2 1 2x 2 2 1 1 2 x 2 x 2 x Bài 4(3 điểm) : Một học sinh tham dự kỳ thi mụn Toỏn. Học sinh đú phải làm một đề thi trắc nghiệm khỏch quan gồm 10 cõu. Mỗi cõu cú 4 đỏp ỏn khỏc nhau, trong đú chỉ cú một đỏp ỏn đỳng. Học sinh sẽ được chấm đỗ nếu trả lời đỳng ớt nhất 6 cõu. Vỡ học sinh đú khụng học bài nờn chỉ chọn ngẫu nhiờn đỏp ỏn trong cả 10 cõu hỏi. Tớnh xỏc suất để học sinh thi đỗ. Bài 5(6 điểm) : 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú ba gúc đều nhọn. Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B và đường thẳng AC lần lượt cú phương trỡnh : 3x + 5y – 8 = 0 ; x – y – 4 = 0. Đường thẳng qua B và vuụng gúc với AC cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC tại điểm thứ hai là D(4; –2). Tớnh diện tớch tam giỏc ABC. 2. Cho hỡnh chúp đều S.ABCD, cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD với độ dài cạnh bằng a và tõm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết gúc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tớnh cosin của gúc giữa MN và mặt phẳng (SBD). Bài 6(2 điểm) : 2 2 2 Cho x, y, z là cỏc số thực khụng õm thỏa món : 5(x y z ) 6( xy yz zx ) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : P = 2(x y z ) ( y22 z ) Hết - Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu và mỏy tớnh cầm tay - Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm Họ và tờn thớ sinh : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số bỏo danh: . . . . . . . . Chữ ký của cỏn bộ coi thi số 1: . . . . . . . . . Chữ ký của cỏn bộ coi thi số 2: . . . . . .
2. sở giáo dục và đào tạo quảng ninh h•ớng dẫn chấm thi chọn hỌC sINH gIỎI THPT năm 2016 môn toán bảng A( CHÍNH THỨC) Bài Sơ lược lời giải Điểm Phương trỡnh hoành độ điểm chung của (Cm) và d là : (2 – m)x3 – 6mx2 + 9(2 – m)x – 2 = –2 0,5 x[(2 – m)x2 – 6mx + 9(2 – m)] = 0 (1) x 0 gx( ) 2 – m x2 – 6 mxm 9 2 – 0 (2) 0,5 (Cm) cắt d tại 3 điểm phõn biệt  (1) cú 3 nghiệm phõn biệt (2) cú 2 nghiệm phõn biệt ≠ 0 2 mm 0 2 ' m 2 g 0 m 1 (*) 0,5 m 1 gm(0) 0 9(2 ) 0 Bài 1 Khi đú gọi 3 giao điểm của (Cm) và d là A(0 ; –2 ), B(x1 ; –2 ), C(x2 ; –2) với x1 , x2 3 điểm là nghiệm của phương trỡnh (2) => hai điểm B, C  trục tung 0,5 22 Ta cú BCxx (2 1 ;0) BCBC ( xx 2 1 ) ( xx 2 1 ) 4 xx 1 2 6m xx12 m 1 Mà theo Vi-et ta cú : 2 m BC 12 2 (2 m ) xx12 9 0,5 11m S d( O ; d ). BC 12 13 OBC 2 (2 m )2 m 14 ( tm *) 13mm2 196 196 0 14 m ( tm *) 0,5 13 Vậy cú 2 giỏ trị của m thỏa món đề bài là : m =14 và m = 14/13 0 0 0 0 Đặt x = 142 30’ thỡ 2x = 285 = 360 - 75 0,5 1 tan300 1 3 tan2x = - tan750 = - tan(450 + 300) = – 0,5 1 tan300 13 2tan x 2t Mà tan 2x Đặt t = tanx tan 2x 0,5 1 tan2 x 1 t 2 2t 1 3 2 Do đú 2 2(1 3)tt (31) 31 Bài 2 1 t 13 0,5 3 điểm 2 3 1 2 2 (31) tt 2(1 3) (31) 0 t 0,5 31 3122 (3122)(31) Vỡ t < 0 nờn t 31 2 0,5 1 (3 326 3122)2 2 3 6 2
3. Điều kiện: x 0 1 2x 1 x2 x2 2x 2 1 1 Nhận xột: = 1 - = 2( ) 0,5 x2 x2 x2 x 2 x 2 1 xx 1 2 2 221 1 2xx 1 xx 0,5 Viết phương trỡnh ra dạng: 22 22 2 xx 2 1 xx2 1 2 xx221 1 xx 1 1 2 . 2 . 2 . (*) Bài 3 22xx22 0,5 3 điểm 1 t 1 Xột hàm số: f(t) = 2t + t => ft'( ) 2 ln 2 0 2 2 0,5 Nhận xột: f(t) là hàm số đồng biến 1 x2 1 2x Mà phương trỡnh * dạng: f( )= f( ) = 0,5 x2 x2 2 x 0 x – 2x = 0 x 2 0,5 Vậy pt cú nghiệm x = 2 1 Trong một cõu xỏc suất trả lời đỳng là : 4 3 0,5 Trong một cõu xỏc suất trả lời sai là : 4 Học sinh đú thi đỗ trong cỏc trường hợp sau: +) Trường hợp 1: đỳng 6 cõu và sai 4 cõu 6 Số cỏch chọn 6 cõu đỳng trong 10 cõu là C10 64 13 Xỏc suất để 6 cõu đỳng đồng thời 4 cõu cũn lại đều sai là : . 0,5 44 64 6 13 => Trường hợp 1cú xỏc suất là: PC1 10 44 Bài 4 Tương tự : 3điểm 73 7 13 +) Trường hợp 2: đỳng 7 cõu và sai 3 cõu cú xỏc suất là: PC2 10 44 0,5 82 8 13 +) Trường hợp 3: đỳng 8 cõu và sai 2 cõu cú xỏc suất là: PC3 10 44 9 9 13 +) Trường hợp 4: đỳng 9 cõu và sai 1 cõu cú xỏc suất là: PC4 10 44 10 0,5 10 1 +) Trường hợp 5: đỳng 10 cõu cú xỏc suất là: PC5 10 . 4
4. Do mỗi trường hợp trờn là 1 biến cố thỡ cỏc biến cố đú xung khắc nờn xỏc suất để học sinh thi đỗ là: PPPPPP 1 2 3 4 5 1 6 4 7 3 8 2 9 10 6 1 3 7 1 3 8 1 3 9 1 3 10 1 20686 CCCCC10 10 10 10 10 10 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1. Gọi M là trung điểm AC; H là trực tõm tam giỏc ABC; E là chõn đường cao hạ từ A Do M là giao của BM và AC nờn tọa độ M là nghiệm của hệ: 7 x 0,5 3xy 5 8 0 2 71 vậy M ; xy 4 0 1 22 y 2 Đường thẳng BD qua D và nhận vộc tơ chỉ phương của AC là u (1; 1) làm vộc tơ AC 0,5 phỏp tuyến cú phương trỡnh: xy 20 Do B là giao của hai đường thẳng BD và BM nờn tọa độ B là nghiệm của hệ: x y 2 0 x 1 vậy B 1;1 3x 5 y 8 0 y 1 0,5 Gọi K là giao của BD và AC nờn tọa độ K là nghiệm của hệ: x y 2 0 x 3 vậy K 3; 1 x y 4 0 y 1 Bài 5 Tứ giỏc KHEC nội tiếp nờn AHD BCA 6 điểm Mặt khỏc BCA BDA ( gúc nội tiếp cựng chắn cung AB ) 0,5 AHD HDA nờn tam giỏc AHD cõn tại A, vậy K là trung điểm DH H 2;0 t 5 Gọi C t;4 t do M là trung điểm AC nờn A(7 t ;3 t ). Do AH.0 BC 0,5 t 2 Với t 5 ta cú C 5;1 ; A(2;-2) Với t 2 ta cú C 2; 2 ; A(5;1) 0,5 Do 2 trường hợp cú diện tớch như nhau: Vậy S ABC 6 (đvdt) 2. Gọi H là trung điểm AO; F là trung điểm BO; E là giao điểm của HN và BD. Qua E dựng đường thẳng song 0,5 song với HM cắt MN tại K
5. S M D K C O H E N A F B Ta cú gúc tạo bởi MN và (ABCD) là gúc MNH 600 0,5 Xỏc định được gúc tạo bởi MN và (SBD) là gúc NKF 3 3a 2 +) AC a2 CH AC +) HN2 CH 2 CN 2 2 CH . CN . c os NCH 0,5 44 a 10 HN a 10 0,5 +) HN +) MN MN 4 cosMNH 2 1a 10 +) HOE NFE EH EN Vậy K là trung điểm MN => KN MN 0,5 24 FN 1 +) cosFNK KN 5 0,5 25 +) Vậy cosFKN sin FNK 1 cos2 FNK 5 1 Ta cú : ()y z2 y 2 z 2 và (y z )2 4 yz 2 0,5 5 6 Nờn 5x2 + (y + z)2 ≤ 5x2 + 5( y2 + z2) = 6(xy+ yz + zx) ≤ 6x(y + z) + (y + z)2 2 4 yz Do đú : 5x2 – 6x(y + z) + (y + z)2 ≤ 0 => x y z => x + y + z ≤ 2(y + z) 5 0,5 1 1 1 Khi đú P 2(xyz )()4()()2 yz2 yz yz 2 yz () yz 2 2 2 2 Bài 6 t 4 2 điểm Đặt y z t khi đú t ≥ 0 và P ≤ 2t 2 0,5 t 4 Xột hàm số f( t ) 2 t với t ≥ 0 => f’(t) = 2 – 2t3 => f’(t) = 0  t = 1 2 3 3 Lập bảng biến thiờn => ft() => P 2 2 x y z x 1 0,5 Dấu “ = “ xảy ra  yz 1 yz yz 1 2
6. Cỏc chỳ ý khi chấm: 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trỡnh bày sơ lược bài giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tớnh toỏn chớnh xỏc mới được điểm tối đa. 2. Cỏc cỏch giải khỏc nếu đỳng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thụng nhất chi tiết nhưng khụng được quỏ số điểm dành cho cõu, phần đú. 3.Cú thể chia điểm thành từng phần nhưng khụng dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm. 4. Điểm toàn bài là tổng số điểm cỏc phần đó chấm. Khụng làm trũn điểm. 5. Mọi vấn đề phỏt sinh trong quỏ trỡnh chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.