Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THPT môn Toán - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo An Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THPT môn Toán - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo An Giang (Có đáp án)

1. hoctoancapba.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT AN GIANG Năm học 2014 – 2015 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút SBD : PHÒNG: (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3,0 điểm) 2 − 1 Cho hàm số = (1) − 1 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (1) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A và B với độ dài đoạn AB ngắn nhất. Bài 2: (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau đây trên tập xác định của nó: 36 = ( ) = 2 − √9 − 2 + 1 Bài 3: (2,0 điểm) Giải phương trình sin3 + 3 cos = 3 sin2 cos + 2 sin Bài 4: (2,0 điểm) Giải bất phương trình 3 3 3√ + √2 + 1 < √3 + 4 Bài 5: (2,0 điểm) Giải hệ phương trình = 2 − { 2 3 + 3 = −2 Bài 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D có BC = 2 AB, M(4; 0) là trung điểm của BC, đường thẳng AD có phương trình 2 − + 1 = 0. Tìm 54 tọa độ các điểm B và C biết rằng hình thang ABCD có diện tích bằng và các tọa độ của hai 5 điểm A, B đều dương. Bài 7: (3,0 điểm) Nhân dịp khách sạn kỷ niệm ngày thành lập, ban quản lý khách sạn thực hiện khuyến mãi như sau: Mỗi đoàn du lịch đến nghỉ ở khách sạn đều chọn ngẫu nhiên hai người để tặng thưởng. Có hai đoàn du lịch cùng đến khách sạn, đoàn thứ nhất có 6 người Việt Nam và 12 người Pháp; đoàn thứ hai có 3 người Việt Nam, 7 người Nga và 2 người Anh. Tính xác suất để cả hai đòan có ít nhất hai người nhận thưởng đều là người Việt Nam. Bài 8: (4,0 điểm) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, mặt phẳng (SAB) vuông góc với 1 mặt phẳng đáy. Cho SA = AD = ; SB = √3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. 2 a) Tính theo a thể tích khối chớp S. BMDN. b) Tính cosin góc hợp bởi hai đường thẳng SM và DN. c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và DN. Hết
2. hoctoancapba.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT AN GIANG Năm học 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN A.ĐÁP ÁN Bài LƯỢC GIẢI Điểm 2 − 1 = (1) − 1 1 TXĐ = ℝ \{1} ′ = − ; ( −1)2 lim = 2 ; lim = +∞ ; lim = −∞ →±∞ →.1+ →.1− Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 1: = 1 tiệm cận ngang 2: = 2 1 ∈ ( ) ⟹ ( ; 2 + ) ; ĐK ≠ 1 − 1 Phương trình tiếp tuyến tại 1 1 = − ( − ) + 2 + ( − 1)2 − 1 A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng 2 ⟹ = 1 ; = 2 + 3,0 Bài 1 − 1 B là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang điểm 1 1 = 2; 2 = − ( − ) + 2 + ⟺ = 2 − 1 ( − 1)2 − 1 2 2 1 = √(2 − 2)2 + (− ) = 2√( − 1)2 + − 1 ( − 1)2 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng ta được 1 ( − 1)2 + ≥ 2 ( − 1)2 ⟹ ≥ 2√2 Vậy AB ngắn nhất bằng 2√2 Dấu bằng xảy ra khi ( − 1)2 = 1 ⟹ = 0; = 2 = 0 ⟹ (0; 1); = 2 ⟹ (2; 3) Vậy tọa độ điểm M cần tìm là (0; 1); (2; 3) 36 = ( ) = 2 − √9 − 2 + 1 Tập xác định = [−3; 3] Đặt 푡 = √9 − 2 표 ∈ [−3; 3] ⟹ 푡 ∈ [0; 3]; 2 = 9 − 푡2 Xét hàm số 36 2,0 Bài 2 (푡) = 9 − 푡2 − 푡 ê푛 푡ậ = [0; 3] 푡 + 1 điểm 36 ′(푡) = −2푡 + (푡 + 1)2 ′(푡) = 0 ⟺ 2푡(푡 + 1) = 36 ⟺ 푡(푡 + 1)2 = 18 ⟺ (푡 − 2)(푡2 + 4푡 + 9) = 0 ⟺ 푡 = 2 (0) = −25 ; (2) = −7 ; (3) = −9 ⟹ max (푡) = −7 ℎ𝑖 푡 = 2 2
3. hoctoancapba.com Vậy Giá trị lớn nhất của hàm số = ( ) bằng −7 khi √9 − 2 = 2 ⟺ = ±√5 Giải phương trình lượng giác sin3 + 3 cos = 3 sin2 cos + 2 sin ⟺ sin3 − 3 sin2 cos + 3 cos − 2 sin = 0 Ta có cos = 0 ⟺ = + không là nghiệm của phương trình, 2 chia phương trình cho cos3 ta được 1 2,0 Bài 3 tan3 − 3 tan2 + (3 − 2 tan ). = 0 cos2 điểm ⟺ tan3 − 3 tan2 + (3 − 2 tan )( 1 + tan2 ) = 0 ⟺ 푡 푛3 + 2 tan − 3 = 0 ⟺ (tan − 1)(tan2 + tan + 3) = 0 ⟺ tan = 1 ⟺ = + ( ∈ 푍) 4 Vậy nghiệm của phương trình là = + ( ∈ 푍) 4 Xét phương trình 3 3 3√ + √2 + 1 = √3 + 4 (∗) 3 3 ⟺ + 3√ (2 + 1)(3√ + √2 + 1) + 2 + 1 = 3 + 4 3 3 ⟺ √ (2 + 1)(3√ + √2 + 1) = 1 (∗∗) Xét phương trình hệ quả bằng cách thế (∗)푣à표 (∗∗) ta có 3√ (2 + 1)3√3 + 4 = 1 ⟺ (2 + 1)(3 + 4) = 1 2,0 1 điểm ⟺ 6 3 + 11 2 + 4 − 1 = 0 ⟺ = −1; = 6 1 Thử lại ta có = là nghiệm của phương trình (∗) 6 Mặt khác hàm số ( ) = 3√ + 3√2 + 1 − 3√3 + 4 liên tục trên ℝ do 1 1 đó hàm số cùng một dấu trên mỗi khoảng (−∞; ) ; ( ; +∞) dễ thấy 6 6 1 (0) 0 vậy bất phương trình có tập nghiệm là (−∞; ) 6 Bài 4 Cách khác: Đặt a3 x; b3 2 x 1 . Bất phương trình trở thành a b3 a33 b 3 a33 a 2 b 3 ab 2 b 3 a 3 b 3 3 a22 b ab 10 a2 b ab 2 b 320 a 3 20a3 a 2 b ab 2 b 3 20a b a22 ab b 2 bb3 2 20a b vì a22 ab b a 24 1 Khi đó ta có 23 x3 2 x 1 8 x 2 x 1 x 6 3
4. hoctoancapba.com = 2 − ( + 1) = 2 { ⟺ { 2 3 + 3 = −2 2 3 + 3 = −2 Đặt + 1 = 푡 ta được hệ phương trình sau 푡 = 2푡 − 2 푡2 = 2푡2 − 2푡 { ⟺ { 2(푡 − 1)3 + 3 = −2 2푡3 − 6푡2 + 6푡 − 2 + 3 = −2 푡 = 2푡 − 2 푡 = 2푡 − 2 ⟺ { ⟺ { 2푡3 − 3푡2 + 3 = 0 (2푡 + )(푡2 − 2푡 + 2) = 0 2,0 TH1: 푡2 − 2푡 + 2 = 0 ⟺ (푡 − )2 = 0 ⟺ = 푡 khi đó ta được điểm 푡2 = 2푡 − 2 ⟺ 푡2 − 2푡 + 2 = 0 phương trình vô nghiệm TH2: = −2푡 khi đó −1 ± √5 −2푡2 = 2푡 − 2 ⟺ 푡 = ⟹ = 1 ± √5 1,2 2 −3+ 5 −3− 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( √ ; 1 − √5) ; ( √ ; 1 + √5) 2 2 xy2 x y (1) Cách khác: 2xy33 2 (2) + y 0 không thỏa hệ phương trình Bài 5 + Chia 2 vế phương trình (1) cho y 2 ; chia 2 vế phương trình (2) cho y 3 xx11 2. y y y y ta được 33 x 1 2 1 2. yy x 1 a b2 ab Đặt ab; , hệ trở thành yy 2ab33 2 1 0 1 ab Giải hệ đối xứng ta được 2 1 ab 4 x 11 3 5 3 5 y 2 yx22 xx Do đó ta có 22 x 1 yx2 40 yy1 5 1 5 y2 4 Gọi N là trung điểm của AD. Do hình thang vuông nên MN vuông góc với AD. Phương trình đường thẳng MN + 2 − 4 = 0 Tọa độ N là giao điểm của AD và MN nên là nghiệm của hệ 2 − + 1 = 0 2 9 2,0 Bài 6 { ⟺ ( ; ) + 2 − 4 = 0 5 5 điểm A thuộc AD nên tọa độ A là (푡; 2푡 + 1) 9 Diện tích hình thang bằng 54/5 và ( ; ) = √5 nên 4
5. hoctoancapba.com 푆 3 푆 = 2 . ( , ) ⟹ = = 2. ( , ) √5 2 2 9 2 9 1 ⟺ (푡 − ) + (2푡 + 1 − ) = ⟺ 푡 = 1; 푡 = − 5 5 5 5 1 9 Vậy tọa độ hai điểm A và D là (1; 3) ℎ (− ; ). 5 5 Theo giả thiết ta được (1; 3) Đường thẳng AB vuông góc với AD nên : + 2 − 7 = 0 = 7 − 2푡 ℎ : { ; ⟹ (7 − 2푡; 푡) = 푡 Ta lại có = ⟺ √(6 − 2푡)2 + (푡 − 3)2 = √(−3 + 2푡)2 + 푡2 ⟺ 5푡2 − 30푡 + 45 = 5푡2 − 12푡 + 9 ⟺ 푡 = 2 ⟹ (3; 2) M là trung điểm của BC nên (5; −2) Vậy tọa độ hai điểm cần tìm là (3; 2); (5; −2) Trường hợp 1: Đoàn thứ nhất có hai người nhận thưởng đều là người Việt Nam 2 Chọn 2 người Việt Nam trong 6 người Việt Nam có 6 cách chọn 2 Chọn 2 người ở đoàn thứ nhất nhận thưởng có 18 cách chọn Xác xuất để đoàn thứ nhất có 2 người Việt Nam nhận thưởng là 2 6 6.5 5 1 = 2 = = 18 18.17 51 Trường hợp 2: Đoàn thứ hai có hai người nhận thưởng đều là người Việt Nam 2 Chọn 2 người Việt Nam trong 3 người Việt nam có 3 cách chọn 2 Chọn 2 người ở đoàn thứ hai nhận thưởng có 12 cách chọn. Xác xuất để đoàn thứ hai có 2 người Việt Nam nhận thưởng là 2 3.2 1 = 3 = = 2 2 12.11 22 3,0 Bài 7 12 Trường hợp 3: Mỗi đoàn có đúng 1 người Việt Nam nhận thưởng điểm 1 1 Chọn 2 người trong đó có đúng 1 người Việt Nam ở đoàn 1 có 6 . 12 2 cách chọn trong 18 cách chọn 2 người của đoàn thứ nhất. Xác xuất để đoàn thứ nhất có đúng một người Việt Nam nhận thưởng là 1 1 6 . 12 6.12.2 8 3 = 2 = = 18 18.17 17 Tương tự xác xuất để đoàn thứ hai có đúng một người Việt Nam nhận thưởng là 1 1 3 . 9 3.9.2 9 4 = 2 = = 12 12.11 22 Theo công thức xác xuất ta có xác xuất để có hai người nhận thưởng đều là người Việt Nam là 5 1 5 1 8 9 62 = + − + . = + − . + . = 1 2 1 2 3 4 51 22 51 22 17 22 187 5
6. hoctoancapba.com Cách khác: Gọi A: “Cả hai đoàn có nhiều nhất một người nhận thưởng là người Việt Nam” 22 Số phần tử của không gian mẫu: n C18. C 12 Trường hợp 1: Đoàn thứ nhất có duy nhất 1 người Việt Nam được nhận thưởng; đoàn thứ hai không có người Việt Nam nào được nhận thưởng. 1 1 2 Có CCC6 12 9 cách chọn Trường hợp 2: Đoàn thứ hai có duy nhất 1 người Việt Nam được nhận thưởng; đoàn thứ nhất không có người Việt Nam nào được nhận thưởng. 1 1 2 Có CCC3 9 12 cách chọn Trường hợp 3: Cả 2 đoàn không có người Việt Nam nào được nhận thưởng. 22 Có CC12. 9 cách chọn CCCCCCCC1 1 2 1 1 2 2 2 Xác suất biến cố A: PA 6129 3912 129 22 CC18. 12 Xác suất cần tìm là: 1 PA S Từ S kẻ SH vuông góc với (ABCD) do (SAB)(ABCD) nên H thuộc AB. Mặt khác tam giác SAB có ba cạnh = A H M B 2 ; 푆 = ; 푆 = √3 nên tam giác SAB vuông tại S , SH là đường cao D' N 1 1 1 1 1 4 2,0 = + = + = 푆 2 푆 2 푆 2 2 3 2 3 2 điểm √3 D C ⟹ 푆 = 2 1 1 푆 = 푆 − 푆 − 푆 = 4 2 − . 2 − . 2 = 2 2 2 2 1 1 √3 3√3 Bài 8 = 푆 . 푆 = . 2 2 = 푆. 3 3 2 2 1 Gọi D’ là điểm thuộc đoạn AD sao cho ’ = khi đó MD’//DN 4 Góc hợp bởi SM và DN chính là góc SMD̂’ = 훼 Hai tam giác MAD’ và SAD’ vuông tại A có hai cạnh góc vuông là 푣à 2 2 1,0 2 √5 푆 ′ = ′ = √ 2 + ′ = √ 2 + = điểm 4 2 Áp dụng định lý cosin cho tam giác SMD’ ta được 푆 ’2 = 푆 2 + ′2 − 2푆 . ′. cos 훼 5 2 5 2 √5 1 = 2 + − 2. . . cos 훼 ⟹ cos 훼 = 4 4 2 √5 6
7. hoctoancapba.com Ta có mp(SMD’) // DN nên khoảng cách giữa hai đường DN và SM là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SMD’). 2 3 1 1 ′ 1 √3 2 √3 푆 ′ = 푆 . 푆 ′ = 푆 . (푆 − 푆 ) = . ( − ) = 3 3 3 2 4 8 1,0 2 1 ′ 1 √5 2 điểm 푆푆 ′ = 푆 . . sin 훼 = . . = 2 2 2 √5 2 3 3 푆 ′ 3 √3 2 3 √3 Vậy (푆 , ) = = . 2 = 푆푆 ′ 8 4 B. HƯỚNG DẪN CHẤM + Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. + Điểm từng câu có thể chia nhỏ đến 0,25 và không làm tròn. 7