Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2013-2014 - Trường THPT Thái Thuận (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2013-2014 - Trường THPT Thái Thuận (Có đáp án)

1. S GD&ðT BC GIANG ð THI CHN HSG CP TRƯNG TRƯNG THPT THÁI THUN NĂM HC 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn lp 12 Thi gian làm bài: 180 phút x− 2 Câu I (4 đim). Cho hàm s y = cĩ đ th (C). x+ 1 1) Kho sát s bin thiên và v đ th (C) ca hàm s. 2) Chng minh rng đưng thng ( ) : 2x ++= y m 0 luơn ct đ th (C) ti hai đim phân bit A và B thuc hai nhánh ca đ th. Xác đnh m sao cho AB ngn nht. Câu II (4 đim). 1) Gii phương trình: 5π π π 5x 9x sin(++ 3x) cos( −= 7x) 2sin(2 +− ) 2cos 2 . 2 2 4 2 2 2 2 xy++= x y x − 2y 2) Gii h phương trình:  ()x, y∈ℝ .  x−+ 1 2y −= 3 3 n 8 2 3  Câu III (2 đim). Tìm h s ca s hng cha x trong khai trin 2x +  . x  ℕ Trong đĩ n ∈ và tha mãn: log(n4−+ 3) log(n 5 += 6) 4. Câu IV (2 đim). Tìm m đ bt phương trình: m.4x+−( m 1) .2 x+ 2 +−> m 1 0 đúng ∀x ∈ ℝ . Câu V (6 đim). 1) Cho hình chĩp S. ABC cĩ gĩc ((SBC), (ACB)) = 600, ABC và SBC là các tam giác đu cnh a. (Hình chiu ca S nm min trong tam giác ABC) a. Tính theo a th tích khi chĩp S.ABC và khong cách t B đn mt phng (SAC). b. Xác đnh tâm mt cu ngoi tip hình chĩp S.ABC. 3 2) Trong mt phng Oxy cho đim A(2;–3), B(3;–2), ABC cĩ din tích bng ; 2 trng tâm G ca ABC thuc đưng thng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm ta đ đim C và bán kính đưng trịn ni tip ABC. Câu VI (2 đim). Cho ba s thc dương a, b, c tha: a3 b 3 c 3 + + =1 a2++ abb 2 b 2 ++ bcc 2 c 2 ++ caa 2 Tìm giá tr ln nht ca biu thc Sa= + bc + . Ht Thí sinh khơng đưc s dng tài liu. Cán b coi thi khơng gii thích gì thêm. H và tên thí sinh: ; S báo danh:
2. ðÁP ÁN CHN HSG TỐN 12 – 2014 Câu ðáp án ðim I 1 Hc sinh t gii 2.0 (4 2 Pthđgđ chung: 2x2 ++ (3 m)x +−= m 2 0 vi x≠ − 1 0.25 đim Cm pt cĩ 2 nghim pb tm: x< − 1 < x ⇔xx ++ x x +< 10 ⇔ −3 < 0 đúng vi mi m. 0.5 ) 1 2 12 1 2 0.25 GS A(x;11−− 2x m), B(x 22 ; −− 2x m) 5 0.5 Cĩ AB2=− 5(x x) 2 = 5(x + x) 2 − 4xx  =(m −+ 1)2 24  ≥ 30 12 12 12  4   0.5 Suy ra ABmin = 30 khi m = 1 Câu 1 5π π π 5x9x sin(++ 3x) cos( −= 7x) 2sin(2 +− ) 2cos 2 II 2 2 42 2 0.5 (4 ⇔cos3x + cos9x + sin7x − sin5x = 0 đim ()() 0.25 ) ⇔2cos6x() cos3x + sinx = 0 0.5  πk π x = +  12 6 cos 6x= 0   π 0.5 ⇔ π ⇔=+πx m k, m, n ∈Ζ cos3x= cos( + x)  4   2 πn π x = − +  8 2 0.25 KL 2 3 0.25 ðKXð: x≥ 1;y ≥ 2 2 2 2 (xy+ x) ++= x y 2x − 2y H phương trình tương đương:   x1−+ 2y −= 3 3 0.25 x+ y = 0 loai ( ) (x+ y1x)( −+ 2y) = 0  ⇔  ⇔ 1− x + 2y = 0  x1−+ 2y −= 3 3  x1−+ 2y3 −= 3  0.25 2y= x − 1 ⇔   x1−+ x43 − = () *  x≥ 4 0.25 PT * ⇔  ( ) 2 0.25 2x−+ 5 2x − 5x += 4 9  x≥ 4 4≤ x ≤ 7 4≤ x ≤ 7 ⇔ ⇔  2 ⇔ ⇔x = 5() TM 2 2 0.5  x− 5x + 4 =− 7 x x− 5x += 4() 7x − x= 5 Vi x= 5 ⇒ y = 2 . KL 0.25 Câu Phương trình: log4 (n−+ 3) log 5 ( n += 6) 4 cĩ nghim duy nht n = 19. (Vì VT là hàm s 1.0 III đng bin nên đ th ct đưng thng y = 4 ti mt đim duy nht). (2 n 3  19 đim 2x2+ = C23x k19kk383k− − 0.5 )   ∑ 19 x  k= 0 T gt suy ra 38− 3k =⇔ 8 k = 10 0.25 KL: C10 2 9 3 10 19 0.25 1
3. Câu ðt t= 2x > 0 thì m.4x+( m1.2 −) x+ 2 +−> m1 0 đúng ∀x ∈ ℝ 0.5 IV m.t2 + 4m1.t()() − + m1 −>∀>⇔ 0,t 0 mt( 2 ++>+∀> 4t1) 4t1,t 0 0.5 (2 2 đim () 4t+ 1 ′() −4t − 2t ( ) 0.5 ⇔gt =2 m,t0 . Ta cĩ g t=2 < 0 nên g t nghch bin trên ) t+ 4t + 1 ()t2 + 4t + 1 [0; +∞ ) suy ra ycbt ⇔ Maxgt( ) = g0( ) = 1 ≤ m 0.5 t≥ 0 Câu 1 Gi M là trung đim ca BC và O là hình chiu ca S 0.5 V a lên AM. CM SO ⊥ mp(ABC) (6 SM =AM = a 3 ; AMS
   = 60 0 và đim 2 S 0.5 ) ⇒ d(S; BAC) = SO = 3a 4 Gi V SABC là th tích ca khi chĩp S.ABC 3 ⇒ V = 1 S .SO = a 3 (đvtt) S.ABC 3ABC 16 N 0.5 Mt khác, V = 1 S .d(B;SAC) S.ABC 3 SAC a 3 SAC cân ti C cĩ CS =CA =a; SA = I 2 A C a2 13 3 ⇒ SSAC = 0.5 16 O 3V G Vy: d(B; SAC) = S.ABC = 3a (đvđd). M SSAC 13 1 Tam giác SAM đu suy ra O là trung đim ca AM B 0.5 b Gi G là trng tâm ca tg ABC, suy ra G là tâm đưng trịn ngoi tip tg ABC. 0.5 Trong (SAM) dng đưng thng (d) qua G và song song vi SO suy ra d⊥ (ABC) . 0.5 Dng trung trc ca SA trong (SAM) ct (d) ti I. CM I là tâm mt cu 0.5 2 a− b − 5 2S Gi C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) = = ABC 2 AB 0.5 a− b = 8(1) a+ 5b − 5 ⇒ a− b − 5 = 3 ⇔  ; Trng tâm G ( ; ) ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3) 0.5 a− b = 2(2) 3 3 T (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = S= 3 p 2+ 65 + 89 0.5 T (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ r =S = 3 . p 2+ 2 5 0.5 Câu a3 2 a− b 0.5 CM: ≥ (1) ⇔ 3a 3 ≥ (2a – b)(a 2 + ab + b 2) VI a2+ ab + b 2 3 (2 3 3 2 2 0.5 ⇔ a + b – a b – ab ≥ 0 đim ⇔ (a + b)(a – b) 2 ≥ 0. (h/n) ) b3 2 b− c c3 2 c− a Tương t: ≥ (2) , ≥ (3) 0.5 b2+ bc + c 2 3 c2+ ac + a 2 3 Cng v theo v ca ba bđt (1), (2) và (3) ta đưc: a3 b 3 c 3 abc+ + 0.5 + + ≥ a2++ abb 22 b ++ bcc 22 c ++ caa 2 3 Vy: S ≤ 3 ⇒ maxS = 3 khi a = b = c = 1 Lưu ý khi chm bài: Trên đây ch là sơ lưc đáp án, bài làm ca HS phi đưc trình bày t m. Mi cách gii khác, nu đúng vn cho đim tương đương như trên. 2