Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2016-2017 - Trường THPT Nguyễn Duy Thì (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 12 - Năm học 2016-2017 - Trường THPT Nguyễn Duy Thì (Có đáp án)

1. Trường THPT Nguyễn Duy Thì KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) 2x 3 Câu 1(3 điểm): Cho hàm số: y (1) x 2 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB 2IB , với I(2,2) . Câu 2 (2 điểm): x y 2 2x 1 2y 1 1. Giải hệ phương trình: 2 (x, y ¡ ). x y x 2y 3x 2y 4 sin 2x 3tan 2x sin 4x 2. Giải phương trình: 2. tan 2x sin 2x Câu 3(1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có, điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x y 4 0 . Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình: 3x 4y 23 0 . Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hoành độ dương. Câu 4 (2 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600 . 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a . Câu 5(1 điểm) : Cho a,b,c là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 2 P a 2 b 2 c 2 1 a 1 b 1 c 1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Trường THPT Nguyễn Duy Thì KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN Câu Ý Lời giải Điểm 1 2x 3 1,5 Cho hàm số: y . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của x 2 hàm số . TXĐ: D R \2 0,5 lim y 2 phương trình đường TCN: y = 2 x lim y ;lim y phương trình đường TCĐ: x = 2 x 2 x 2 1 0,25 y/ 0 x D x 2 2 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Hàm số không có cực trị. Bảng biến thiên: 0,25 +∞ x -∞ 2 y - - ’ +∞ y 2 -∞ 2 Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) 0,5 Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0) Đồ thị: 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường 1,5 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB 2IB , với I(2;2). 0,55 2x0 3 Gọi M x0 ; (C) x0 2 2 1 2x0 6x0 6 PTTT của (C) tại M: y 2 x 2 x0 2 x0 2 Do AB 2IB và tam giác AIB vuông tại I IA = IB nên hệ số góc 0,5 1 của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1. vì y/ 0 nên ta có hệ số góc x 2 2 tiếp tuyến k = -1. 1 x 1 0,25 1 0 2 x 3 x0 1 0 có hai phương trình tiếp tuyến: 0,25 y x 2 ; y x 6 2 1 Giải hệ phương trình: 1,0 x y 2 2x 1 2y 1 (1) 2 x, y ¡ x y x 2y 3x 2y 4 (2) 1 0,25 x 2 Đk: 1 y 2 2 2 x y 1 0 0,25 Pt(2) x 3y 3 x 2y 2y 4 0 x 2y 4 0 (loai) x y 2 4xy 0,25 Pt(1) 2x 1 2y 1 2 2 x y 2 4xy 2 x y 2 2 4xy 2 x y 1 2 8 4xy 3 4xy 3 4xy 5 4xy 3 0 2 4xy 5 4xy 3 8 (loai) (do 1 x y 4xy 4xy 5 0) 1 3 0,25 x y 1 x x 2 2 Hệ đã cho tương đương: 3  xy 3 1 4 y y 2 2 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. 1 3 3 1 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: ; , ; 2 2 2 2 2 sin2x 3tan2x sin4x 1 Giải phương trình: 2 tan2x sin2x cos2x 0 0,25 Đk: (*) tan 2x sin 2x 0 Pt tương đương: 0,25 3 sin 2 x tan 2 x sin 4 x 0 3sin 2xcos2x sin 2x sin 4xcos2x 0 cos2x 1 sin 2x sin 4x 0 0,25 x k 2 cos2x 1 cos2x 1 0 sin 2x 0 x k sin 4x sin 2x 0 2 1 cos2x 2 x k 3 0,25 Nghiệm x k thỏa mãn (*) 3 Phương trình có 2 họ nghiệm: x k 3 3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD 1,0 có A(5, 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x y 4 0. Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình: 3x 4y 23 0 . Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hoành độ dương. Gọi C c;c 4 d1 , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2: 0,25 3x – 4y – 23 = 0. Ta có VAIM đồng dạng VCID   c 10 c 10 CI 2AI CI 2IA I ; 3 3 c 10 c 10 0,25 Mà I d nên ta có: 3 4 23 0 c 1 2 3 3 Vậy C(1;5). 3t 23 3t 9 0,25 Ta có: M d2 M t; B 2t 5; 4 2  3t 5  3t 19 AB 2t 10; , CB 2t 6; 2 2 t 1 0,25   1 Do AB.CB 0 4 t 5 t 3 3t 5 3t 19 0 29 4 t 5 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. B( 3; 3) (loai) 33 21 33 21 B ; B ; 5 5 5 5 4 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác 1,0 SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600 . 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD SH  AB  Ta có:  SH  ABCD SAB  ABCD  0,25 a 3 SH 2 Góc giữa (SCD) và mặt đáy là SMH 600 0,25 SH a 0,25 Ta có HM tan 600 2 1 a2 a 3 a3 3 0,25 V . . S.ABCD 3 2 2 12 2 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a . 1,0 Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD. Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ 0,25 đường thẳng đi qua H ,  d và cắt d tại J, cắt BD tại I. trong (SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K. Khi đó: d BD,SA d I ,(S ,d ) 2d H ,(S ,d ) 2d H ,(SBD) 2HK IH BH BH.AD a 5 0,25 Ta có VBIH đồng dạng VBAD IH AD BD BD 10 1 1 1 a 3 0,5 Xét VSHI vuông tại H, ta có: HK HK 2 HS 2 HI 2 8 a 3 Vậy d BD,SA 4 5 Cho a,b,c là ba số duơng. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1,0 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. 1 2 P a 2 b 2 c 2 1 a 1 b 1 c 1 2 2 0,25 a b c 1 1 2 2 1 2 a2 b2 c2 1 a b c 1 a b c 1 2 2 2 4 3 3 a 1 b 1 c 1 a b c 3 0,25 a 1 b 1 c 1 3 3 2 54 0,25 Vậy P a b c 1 a b c 3 3 2 54 = f (t) với t a b c 1 (t 1) t t 2 3 0,25 / 2 162 / t 4 f (t) 2 4 ; f (t) 0 t t 2 t 1(loai) t 1 4 + f’(t) + 0 - 1/4 f(t) 0 0 a b c 3 1 Vậy giá trị lớn nhất của P khi a b c a b c 1 4 c 1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất