Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Phòng giáo dục và đào tạo Nghĩa Đàn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2011-2012 - Phòng giáo dục và đào tạo Nghĩa Đàn (Có đáp án)

1. Phòng GD-ĐT Nghĩa đàn Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2011-2012 Đề chính thức Môn : Toán (Thời gian làm bài: 150 phút không kể giao đề ) Bài 1: x x 5 x 12 2( x 3) x 3 1. Cho P x x 6 x 2 3 x Tìm ĐKXĐ và rút gọn P Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2011 3 3 3 2. Chứng tỏ rằng x0 9 4 5 9 4 5 là nghiệm của phương trình: x 3 x 17 1 0 Bài 2 : ( ý 4 của bài 2 thí sinh bảng B không phải làm ) 1. Giải các phương trình sau: Giải phương trình : 2x 3 5 2 x 3 x2 12 x 14 Giải phương trình : x2 + 2x + 15 = 6 4x 5 1 1 2. Cho a > 0, b > 0 và a + b 1. Tỡm GTNN của biểu thức A = a2 b 2 a 2b 2 3. Tìm số tự nhiên n để n + 21 và n – 18 là hai số chính phương. 4. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x2 xy y 2 x 2 y 2 Bài 3: Cho đường thẳng (d): y = ( m - 2) x + 2m - 1 ( m là tham số) Chứng minh rằng đường thẳng d luụn đi qua một điểm cố định với mọi giỏ trị của m. Tỡm giỏ trị của m để khoảng cỏch từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d cú giỏ trị bằng 2 Bài 4 : Cho đường tròn ( O,R) đường kính AB. Qua điểm C thuộc đường tròn kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi I, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến đường thẳng d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh: CI = CK CH2 = AI . BK AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính IK. Bài 5: (Bài 5 thí sinh bảng B không phải làm ) Cho (O,R) và hai điểm A,B cố định nằm ngoài đường trũn sao cho OA = R 2 . Tỡm điểm M trờn đường trũn sao cho tổng MA+ 2 MB đạt GTNN? Hết Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . 1
2. Phòng GD&ĐT Nghĩa Đàn Kỳ thi chọn học sinh giỏi Huyện lớp 9 THCS Năm học 2011 - 2012 hướng dẫn và biểu điểm Chấm BảNG A (Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 05 trang) Môn: toán Lớp 9 Câu Nội dung Bài 1 ĐKXĐ: x 0, x 9 Với x 0, x 9 ta có: x x 5 x 122 x 3 x 3 P x 2 x 3 x 2 x 3 2 x x 5 x 12 2 x 3 x 3 x 2 x 2 x 3 x x 5 x 12 2 x 12 x 18 x 5 x 6 x 2 x 3 x x 3 x 12 x 36 x 2 x 3 x x 3 12 x 3 x 2 x 3 x 3 x 12 x 2 x 3 x 12 x 2 B Với x 0, x 9 ta có: x 12 16 16 P x 2 x 2 4 x 2 x 2 x 2 16 áp dụng bất dẳng thức Cosy cho 2 số không âm x 2 và ta có: x 2 16 16 x 2 2 x 2 8 x 2 x 2 16 2 Dấu đẳng thức xảy ra x 2 = x 2 42 x 4(TM) x 2 Vậy Giá trị nhỏ nhất của P 4 x 4 2) 2
3. Ta có: 3 x3 39 4 5 3 9 4 5 18 33 (9 4 5)(9 4 5). x 0 0 3 x0 3 x 0 18 0 3 x0 3 x 0 17 1 32011 2011 Suy ra: x0 3 x 0 17 1 1 1 0 Do đó x= x0 là một nghiệm của phương trình. Bài 2 a- 2x 3 5 2 x 3 x2 12 x 14 (1) 1a 3 5 ĐKXĐ: x 2 2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: VT= 2x 3 5 2 x 2(2 x 3 5 2 x ) 2 Dấu “=” xảy ra khi 2x 3 = 5 2x  x= 2 Ta lại có: VP =3x2 12 x 14 3( x 2) 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x = 2 Do đó VT = VP  x = 2 ( TMĐKXĐ) vậy S 2 1b 5 ĐK: x 4 Ta cú : x2+2x+15 = 6 4x 5 (x2-2x+1) +(4x+5 -2.3 4x 5 9 ) =0 2 (x-1)2 + 4x 5 3 0 2 x 1 0 2 x=1 (TM) 4x 5 3 0 Vậy phương trỡnh cú nghiệm là x=1 2. 1 1 15 1 1 Ta cú A = a 2 b 2 16a 2 16b2 16 a 2 b 2 1 1 1 1 1 1 2 4 Áp dụng BĐT Cụ-si ta cú: a 2 , b 2 , 16a 2 2 16b 2 2 a 2b 2 ab 2ab 1 1 4 Mặt khỏc ta cú: a 2b 2a 2 b 2 1 1 1 1 4 16 Từ đú suy ra: 2 4 .4 16 a2 b 2 a 2 b 22 ab a 2 b 2 2 ab a b 2 1 1 suy ra: 8 a 2b 2 1 1 15 17 Vậy: A . 2 2 2 2 a b 1 Dấu “=” xảy ra khi: a b a b 1 2 3
4. 17 1 Do đú MinP = a b 2 2 3. Để n + 21 và n – 18 là hai số chính phương n 21 p2 và n 18 q2 ( p , q N ) p2 q 2 ( n 21) ( n 18) 39 ( p q )( p q ) 39 Vì 39 = 1 .39 = 3. 13 và p – q 0 nên p q 1 p q 3 p 20 p 8 Hoặc Hoặc p q 39 p q 13 q 19 q 5 p 20 p 8 Với n = 379 (TM) ; Với n = 43(TM) q 19 q 5 Vậy với n = 379 hoặc n = 43 thì n +21 và n – 18 là hai số chính phương 4. Ta có: x2 xy y 2 x 2 y 2 4 x 2 4 xy 4 y 2 4 x 2 y 2 0 22x y 2 (2 xy 1)2 1 222 x y xy 1222 x y xy 1 1 x 0 2x 2 y 2 xy 1 1 y 0 2x 2 y 2 xy 1 1 x 1 2x 2 y 2 xy 1 1 y 1 2x 2 y 2 xy 1 1 x 1 y 1 vậy phương trình có 3 nghiệm là (x,y) = (0;0); (1;-1);(-1;1) Bài 3 a Giả sử đường thẳng (d) đi qua điểm cố định M(x0 ;y0) với mọi m khi đú : y m 2 x 2 m 1  m 0 0 x0 m 2 x 0 2 m 1 y 0 0  m (x0 2) m (2 x 0 y 0 1) 0  m x0 2 0 x 0 2 2x0 y 0 1 0 y 0 3 Vậyđường thẳng d đi qua điểm cố định M(-2 ;3). B y B H O4 A x d
5. * Nếu m = 2 thỡ (d) : y = 3 khi đú khoảng cỏch từ gốc tọa độ O(0,0) đến (d) bằng 3 * Nếu m 2 thỡ : Gọi A và B thứ tự là giao điểm của đường thẳng (d) với trục hoành và trục tung . Ta tớnh được 2m 1 OA ; OB 2 m 1 m 2 Gọi OH là khoảng cỏch từ O đến AB, ta cú : 1 1 1 (m 2)2 1 ( m 2) 2 1 2 2 2 OH2 OA 2 OB 2 2m 1 2 m 1 2 m 1 2 2m 1 2 OH2 2 m 1 4( m 2) 2 4 ( do OH 2) (m 2)2 1 19 m 12 Vậy OH =2 m = 19 12 d Bài 4 K Vẽ hình đúng và chính xác (0,5đ) `` C I B A H O a Nối OC. Vì d là tiếp tuyến của (O) tại C nên OC vuông góc với d Ta có: AI// BK ( vì cùng vuông góc với d) => ABKI là hình thang Do OA= OB =R, OC// AI // BK ( vì cùng vuông góc với d) => CI = CK ( T/c đường trung bình của hình thang) b vì CAI ACO ( So le trong, AI//CO), ACO CAO ( OAC cân) CAI CAO  IAC  HAC ( Cạnh huyền - góc nhọn) => AI = AH. Tương tự: BK = BH. Do ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên ABC vuông tại C. 5
6. => CH2 = HA.HB = AI.BK ( hệ thức lượng trong tam giác vuông) Ta có:IAC  HAC CI CH CK IK HC (,) Mà CH AB tại H 2 IK => AB là tiếp tuyến của (,)C 2 Bài 5 B M N O A C Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng OA với (O,R). Trờn đoạn OC lấy điểm N OC sao cho 2 ON OC OM OA Suy ra 2 suy ra MOA ~ NOM (c.g.c) ON ON OM MA 2 MA 2 MN MN MA 2 MB 2 MN 2 MB 2 MN MB 2 NB (khụng đổi) Dấu “=” xảy ra khi M thuộc đoạn NB Vậy M là giao điểm của đoạn NB với đường trũn(O,R) Lưu ý : - Tổng điểm tối đa là 20 điểm - Nếu học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa - Câu hình không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm điểm. 6