Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

1. MATHVN.COM | www.mathvn.com SỞ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO KỲ THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI LỚP 12 PHÚ TH Ọ THPT NĂM HỌC 2010- 2011 Đề chính th ức ĐỀ THI MÔN : TOÁN Th ời gian làm bài : 180 phút (không k ể th ời gian phát đề ) Ngày thi: 05 tháng 11 năm 2010 (Đề thi g ồm có: 01 trang) Câu 1 ( 3 điểm ). Gi ải ph ươ ng trình : (6 sin x – 2 sin 3x +1) 3 = 162 sin x - 27 xx2( +=2) 3( yx 3 −+) 3   Câu 2 ( 3 điểm). Gi ải h ệ ph ươ ng trình : yy2()+=2 3() zy 3 −+ 3  2()+= 3 −+ zz2 3() xz 3 Câu 3 ( 4 điểm) u = 3  1  1 2 Cho dã y s ố (u n) xá c định b ởi = ++ = un+ ( uu n n 4), n 1,2,3,  1 5 ( ) a) Ch ứng minh r ằng un là dãy t ăng nh ưng không b ị ch ặn trên n =1 = b) §Æt vn ∑ , n 1,2,3, TÝnh : lim v n + n→∞ k=1 uk 3 Câu 4 ( 5 điểm) Hình chóp n- giác đều có góc t ạo b ởi gi ữa m ặt bên và m ặt đáy b ằng α , góc t ạo bởi gi ữa c ạnh bên và m ặt đáy β . Ch ứng minh r ằng: π sin2α− sin 2 β ≤ tan 2 2n Câu 5 ( 3 điểm) Xét x, y ∈ R th ỏa mãn điều ki ện: 3xx− 62 += 4 43 y +− 182 y x y Tìm giá tr ị l ớn nh ất, nh ỏ nh ất c ủa b ỉể u th ức P = + − 1 2 3 Câu 6 ( 2 điểm) 1 Cho đa th ức f(x) có b ậc là 2010 th ỏa mãn: f() n = v ới n = 1, 2, 3, 2011. n Tính f(2012). Hết Họ và tên thí sinh: S ố báo danh: www.mathvn.com – book.mathvn.com
2. MATHVN.COM | www.mathvn.com SỞ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO KỲ THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI L ỚP 12 PHÚ TH Ọ THPT NĂM H ỌC 2010 – 2011 HƯỚNG D ẪN CH ẤM MÔN : TOÁN Câu 1 ( 3 điểm ). Gi ải ph ươ ng trình: (6 sin x – 2 sin 3x +1) 3 = 162 sin x - 27 (1) Lời gi ải chi ti ết Điểm (1) ⇔ [6 sin x – 2 (3 sin x – 4sin 3x) +1] 3 = 27(6 sin x – 1) (1) O,5 đ ⇔ (8 sin 3 x +1) 3 = 27(6 sin x – 1) O,5 đ ⇔8sin3 x += 1 33 6sin x − 1 Đặt: 2 sin x = t ( t ≤ 2) O,5 đ Ph ươ ng trình tr ở thành: t3 +1 = 333 t − 1 u3 +1 = 3 t O,5 đ Đặt: u=3 3 t − 1 . Ta có h ệ:  Gi ải ra ta được t = u t3 +1 = 3 u Với t = u: ta có ph ươ ng trình: t 3 – 3 t + 1 = 0 O,5 đ Khi đó, theo cách đặt, ta có: 8 sin 3 x - 6 sin x +1 = 0 ⇔ 2 sin 3x = 1  π2 π O,5 đ x= + k 1  ⇔ 2 sin 3x = 1 ⇔sin3 x = ⇔  18 3 2 5π 2 π x= + k  18 3 xx2( +=2) 3( yx 3 −+) 3   Câu 2 ( 3 điểm ). Gi ải hệ ph ươ ng trình: yy2()+=2 3() zy 3 −+ 3  2()+= 3 −+ zz2 3() xz 3 Lời gi ải chi ti ết Điểm Điều ki ện: x, y, z ∈ R x3+2 x 2 + 33 xy = 3 + 31( )   3 2 3 Hệ tr ở thành y+2 y + 33 yz = + 32() 0, 5 đ  3+ 2 += 3 + z2 z 33 z x 33() Đặt: f(t) = t 3 +2 t2 + 3 t, t ∈ R và g(t) = 3t3 + 3 , t ∈ R 0,5 đ www.mathvn.com – book.mathvn.com
3. MATHVN.COM | www.mathvn.com  fx( ) = gy( )  Hệ tr ở thành:  fy()()= gz   fz()()= gx Ta có: f ’(t) = 3 t 2 + 4 t + 3 > 0 ∀ t ∈ R và g ’(t) = 9 t 2 ≥0 ∀x ∈ R Nên f, g là 2 hàm s ố đồ ng bi ến trên R 0,5 đ Gi ả s ử (x; y; z) là nghi ệm c ủa h ệ , không gi ảm tính t ổng quát gi ả s ử x ≥ y Từ (1) và (2) ta có: g(y) ≥ g(z) suy ra y ≥ z nên t ừ (2) và (3) ta có: g(z) ≥ g(x) suy ra z ≥ x . Từ đó ta có: x = y = z Thay vào h ệ ph ươ ng trình ta được h ệ có 3 nghi ệm: 1,5 đ    −3 − 3 − 3 333 (1; 1; 1); ;;  ; ;;  2 2 2  222  Câu 3 ( 4 điểm) u = 3  1  1 2 Cho dã y s ố (u n) xá c định b ởi = ++ = un+ ( uu n n 4), n 1,2,3,  1 5 ( ) a) Ch ứng minh r ằng un là dãy t ăng nh ưng không b ị ch ặn trên n =1 = b) §Æt vn ∑ , n 1,2,3, TÝnh : lim v n + n→∞ k=1 uk 3 L ời gi ải chi ti ết Điểm a) 12 5 1 2 0, 5 đ + Ta có u+ −= u() uu4 ++− u =()u − 2 ≥∀= 0 ; n 1,2, n1n5 nn 5 n 5 n ( ) ≥ ∀ = + Vậy un là dã y t ăng. T ừ đó, u n u 1 = 3 n 1,2, ( ) + Mặt khá c n ếu dã y un bị ch ặn trên thì nó sẽ có gi ới hạ n. Giả sử =( ≥ ) lim un a a 3 n→+∞ 0,5 đ =1 2 + + =1 2 ++ ⇔= + limun1+ lim() u nn u 4 ⇒ a() aa4 a2 . n→+∞ n →+∞ 5 5 ≥ ( ) Điều nà y không th ể xả y ra vì a 3 . Vậy dãy un không bị ch ặn trên = +∞ 1 = 0,5 đ b) Theo a) Vậy lim u n ⇒ lim 0 n→+∞ un 1 2 1,0 đ + Ta có u+ =() uu4 + + ⇔5(u −=− 2) (u 2)(u + 3) k15 k k k1+ k k 1 5 1 1 1 ⇔= () do u ≥∀≥ 3 ; k 1 ⇔ = − −()() − + k + − − uk1+ 2 u2u3 k k uk 3u k 2u k1+ 2 n = 1 1− 1 0,5 đ + Do đó lim v n ∑ = . Vậy lim vn = 1 = + − − k 1 uk 3 u1 2u n+ 1 2 www.mathvn.com – book.mathvn.com
4. MATHVN.COM | www.mathvn.com Câu 4 ( 5 điểm) Hình chóp n- giác đều có góc t ạo b ởi gi ữa m ặt bên và m ặt đáy b ằng α , góc t ạo π bởi gi ữa c ạnh bên và m ặt đáy β . Ch ứng minh r ằng: sin2α− sin 2 β ≤ tan 2 2n S S A2 M α E β A 1 O Lời gi ải chi ti ết Điểm + Gọi hình chóp n-giác S.A 1A2 A n. + Xét hình chóp S.OA 1M, trong đó, O là tâm c ủa đa giác đáy, M là trung 1,0 đ điểm c ạnh A 1A2. Khi đó, SO ⊥ (OA 1M) ; OM ⊥ A 1A2 + Góc t ạo b ởi m ặt bên và m ặt đáy b ằng ∠SMO = α ∠ = α + Góc t ạo b ởi c ạnh bên và m ặt đáy b ằng SA1 O π ∠ =ϕ= Ta có: A1 OM n 1,0 đ Đặt OA 1 = a; OM = b; OS = h ∠ Gọi OE là phân giác trong c ủa góc A1 OM www.mathvn.com – book.mathvn.com
5. MATHVN.COM | www.mathvn.com 2 2 ϕ π 2α=h 2 β= h = = ME Khi đó: sin ;sin ;tan tan hb22+ ha 22 + 2 2n b ME A E MEME+ A E MA a2− b 2 Do : = 1 nên =1 = 1 = 1,0 đ b a b ab+ ab + ab + Ta c ần ch ứng minh: 2 2 22− 2,0 đ h− h ≤ ab 2222 2 h+ b h + a ()a+ b 2 2 2 h() a− b 2− 2 ⇔ ≤ a b 2 ()()h2+ b 2 h 2 + a 2 ()a+ b 2 ⇔+()()h222 a h +≥ b 2 hab 2 () + 2 ⇔()ab − h2 ≥ 0 ⇔=2 ⇔ 2 = Dấu b ằng x ảy ra ab h SO OA1 .OM Câu 5 ( 3 điểm) Xét x, y ∈ R th ỏa mãn điều ki ện: 3xx− 62 += 4 43 y +− 182 y x y Tìm giá tr ị l ớn nh ất, nh ỏ nh ất c ủa b ỉể u th ức P = + − 1 2 3 Điểm Lời gi ải chi ti ết Điều ki ện : x≥ -2; y ≥ -6 − += +− 3xx 62 4 43 y 182 y   0,5 đ ⇔+=xy x ++ y + 2 1 2  23 2 3   x = X 2 0,5 đ Đặt:  ()X≥−1; Y ≥− 2 y  = Y 3 Ta được: XY+=2( X ++ 1 Y + 2 ) Gọi T là t ập giá tr ị c ủa P 1 = X+ Y , ta có: a ∈ P 1 ⇔ a∈R sao cho h ệ ph ươ ng trình ẩn (X; Y) sau có nghi ệm: www.mathvn.com – book.mathvn.com
6. MATHVN.COM | www.mathvn.com + = X Y a  ++ + = (I) 2()X 1 Y 2 a Xu+=1  Xu =−2 1 ()u, v ≥ 0 ⇒  Đặt: 2  Y+2 = v Y= v − 2 0,5 đ u2+ v 2 = a + 3  Hệ tr ở thành:  a (II) u+ v =  2 Ta tìm a để h ệ ph ươ ng trình (II) có nghiêm (u; v) v ới u, v ≥ 0 ⇔ Ph ươ ng trình ẩn t: 8 t 2 – 4 a t + a 2 - 4 a - 12 = 0 có 2 nghi ệm không âm 0,5 đ a2 −8 a − 24 ≤ 0  ⇔a ≥ 0  a2 −4 a − 12 ≥ 0 ⇔6 ≤a ≤ 4 + 2 10 0,5 đ Do đó: Max P 1 = 4+ 2 10 ; Min P 1 = 6 Và vì: P = P 1 – 1 nên: 2+ 10 0,5 đ Max P = 3+ 2 10 khi: u = v = 2  x 2  =u − 1 x =5 + 2 10 2  ⇒ ⇔  ()+ ; y 33 2 10 =v2 − 2  y = 3  2 u0=   x = − 2    v3=  y21 = ⇔ ⇒  Min P = 5 u= 3   x = 16    v0=   y = − 6 Câu 6 ( 2 điểm) 1 Cho đa th ức f(x) có b ậc là 2010 th ỏa mãn: f() n = v ới n = 1, 2, 3, 2011. n Tính f(2012) Điểm Lời gi ải chi ti ết www.mathvn.com – book.mathvn.com
7. MATHVN.COM | www.mathvn.com 1 Xét ph ươ ng trình: f() x − = 0 x 1 1 Do f() n = v ới n = 1, 2, 3, 2011 nên ph ươ ng trình: f() x − = 0 có các 0,5 đ n x nghi ệm: 1, 2, , 2011 1 Nh ưng f() x − không là 1 đa th ức nên xét: g(x) = x. f(x) – 1 (1) x 0,5 đ Do deg f(x) = 2010 nên deg g(x) = 2011 và g(x) có nghi ệm: 1, 2, , 2011 Nên g(x) = a (x – 1).(x – 2) (x – 2011) (2) Từ (1) ta có: g(0) = - 1 Từ (2) ta có: - 1 = g(0) = a . (-1) 2011 . 2011 ! 1 1 Suy ra: a = Nh ư v ậy: g(x)=()()() x −− 1 x 2 x − 2011 2011! 2011! 0,5 đ 1 ⇒ 2012.f(2012)−= 1 g(2012) =()()() 2012 − 1 2012 − 2 2012 −= 201 1 1 0,5 đ 2011! 1 2012.f(2012)= 2 ⇔ f(2012) = 1006 ___H ẾT___ www.mathvn.com – book.mathvn.com