Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2011-2012

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2011-2012

1. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS QUẢNG NAM Năm học: 2011-2012 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/04/2012 Câu 1: (2,0 điểm) Thực hiện tính: 4 3 2 2. 2 1 3 (x 12) x 6x 8 x x 2 1.4 3 2 2 x 1 Câu 2: (4,0 điểm) a) Chứng minh: 2139 3921 45 b) Tìm a, b thuộc N* sao cho: 1 1 2 a 2b 7 Câu 3: (6,0 điểm) 1 a) Giải phương trình: x 2 y 1 z (x y z) 2 2 b) Tìm k để phương trình: x - (2 + k)x + 3k = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10. c) Cho biểu thức: A x 3 y y 3 x , với x 0, y 0; x y 2012 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại I. a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. b) Giả sử góc BAC=600. Tính diện tích tứ giác AEOF theo R. Câu 5: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC của tam giác ABC theo thứ tự ở P và Q. Chứng minh rằng: a) PQ2+AP.AQ=AP2+AQ2 AP AQ b) 1 BP CQ Hết
2. GỢI Ý GIẢI: Câu 1: (2đ) (ĐK: ) x 0; x 1 4 3 2 2. 2 1 3 (x 12) x 6x 8 4 (3 2 2)( 2 1) 2 3 x x 6x 12 x 8 x x x x 2 1.4 3 2 2 4 ( 2 1) 2 ( 2 1) 2 x 1 x 1 4 ( 2 1) 2 ( 2 1) 2 3 ( x 2)3 4 (2 1) 2 x 2 1 x 2 1 x( x 1) x 1 x 1 4 (2 1) 2 x 1 Câu 2: (4đ) a) Có: 2139 3921 739.337.9 1321.319.99 Do: (2139 1)(21 1)5 3921 ( 1)39 ( 1)5 Nên: 2139 3921 (2139 1) 3921 ( 1)5 Mà: UCLN(5;9)=1 và 9.5 = 45 Suy ra: 2139 3921 45 7 7 b) Giả sử: K=2b; (ĐK: a;b;k N*,a,k ;b (1) 2 4 1 1 2 Ta có: a k 7 1 1 2 2 Nếu: a k a 7(2) a k a k Từ (1) và (2) cho ta: a 4;5;6;7 • Với a = 4, tính ra: k = 28 b = 14 (nhận) • Với a = 5, 6, 7: không tìm được b thỏa mãn đề bài. (Chú ý: Khi k a; ta có k = 4; a = 28 b = 2 (nhận) a 4 a 28 Vậy: hoặc b 14 b 2 Câu 3: (6đ) a) ( 2đ) (ĐK: x 2; y 1; z 0 ) 1 x 2 y 1 z (x y z) (x 2 2 x 2 1) (y 1 2 y 1 1) (z 2 z 1) 0 2 ( x 2 1) 2 ( y 1 1) 2 ( z 1) 2 0 Suyra : x 3; y 2; z 1 b) ( 2đ) ĐK: 0 (2 k) 2 12k 0 k 2 3 4hoack 2 3 4 S 0 2 k 0 k 2 k 97 1 P 0 3k 0 k 0 2 2 2 2 x1 x2 10 (2 k) 2.3k 100 k 97 1hoac 97 1
3. b) ( 2đ) A x 3 y y 3 x , với x 0, y 0; x y 2012 . x 3 y y 3 x x 3 y 3 2012 3 x 3 y x 3 y 3 x y 3 2012 3 x( 3 y 3) y( 3 x 3) 2012 3 Do: x 0; y 0; A 2012 3 và: x + y = 2012 Suy ra: Amin=2012 3 x = 0; y = 2012 hoặc: x = 2012 ; y = 0 Câu 4: (5đ)