Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Nguyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Thái Nguyên (Có đáp án)

1. ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THÁI NGUYÊN năm học 2010-2011 Môn thi : TOÁN HỌC Lớp 12 Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 Giải phương trình: x 1 x22 2 x 3 x 1 . (4 đ ) Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (4 đ ) x4 y 4 x 2 y 2 x y A 4 4 2 2  xy 0 y x y x y x Bài 3 Tìm số các số hạng là số nguyên trong khai triển (3 7 3)125 (4 đ ) Bài 4 Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0; 2 ) của phương trình (4 đ ) 1 cosxx 1 cos 4sin x cos x Bài 5 Cho tứ diện ABCD có diện tích các tam giác ADB và ADC là Sb (4 đ ) và Sc. Mặt phẳng phân giác của nhị diện tạo bởi hai mặt (ADB) và (ADC) cắt BC tại M. là góc giữa hai mặt (ADB) và (ADC). Chứng minh: MB S a/ b MC Sc 2S .S .cos bc 2 b/ Diện tích Sm của tam giác ADM là: Sm . SSbc Hết
2. Họ và tên : SBD: Hướng dẫn chấm môn Toán lớp 12 Kì thi chọn HSG năm học 2010-2011 Bài 1 : Đặt x2 2 x 3 t , t 2 . Khi đó : 1 x 1 t x2 1 x2 2 x 3 x 1 t 2 x 1 0 t2 x 1 t 2 x 1 0 t 2 tx 1 Với t 2 xx2 2 3 2 xx2 2 3 4 x 12 xx2 2 1 0 . x 12 Với tx 1 x2 2 x 3 x 1 x 10 22( hệ vô nghiệm). x 2 x 3 x 2 x 1 xy Bài 2: : Đặt tt 2 yx 2 A t2 2 t 2 2 t 2 t 4 5 t 2 t 4 Xét hàm số f(t)=A f ’(t)= 4t3 – 10t + 1 f ''(t)= 12t2 - 10 0  t 2 Nên hàm số f ’(t) đồng biến t 2 f'' () t f (2)130 f () t đồng biến f( t ) f (2) 2  t 2 '' t 2 f ( t ) f ( 2) 3 0 f ( t ) nghịch biến f( t ) f ( 2) 2  t 2 Vậy f( t ) 2  t 2 . Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là Amin = -2 đạt được khi t = -2 hay (x + y)2 = 0  x = - y . 125 125 k k Bài 3: (3 7 3)125 k 32 73 . Do vậy, để số hạng trong khai triển là số C125 k 0 kN k, m N m N 0 k 125 0 km 125 0 41 125 k nguyên thì N 125 km 125 3 . Có 21 giá trị của m thoả 2 NN 22 k N k 3 m m 2 t 1, t N 3 mãn nên có 21 số hạng nhận giá trị nguyên.
3. xx Bài 4 : Điều kiện cosx ≠ 0. Biến đổi dẫn đến 2( cos sin ) 2sin 2 x . 22 4k x x x 63 6 -Với x (0; ) 0 => . Chọn được k, l = 0 => 22 34 l 3 x x 10 5 10 4k 7 x x 63 6 -Với x ( ;2 ) x => . Chọn được k,l = 1 => 2 4l 13 x x 25 10 Bài 5 a.Do M nằm trên mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh AD nên khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng (ADB) và (ADC) bằng nhau, kí hiệu là d. Do đó MB dt(DBM) V S .d S ADBM bb MC dt(DCM) VADCM S c .d S c 1 1 1 sin 2S .S .sin b. V S .BH S .BK.sin S .BK.AD. bc ABCD3 c 3 c 3 c AD 3AD VVVABCD ADBM ADCM 2S .S .sin 2S .S .sin 2S .S .sin b m c m => bc 22 3AD 3AD 3AD 2S .S .cos bc 2 Rút gọn được : Sm . SSbc