Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 12 - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An (Có đáp án)

1. SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 Đề thi chính thức (Đề thi gồm 01 trang) Môn thi: TOÁN - BT THPT Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (5,0 điểm). 1. Cho hàm số y x4 mx2 m , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị. 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 1 x2 trên đoạn 0; 1 . Câu II (5,0 điểm). 1. Giải bất phương trình 2x2 5x 3 x 1 x ¡ . x2 y2 4xy 3 2. Giải hệ phương trình x,y ¡ . x y xy 1 Câu III (5,0 điểm). n 15 1 5 1. Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niutơn của 2 x , x 0 . x 0 1 n 1 n * k Biết Cn Cn Cn Cn 1024 (với n ¥ , Cn là số các tổ hợp chập k của n ) 2. Giải phương trình : 2sin x 1 sin x 2cosx sin 2x cosx . Câu IV (5,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA , đáy là tam giác vuông tại B . Gọi B' là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng SB . Qua điểm B' kẻ đường thẳng song song với đường thẳng BC cắt SC tại C' . 1. Chứng minh rằng: SB vuông góc với mặt phẳng AB'C' . 2. Tính theo a thể tích khối chóp S.AB'C' , biết SA AB a và BC 2a . - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh:
2. SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - BT THPT (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Câu Nội dung Điểm I. TXĐ: D ¡ 1, Ta có y' 4x3 2mx 0,5 (2,5đ) y' 0 4x3 2mx 0 x 2x2 m 0 0,5 x 0 2 0,5 2x m 0 1 Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 0 0,5 m 0 m 0. Vậy giá trị cần tìm là: m 0 0,5 m 0 I. Hàm số f x x 1 x2 liên tục trên đoạn 0; 1 2, 0,5 x2 1 2x2 (2,5đ) Ta có f ' x 1 x2 1 x2 1 x2 2 1 2x 2 f ' x 0 0 1 2x 0 0,5 1 x2 2 x 0; 1 2 0,5 2 x  0; 1 2 2 1 Ta có f 0 0, f 1 0, f 0,5 2 2 2 1 Vậy Minf x f 0 f 1 0 , Maxf x f 0,5 0;1 0;1 2 2 II. x 1 0 1, 2 1 2x 5x 3 0 (2,5đ) Bất phương trình đã cho tương đương với 0,5 x 1 0 2 2 2 2x 5x 3 x 1 1
3. x 1 x 1 Hệ BPT 1 x 1 0,5 3 x 2 x 1 Hệ BPT 2 2 0,5 x 3x 2 0 x 1 0,5 x 1 x 2 x 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S ;1  2; 0,5 2 II. x y 6xy 3 2, Hệ phương trình đã cho tương đương với 0,5 (2,5đ) x y xy 1 2 x y 6xy 3 0 0,5 xy x y 1 2 x y 6 x y 9 0 x y 3 0,5 xy x y 1 xy 2 x 1 y 2 0,5 x 2 y 1 Vậy nghiệm x; y của hệ phương trình đã cho là: 1; 2 , 2; 1 0,5 III. Ta có 1 1 n C0 C1 Cn 1 Cn 1, n n n n 0,5 C0 C1 Cn 1 Cn 2n (2,5đ) n n n n Từ giả thiết ta suy ra 2n 1024 2n 210 n 10 0,5 10 1 5 Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của 2 x 0,5 x k 2 10 k 5k k 7k 20 là C10 .x .x C10 .x Suy ra x15 ứng với 7k 20 15 k 5 0,5 15 5 0,5 Vậy hệ số của x là C10 252 III. PT 2sin x 1 sinx+2cosx 2sin xcos x cosx 0,5 2, 2sin x 1 sinx+2cosx cosx 2sin x 1 0 0,5 (2,5đ) 2sin x 1 0 (1) 2sin x 1 sinx+cosx 0 0,5 sinx+cosx =0 (2) 2
4. x k2 1 6 PT 1 sinx = k ¢ 2 5 0,5 x k2 6 PT 2 2 sin x + 0 x + k x = k k ¢ 4 4 4 Vậy nghiệm của phương trình là 0,5 5 x k2 , x k2 , x k k ¢ 6 6 4 IV. Ta có SA  ABC SA  BC (1) S 1, Mặt khác BC  AB (2) (2,5đ) C’ B’ C 0,5 A B Từ 1 và 2 suy ra BC  SAB 0,5 Do đó BC  SB B'C'  SB 3 (vì B'C'// BC ) 0,5 Theo giả thiết ta có SB  AB' (4) 0,5 Từ 3 và 4 suy ra SB  AB'C' 0,5 IV. Ta thấy tam giác SAB cân tại A suy ra B' là trung điểm của SB , do đó 2, 1 0,5 SB' SB (2,5đ) 2 a 2 SB SA2 AB2 a 2 SB' 2 0,5 a 2 Vì SAB vuông tại A nên ta có AB' SB' 2 Do BC  SAB B'C'  SAB B'C'  AB' 0,5 1 Ta có B'C' là đường trung bình của tam giác SBC suy ra B'C' BC a 2 0,5 1 a3 Thể tích của khối chóp S.AB'C' là V SB'.AB'.B'C' . 6 12 0,5 Hết Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng. - Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm. 3