Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Bảng A - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Bảng A - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An

1. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS NĂM HỌC 2017 – 2018 Đề chính thức Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1 (3 điểm). a. Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng chữ số hàng đơn vị là số nguyên tố và căn bậc hai của số cần tìm có tổng các chữ số là một số chính phương. 2n+1 b. Chứng minh rằng số A 22 +31 là hợp số với mọi số tự nhiên n. Câu 2 (7 điểm). x2 2y 3x 6 a. Giải hệ phương trình: 2 y 2x 3y 6. 8x2 18x 11 b. Giải phương trình: x 1 2x 3  2 2x 3 Câu 3 (2 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xyz 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P  (3x 1)(y z) x (3y 1)(x z) y (3z 1)(x y) z Câu 4 (6 điểm). Cho AB là một đường kính cố định của đường tròn (O). Qua điểm A vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Từ một điểm E bất kì trên đường thẳng d vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) (C là tiếp điểm, C khác A). Vẽ đường tròn (K) đi qua C và tiếp xúc với đường thẳng d tại E, vẽ đường kính EF của đường tròn (K). Gọi M là trung điểm của OE. Chứng minh rằng: a. Điểm M thuộc đường tròn (K). b. Đường thẳng đi qua F và vuông góc với BE luôn đi qua một điểm cố định khi E thay đổi trên đường thẳng d. Câu 5 (2 điểm). Ở miền trong đa giác lồi 2018 cạnh có diện tích bằng 1 lấy 2017 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 4035 điểm trên (bao gồm 2018 đỉnh của đa giác và 2017 điểm trong đa 1 giác đó) có diện tích không vượt quá  6050 Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh