Đề thi chọn học sinh giỏi trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Trung Phú (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Trung Phú (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN HƯƠNG SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRƯỜNG THCS TRUNG PHÚ NĂM HỌC 2019 -2020 MÔN: TOÁN- lớp 9 Thời gian làm bài : 120 phút I. Ghi kết quả vào tờ giấy thi: Câu 1: Rút gọn biểu thức B = 5 3 29 6 20 Câu 2: Tìm số tự nhiên gồm bốn chữ số abcd biết rằng nó là một số chính phương; chia hết cho 9 và d là một số nguyên tố . Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = x 2 x Câu 4: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc 4 . Tính giá trị của biểu thức: A a(4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) abc Câu 5: cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BM vuông góc với AC, gọi N là trung điểm của AM, P là trung điểm của CD. Tính số đo góc BND Câu 6: Phân tích đa thức thành nhân tử . : f(x) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x Câu 7: Cho a,b,c là các số dương và a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= a 3 b3 c 3 Câu 8: Một tam giác vuông có cạnh góc vuông lớn dài gấp 5 lần cạnh góc vuông nhỏ, biết diện tích 250 cm2. tính cạnh huyền . 1 1 1 Câu 9: Cho abc = 1.Tính S = 1 a ab 1 b bc 1 c ac Câu 10: với n là số nguyên dương . Hãy tìm ƯCLN(14n+3; 21n+4) II. Tự luận x y xy câu 1: Cho P x y 1 y x y x 1 x 1 1 y 1. Tìm điều kiện của x,y để biểu thức P xác định và rút gọn P 2. Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình: P = 2 câu 2: Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N. 1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh. 2/ Chứng minh: AK2 = KC . KE. 3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi . 1 1 4/ Tia AM cắt đường thẳng CD ở G. CMR không phụ thuộc vào vị trí AM 2 AG 2 điểm M. Câu 3 : Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1. 1 1 1 Chứng minh rằng 1 x y 1 y z 1 z x 1
2. UBND HUYỆN HƯƠNG SƠN ĐÁP AN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRƯỜNG THCS TRUNG PHÚ NĂM HỌC 2019 -2020 MÔN : TOÁN- lớp 9 Phần I mỗi câu (1đ) . Phần tự luận (10đ) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp 1 225: Max N 8 900 f(x) min A= 10 26 1 1 = 9/4 = x ( 1 1 án 2025; a b c x = x + 1 9 3 5625 7/4 )( x + 2 )( x + 3 ) Bài Nội dung Điểm Bài a) 1 1. Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, y 0 ,y ≠ 1, x+y≠0 0,5đ (4 đ) x x 1 y 1 y xy x y P 0,5đ. x y 1 y x 1 x y x y x xy y xy 1,0đ. = x y 1 y x 1 = = x xy y 0,5đ. 2. P=2 x xy y =2 x 1 y y 1 1 1 y x 1 1 0,5đ. Ta có 1 1 y 1 x 1 .Kếtx hợp2 vớix 4 điều kiện x ≥ 0. Vậy 0 x 4 0,5đ x {0,1,2,3,4}. Thay vào phương trình P=2 ta có: 0,5đ (x,y) {(4,0); (2,2)}
3. Câu 2: A B N M I K D E C G 1: (1đ) + Từ MN // AB // CD và MI = IK ¸áp dụng định lí Ta lét NI = IE + Chỉ ra tam giác AMK vuông cân tại A để có AE  KM (0,25đ) + Tứ giác MNKE là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau nên MNKE là hình thoi (0,25đ) 2: (1 đ) (0,25đ) + Từ tính chất hình vuông có ACK = 45 0. + Chứng minh hai tam giác AKE và CKA đồng dạng, suy ra (0,25đ) ĐPCM. (0,25đ ) (0,25đ) (0,5đ) 3:(1đ)+Từ hai tam giác ABM và ADK bằng nhau có MB = DK nên EK = MB + ED. (0,25đ) + Tam giác AMK vuông cân tại A cóMI = IK nên AI là trung trực của MK do đó (0,25đ) ME = EK. + Từ đó ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a. (0,25đ) + KL: (0,25đ) 4: (1đ) + Tam giác AMK Vuông cân tại A nên AM = AK; do đó 1 1 1 1 = . (0,25đ) AM 2 AG 2 AK 2 AG 2 + Tam giác AKG vuông tại A nên AK . AG = KG . AD = 2. dt AKG, do đó AK2 . AG2 = KG2 . AD2. (0,25đ) +Mặt khác ta có KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nên ta có AK 2 AG 2 1 1 1 AK2 . AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay , suy ra = AK 2 .AG 2 a 2 AK 2 AG 2 (0,25đ) 1 a 2 + KL: 0,25đ) Đáp án Điểm Câu 3: (2đ)
4. Đặt x=a3 y=b3 z=c3 ,a,b,c >0 thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có 0,25 a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)ab, do a+b>0 và a2+b2-ab ab 0,5 a3 + b3+1 (a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0 1 1 a3 b3 1 ab a b c 0,25 Tương tự ta có 1 1 1 1 , b3 c3 1 bc a b c c3 a3 1 ca a b c 0,5 Cộng theo vế ta có 1 1 1 1 1 1 = + + x y 1 y z 1 z x 1 a3 b3 1 b3 c3 1 c3 a3 1 0,5 1 1 1 1 1 = c a b 1 a b c ab bc ca a b c Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1