Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp huyện năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp huyện năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (6,0 điểm) 13 2 8 19 23 1) Thực hiện phép tính: A = 1 . 0,5 .3 1 :1 1 15 15 60 24 x z 2) Tìm x; y; z biết : y và x – 2y + z = 40. 2 5 9 1 2 41 3) Tìm x biết: x 2 10 5 10 Câu 2. (4,0 điểm) 1) Số 20222023 có là số chính phương không ? Vì sao? 1 2) Chứng minh rằng ba đơn thức x4y5; x5y4 ; 3xy không thể cùng có giá trị âm. 3 Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy +2 y = 0. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của M x 5 x 6 x 2020 Câu 4. (5,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng: a) B· AM = A· CM và BH = AI. b) Tam giác MHI vuông cân. 2) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AC, trên đoạn BD lấy điểm E sao cho D· AE A· BD. Chứng minh E· BC E· CA Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 1 x 1, 1 y 1, 1 z 1. Chứng minh rằng đa thức x2020 y2022 z 2024 có giá trị không lớn hơn 2. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
2. THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG Bản hướng dẫn có 04 trang Câu Phương pháp-Kết quả Điểm Câu 1 (6 điểm) 1 7 47 47 + Biến đổi: A : -1 (2 điểm) 5 60 24 1 7 2 0,75 = -1 5 5 = 0 KL: Vậy A=0 0,25 x z Đặt : y k => x=2k, y=k, z=5k 2 2 5 0,5 (2 điểm) Ta có : x – 2y + z = 40. => 2k-2k+5k=40 0,5 => 5k=40 =>k=8 +Với k=8 thì x=2.8=16 ; y=8 ; z=5.8=40 0,75 KL : 0,25 3 9 1 2 41 (2 điểm) x 2 10 5 10 0,75 1 2 x 2 5 5 x 2 2 25 x 2 5 hoặc x 2 5 1 x 7 hoặc x=3 Vậy x 7;3 0,25 Câu 2 (4 điểm) 2023 2022 1011 2 1 2022 = 2022 .2022 =(2022 ) .2022 0, 5 ( 2 điểm) Vì (20221011)2 là số chính phương nên để 20222023 là số chính phương thì 0, 5 2022 là số chính phương Ta thấy 2022 chi hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên 2022 không phải là số chính phương. 0,5 2023 Vậy 2022 không phải là số chính phương 0,5 Giả sử cả 3 đơn thức cùng có giá trị âm 2 Þ tích của 3 đơn thức có giá trị âm (1) 0,5 (2 điểm)
3. 1 4 5 5 4 1 4 5 5 4 10 10 Mặt khác: x y x y 3xy . 1 .3. x .x .x y .y .y x y 0,5 3 3 1 4 5 5 4 Vì x10y10 0  x; y nên x y x y . 3xy 0,  x; y (2) 0,5 3 Ta thấy (1) mâu thuẫn với (2) Þ điều giả sử sai. 1 Vậy ba đơn thức x4y5; x5y4 ; 3xy không thể cùng có giá trị âm. 0,5 3 Câu 3 (4điểm) 1 Ta có: (2điểm) x - 2xy + 2y = 0. x(1 – 2y) + 2y = 0 0,5 (2 y-1) + x(1 – 2y) = -1 (x-1)(1 – 2y) = -1 Ta có: -1 = 1.(-1 ) 0,25 Ta có bảng: x-1 1 -1 1 – 2y -1 1 0,75 x 2 0 y 1 0 Abccjh 0,5 Vậy (x;y) {(2;1);(0;0)} Ta có . a a ; a 0,a . Dấu bằng xảy ra khi a=0; 2 0,25 (2điểm) a a,a . Dấu bằng xảy ra khi a 0 Do đó M= x 5 6 x x 2020 0,25 Vì 6 x 6 x,x ; x 5 0,x; x 2020 x 2020,x 1 Nên M 6 x 0 x 2020,x M 2026,x 6 x 0 6 x Dấu bằng xảy ra x 5 0 x 5 x 5 0,25 x 2020 0 x 2020 Vậy GTNN của M=2026 tại x=5 0,25
4. Câu 4 ( 5 điểm) A I D C B M H 1.a * Chứng minh: B· AM ·ACM (1.5 điểm) + Chứng minh được: ABM = ACM (c-c-c) 0,25 + Lập luận được: B· AM C· AM 450 0,25 + Tính ra được ·ACM 450 => B· AM ·ACM 0,25 * Chứng minh: BH = AI. + Chỉ ra: B· AH ·ACI (cùng phụ D· AC ) 0,25 + Chứng minh được AIC = BHA (Cạnh huyền – góc nhọn) 0, 5 => BH = AI (2 cạnh tương ứng) b) Tam giác MHI vuông cân. + Chứng minh được AM  BC 0,25 1.b + Chứng minh được AM = MC 0,25 (1.5 điểm) + Chứng minh được H· AM I·CM 0,25 + Chứng minh được HAM = ICM (c-g-c) 0,25 => HM = MI (*) + Do HAM = ICM => H· MA I·MC => H· MB I·MA (do 0,25 ·AMB ·AMC 900 ) + Lập luận được: H· MI 900 ( ) 0,25 Từ (*) và ( ) => MHI vuông cân 2 A ( 2,0 điểm) F D G E H B C Kẻ AF và CG cùng vuông góc với BD, CH  AE Ta có: ABF = CAH (ch-gn) Þ AF = CH 0,5 Ta có: ADF = CDG (ch-gn) Þ AF = CGÞ CH=CG
5. Chứng minh CEH= CEG Þ C· EH C· EG Mà C· EH E· CA E· AC; C· EG E· BC E· CB (góc ngoài tam giác) Þ E· CA E· AC E· BC E· CB 0,5 Hay E· CA E· BA E· BC E· CB (vìD· AE A· BD nên E· AC E· BA (1) ABC cân tại A A· CB A· BC E· CA E· CB E· BC E· BA (2) 0,5 Cộng vế với vế của đẳng thức (1) và (2) Þ E· CA E· BC (đpcm) 0,5 Câu 5 (1,0 đ) (1,0 điểm) Trong ba số x, y, z có ít nhất hai số cùng dấu. Giả sử 2 số cùng dấu đó là x và y. Ta xét 2 trường hợp sau: -TH1: x 0; y 0 => z = - x - y 0 +) Vì 1 x 1, 1 y 1, 1 z 1 0,5 = > x2020 y2022 z 2024 x y z => x2020 y2022 z 2024 x y z => x2020 y2022 z 2024 2z +) 1 z 1 và z 0 => x2020 y2022 z 2024 2 -TH2: x 0; y 0 => z = - x - y 0 +) Vì 1 x 1, 1 y 1, 1 z 1 = > x2020 y2022 z 2024 x y z 0,5 => x2020 y2022 z 2024 x y z => x2020 y2022 z 2024 2z +) 1 z 1 và z 0 => x2020 y2022 z 2024 2 KL: Vậy x2020 y2022 z 2024 có giá trị không lớn hơn 2 Điểm toàn bài (20điểm) Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với Câu 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.