Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Phổ thông) - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 (Phổ thông) - Năm học 2012-2013 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO ĐỀ THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI V ĂN HOÁ C ẤP T ỈNH BẮC GIANG NĂM H ỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 PH Ổ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH TH ỨC Ngày thi: 31/03/2013 Đề thi có 01 trang Th ời gian làm bài 180 phút, không k ể th ời gian giao đề Câu 1. (4 điểm) 2x Cho điểm I(-1; 2) và hàm s ố y = . (1) x +1 1) L ập ph ươ ng trình ti ếp tuy ến c ủa đồ th ị hàm s ố (1), bi ết ti ếp tuy ến đó c ắt Ox , Oy l ần l ượt tại A và B ( A, B khác O) sao cho OB = 2OA . 2) Tìm các điểm M, N trên hai nhánh c ủa đồ th ị hàm s ố (1) sao cho độ dài MN nh ỏ nh ất. Câu 2. (4 điểm) 1) Gi ải ph ươ ng trình π 2sin(4x−+ ) sin2 xx + cos2 − 2sin3 xxx ++ sin cos −= 1 0, ( x ∈ ℝ ). 4 2) Gi ải phươ ng trình x + 2+ 1 + 2x3 −+ 2 < 4 x + 9.2 x 1 − 3, ( x ∈ ℝ ). 2 Câu 3. (2 điểm) Tính tích phân π 2 cos 2 xdx ∫ π . π sin3 x sin( x + ) 4 4 Câu 4. (2 điểm Tìm các giá tr ị th ực c ủa tham s ố m để h ệ ph ươ ng trình 2x2 y+ 9 x = my 2  xy2+2 y = x 2 có đúng ba nghi ệm th ực phân bi ệt. Câu 5. (6 điểm) 1) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AD = 2 a, SA= aSB, = a 3 .Mặt ph ẳng (SAB ) vuông góc v ới m ặt ph ẳng ( ABCD ). a. Tính th ể tích kh ối chóp S.ABCD và kho ảng cách gi ữa hai đường th ẳng SA, BD . b. Tính bán kính m ặt c ầu ngo ại ti ếp hình chóp S.ABCD . 2) Trong không gian v ới h ệ to ạ độ Oxyz , cho điểm A(1;0;0) và m ặt ph ẳng (P) có ph ươ ng trình: x + y – z - 1 = 0. L ập ph ươ ng trình đường th ẳng d đi qua A, d n ằm trong (P) sao cho góc gi ữa d và Oz có s ố đo nh ỏ nh ất. Câu 6. (2 điểm) Cho a, b, c là các s ố th ực d ươ ng th ỏa mãn a+ b + c = 1. Ch ứng minh r ằng a− bc b − ca c − ab 3 + + ≤ . a+ bc b + ca c + ab 2 Hết Cán b ộ coi thi không gi ải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh S ố báo danh: Giám th ị 1 ( Họ tên và ký ) Giám th ị 2 ( Họ tên và ký )
2. SỞ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO HƯỚNG D ẪN CH ẤM BẮC GIANG BÀI THI CH ỌN H ỌC SINH GI ỎI V ĂN HOÁ C ẤP T ỈNH NGÀY THI /3/2013 ĐỀ CHÍNH TH ỨC MÔN THI:TOÁN L ỚP 12 PH Ổ THÔNG Bản h ướng d ẫn ch ấm có 04 trang Câu Ph ươ ng pháp – K ết qu ả Điểm Câu 2x 2 1. y= ⇒ y ' = >0 I x +1 ()x +1 2 0,5 Ti ếp tuy ến c ủa ĐT hàm s ố c ắt các tr ục Ox ,Oy t ại A, B tho ả mãn OB = 2 OA suy ra hệ s ố góc c ủa ti ếp tuy ến là k = ± 2. Do y’ >0 nên k = 2 0,5 2 = Xét ph ươ ng trình 2 2 suy ra x = -2 ho ặc x = 0 0,5 ()x +1 Với x = 0 thì ph ươ ng trình ti ếp tuy ến là d 1: y = 2 x (không tho ả mãn). ớ ươ ế ế ả V i x = -2 thì ph ng trình ti p tuy n là d 2: y = 2 x +8 (tho mãn) 0,5 ấ ổ ả ử 2. Không m t tính t ng quát, ta gi s xM > -1, xN 0. a b 0,5 1 1  2 MN2=+( a b ) 2 + 4  +  a b  2 24  2 64 0,5 ≥++()4ab  =++ () ab a+ b  ()a+ b 2 64 ≥2(a + b )2 = 16 0,5 ()a+ b 2 a= b > 0  Đẳng th ức x ảy ra khi và ch ỉ khi  64 ⇔a = b = 2. (a+ b ) 2 =  + 2  (a b ) 0,5 Từ đó tìm được M( 2 -1; 2- 2 ) và N(- 2 -1; 2 + 2 ). II 1. Ph ươ ng trình đã cho t ươ ng đươ ng v ới sin 4 x - cos 4 x +sin2 x + cos 2 x – 2sin 3 x + sin x + cos x – 1 = 0 ⇔ (sin 4 x + sin2 x) - (cos 4 x – cos 2 x) – 2sin 3 x + sin x + cos x – 1 = 0 ⇔ 2sin3 xcos x + 2sin 3 x sin x – 2sin 3 x + sin x + cos x - 1 = 0 ⇔ 2sin3 x(cos x + sin x – 1) + sin x + cos x - 1 = 0 ⇔ (2sin3 x + 1)(cos x + sin x – 1) = 0 1  πk2 π x = − +  18 3   1 7πk 2 π sin 3 x=− x =+ ⇔  ⇔   2 183 + =  = π sinx cos x 1 x k 2  π x= + k 2π 1  2 KL x 2. Đặt t = 2 ta có b ất ph ươ ng trình 0,5
3. t +1 1 82t−+ ⇔ 82 t −≠ 0,5 2 2 t ≠7 + 44 ⇔  0,5  t ≠7 − 44 1 0,5 Suy ra t ∈[ ;7 − 44) ∪− (7 44;7 + 44) ∪+ (7 44; +∞ ) 4 Từ đó tìm được ∈− −∪) ( − +∪) ( ++∞ ) x  2;log(72 44) log(7 22 44);log(7 44) log(7 2 44); Câu π 2 2 III = cot xdx 0,5 Ta có I 2 ∫ 2 π sinx (1+ cot x ) 4 dx Đặt t = 1 + cot x ⇒ dt = − sin 2 x Đổi c ận: π x= ⇒ t = 2 4 π x= ⇒ t =1 0,5 2 Khi đó 2 2 1 t 2  0,5 I=2(2∫ t −+ ) dt = 2 −+ 2ln|| tt  t 2  1 1 1  0,5 =2 ln 2 −  . 2  Câu Nh ận xét (0; 0) luôn là m ột nghi ệm c ủa h ệ v ới m ọi m. 0,5 IV Nếu x = 0 ⇒ y = 0 và ng ược l ại.  2 2x+ 9 x =  2 m  y y Xét xy ≠ 0. HPT t ươ ng đươ ng v ới  (*)  y2 2 y + = 1  x x 2 2 2 x y 32 3 2 Đặt u=, v = ⇒ x= uvy , = uv . y x 9  9 u 2u+= mu 2 + = m (1) v  u − 2 0,5 Khi đó h ệ ph ươ ng trình (*) thành ⇔  ( ) 2u − 2 v+ =1  v = (2) u  u Dễ th ấy yêu c ầu bài toán t ươ ng đươ ng v ới (1) có đúng 2 nghi ệm u ≠ 0 và u ≠ 2. 0,5 9u Đặt f( u )= 2 u + , u ∈ ℝ \{ 0;2 } − u 2 0,5 Lập b ảng bi ến thiên c ủa f(u) suy ra m ∈ (−∞ ;0) ∪ (0;1) ∪ (25; +∞ ). Câu 1)
4. V a) K ẻ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) a 3 Theo gi ả thiêt ∆ SAB vuông tai S. T ừ đó tính được SH = 0,5 2 1 2a3 3 Suy ra V= SHS. = 0,5 S. ABCD3 ABCD 3 +) D ựng hình bình hành ADBE ⇒ BD // ( SAE ) 0,5 ⇒ d( SA ;BD ) = d( B; ( SAE )) ẻ ⊥ ⊥ K HK AE , HI SK ứ đượ Ch ng minh c HI = d( H; ( SAE )) a 2 ∆ AHK vuông cân t ại K ⇒ HK = 4 a 21 Ta có ∆ SHK vuông t ại H t ừ đó tính được HI = 14 dBSAE(;()) BA 221 a 0,5 Ch ứng minh được = = 4⇒ d (;( B SAE ))= . dH( ;( SAE )) HA 7 ∩ 2) G ọi O = AC BD suy ra OA = OB = OC = OD 0,5 ⊥ Gọi M là trung điểm AB suy ra OM ( SAB ) Suy ra hình chi ếu c ủa OA , OS lên ( SAB ) l ần l ượt là MA , MS ⇒ 0,5 Do MA = MS OA = OS 0,5 Vậy O là tâm m ặt c ầu ngo ại ti ếp hình chóp S.ABCD AC Vậy R = = a 2 . 0,5 2 2) G ọi u=(;;) abc ≠ 0 là vect ơ ch ỉ ph ươ ng c ủa d. 0,5 u⊥ n =(1;1; − 1) dP⊂⇔( ) p ⇔+−= abc 0 A∈( P ) = + Khi đó u(;; aba b ) Gọi α là góc gi ữa d và Oz 0,5 +2 + 2 + α=|ab | ⇔=2 α abab 2 = Ta có cos c os 2 2 m 2a2+ 2 b 2 + 2 ab 2a+ 2 b + 2 ab Do 0 0 ≤ α ≤ 90 0 nên góc α nh ỏ nh ất khi và ch ỉ khi cos 2α l ớn nh ất ⇔ m l ớn nh ất 1 Xét b = 0, ta có m = (1) 2 ≠ Xét b 0, chon b = 1. Khi đó a2 +2 a + 1 m= ⇔−+−+−=(2 mamam 1)2 2( 1) 2 10 (*) 2a2 + 2 a + 2 1 Nếu m = thì có m ột giá tr ị c ủa a . 2 1 0,5 Nếu m ≠ , (*) có nghi ệm khi và ch ỉ khi ∆ ’ ≥ 0 2 2 ⇔ -3m2 + 2 m ≥ 0 ⇔ 0 ≤m ≤ (2) 3 2 Từ (1) và (2) suy ra Max { m} = khi đó a = 1, b = 1. 0,5 3 x−1 y z Từ đó tìm được (d): = = 1 1 2 Câu Bất đẳng th ức đã cho t ươ ng đươ ng v ới
5. V 2a 2 b 2 c 3 + + −≤3 (*) a+ bc b + ca c + ab 2 Ta có a+= bc aa( +++=+ b c ) bc ( a ba )( + c ) 0,5 đ Do ó 2a 2 b 29 c (*) ⇔ + + ≤ (abac++ )( )( bcba ++ )( )( cacb ++ )( )2 ⇔4[(abc +++++≤+ ) bca ( ) cab ( )]9( abbcca )( + )( + ) ⇔ −+−+−≤− − − 0,5 4[aabbcc (1 ) (1 ) (1 )] 9(1 abc )(1 )(1 ) ⇔≤44(a ++ b c )2 + ab ++− bc ca 9 abc 0,5 a+ b + c 1 Do 3 abc ≤ = nên 3 3 32221 3 2223 3 222 abbc++≥ ca3 abc = 9. abc ≥ 9 abcabc = 9 abc 3 0,5 Từ đó suy ra b ất đẳng th ức được ch ứng minh. Dấu “=” x ảy ra khi a= b = c . Lưu ý khi ch ấm bài: Trên đây ch ỉ là s ơ l ược đáp án, bài làm c ủa h ọc sinh ph ải được trình bày t ỉ m ỉ. M ọi cách gi ải khác, n ếu đúng, v ẫn cho điểm t ươ ng đươ ng nh ư trên.