Đề thi chọn học sinh giỏi vòng I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng giáo dục và đào tạo Thanh Chương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi vòng I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng giáo dục và đào tạo Thanh Chương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 VÒNG I NĂM HỌC 2013-2014. ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 2.0 điểm) 5 3 3 5 a) Rút gọn biểu thức: A = 2 3 5 2 3 5 b) Chứng minh B = a5 - 5a3 + 4a chia hết cho 120. c) Tìm số nguyên m để C = m2 m 1 là số nguyên. Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình sau: 3 a) x 1 x x 1 4 b) x2 5x 8 2 x 2 c) (4x 1) x2 1 2x2 2x 2 Bài 3: ( 2.5 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức M = 2x 5 x2 b) Cho x; y là các số thực thỏa mãn x 1 y2 y 1 x2 1. Tính N = x2 + y2 Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. AD a) Chứng minh: tanB.tanC = HD BC 2 b) Chứng minh: DH.DA 4 c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. A a Chứng minh rằng: sin 2 2 bc Bài 5: (0.5 điểm) Chứng minh rằng trong 2 n+1 - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn. Hết ./. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC 2013-2014 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) TT Ý Nội dung Điểm a 5 3 3 5 2( 5 3) 2(3 5) 0.25 A = = 2 3 5 2 3 5 2 6 2 5 2 6 2 5 2( 5 3) 2(3 5) 2( 5 3) 2(3 5) A = 0,5 2 ( 5 1)2 2 ( 5 1)2 5 3 3 5 2 2 0.25 Bài 1 A = 5 3 4 2 4 2 2 (2.5 b B = a - 5a + 4a = a(a - 5a +4) = a(a - a - 4a +4) 0.25 điểm) B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4) 0.5 B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 120 0.25 c Để C = m2 m 1 là số nguyên thì m2 m 1 k 2 (k Z) 4m2 4m 4 4k 2 (2m 1)2 3 4k 2 0,25 (2k)2 (2m 1)2 3 (2k 2m 1)(2k 2m 1) 3 Học sinh tìm 0,25 được m = 0; m = -1 a 3 3 3 3 1 ĐK x , x 1 x x 1 x x x 1 4 4 4 4 4 0.25 2 3 1 3 1 3 1 0.25 x x 1 x x 1 x x 4 2 4 2 4 2 3 1 1 Với x Pt vô nghiệm; với x bình phương hai vế HS 4 2 2 0.25 tìm được x = 2 Bài 2 2 b Đk: x 2 , x2 5x 8 2 x 2 x2 6x 9 x 2 2 x 2 1 0.25 (x 3)2 ( x 2 1)2 0 x 3 0.5 c Đặt x2 1 y 1 phương trình trở thành (4x 1)y 2y2 2x 4xy - y = 2y2 - 2x 2y2 - 2x - 4xy + y = 0 0.25 y(2y +1) - 2x(2y + 1) = 0 ( 2y + 1)(y - 2x) = 0 y = 2x (vì y 1 0.25 = -1/2 loại). x2 1 2x x 3 a Đk: 5 x 5 . *)Ta có M2 = (2x 5 x2 )2 (22 12 )(x2 5 x2 ) 25 2 0.5 Bài 3 M 25 5 M 5 x Nếu M = 5 thì M2 = 25 dấu bằng BĐT xảy ra 5 x2 và 2 0.5
3. x2 5 x = 2. Vậy max M = 5 khi x = 2. 0,25 *) Theo trên thì 5 M 5nhưng giá trị nhỏ nhất của M không bằng - 5 vì 5 x 5 M 2 5 vậy min M = 2 5 khi x 0.5 = 5 b ĐK: 1 x; y 1 .theo bài ra ta có x 1 y2 y 1 x2 x 1 y2 y 1 x2 0,25 x2 1 y2 y2 1 x2 = x 1 y2 y 1 x2 1 0,25 2 2 Dấu bằng xảy ra khi: x 1 y2 và y 1 x2 hay x2 = 1- y2 0,25 hay x2 + y2 = 1 vậy N = 1 A 0.25 E G H B C K D Bài 4 a AD AD AD2 0.5 Ta có tanB = ; tanC = tanB.tanC = (1) BD DC BD.DC Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có D· AC D·BH vì cùng phụ 0.25 với góc C nên ta có : AD BD AD2 AD ADC : BDH AD.DH DB.DC (2) DC DH BD.DC HD 0.25 AD Từ (1) và (2) tanB.tanC = . HD 0,25 b (DB DC)2 BC 2 1.0 Theo câu a. ta có: DH.DA DB.DC 4 4
4. c A M B C F N x Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc với Ax A BM A Ta có sin M· AB sin suy ra BM c.sin 2 AB 2 0.25 A A Tương tự CN b.sin do đó BM CN (b c).sin 2 2 Mặt khác ta luôn có: BM CN BF FC BC a A A a a Nên (b c).sin a sin 2 2 b c 2 b.c 0.25 Vì có tất cả 2n+1 - 1 = 2(2n - 1) + 1 số nên có ít nhất (2n -1) + 1 = Bài 5 2n số cùng chẵn hoặc cùng lẻ, suy ra 2n cùng chẵn hoặc cùng lẻ. 0.5 Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm bài hình.