Đề thi chọn học sinh giỏi vòng trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Long Kiên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi vòng trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Long Kiên (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS LONG KIẾN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG Năm học 2013 - 2014 MÔN TOÁN THỜI GIAN: 150 phút Bài 1. (3,0 điểm) Rút gọn biểu thức: √ √ √ √ A = √ √ √ √ √ √ √ B = √ √ √ √ √ √ Bài 2. (3,0 điểm) a) Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)( x + 7) = 9 b) Cho đa thức: f(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n. Hãy xác định m và n sao cho f(x) chia hết cho x + 1 và x – 3. Bài 3. (4,5 điểm) a) Phân tích đa thức ( ) thành nhân tử. b) Cho hàm số , . Định x để y đạt giá trị nhỏ nhất. √ √ c) Chứng minh rằng : √ với a > 0, b > 0, a ≠ b Bài 4. (4,5 điểm) a) Chứng minh rằng hàm số y = (m2 + 2m + 3)x + m +1 luôn đồng biến trên R với mọi m. b) Vẽ đồ thị của hàm số √ √ c) Cho các điểm A(2; 8) và B(4; 2). Xác định đường thẳng y = ax sao cho A và B nằm về hai phía của đường thẳng và cách đều đường thẳng đó. Bài 5. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, HB = 20 cm, HC = 45 cm. vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Kẻ tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm, khác điểm H). a) Chứng minh: Ba điểm M, A, N thẳng hàng. b) Tính diện tích của tứ giác BMNC. c) Gọi K là giao điểm của CN và HA. Tính các độ dài AK và KN. d) Gọi I là giao điểm của AM và CB. Chứng minh CA  IK . HẾT
2. Bài ĐÁP ÁN Điểm √ √ √ √ A = √ ĐK √ √ √ √ √ √( √ )( √ ) √ 2 A = ( ) √ √( √ )( √ ) √ √ ( ) = ( ) √ ( ) √( ) 1,5 = ( ) ( ) √ | | = ( ) | | ( )( ) Nếu x > 2 thì A2 Suy ra A = √ ( ) Nếu thì 1 Suy ra A = √ √ √ B = √ √ √ √ √ √ √ √ 1,5 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( )( ) ( )( ) √ √ √ √ √ √ Suy ra B = √ (x + 1)(x + 3)(x + 5)( x + 7) = 9 ( )( ) ( )( ) ( ) 1,5 ( )( ) 2 a ( ) ( ) (√ ) ( √ )( √ ) √ √
3. ( ) ⇔ Vậy pt (1) có tập nghiệm { √ √ } f(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n chia hết cho x + 1 và x – 3. Ta có { { 1,5 { b { Vậy thì f(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n chia hết cho x + 1 và x – 3 ( ) ( ) 1,5 ( – ) [( ) ( ) ] a ( )( ) ( )( )( )( ) , 1,5 3 Ta có vì Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được ( ) ( ) b √ √ ( ) Dấu ‘=’ xãy ra ( ) √ ( ) √ √ √ ( √ ) √ √ Vậy thì miny = √
4. √ √ √ với a > 0, b > 0, a ≠ b 1,5 √ √ c √ (√ √ ) (2) Do a ≠ b nên bất đẳng thức (2) đúng √ √ Vậy √ với a > 0, b > 0, a ≠ b Ta có: m2 + 2m + 3 = (m + 1)2 + 2 > 0 với mọi m 1,0 a Do đó hàm số y = (m2 + 2m + 3)x + m +1 luôn đồng biến trên R với mọi m. √ √ | | | | Bảng xét dấu 2,0 x -2 2 x + 2 - 0 + + x - 2 - - 0 + | | | | { Đồ thị của hàm số b y 4 4 -2 O 1 2 x -4 Gọi AH và BK là khoảng cách từ A và d B đến đường thẳng d. y A 1,5 Đường thằng đi qua A song song với 8 M Ox cắt d tại M( ; 8) H Đường thằng đi qua B song song với Ox cắt d tại N( ; 2) c Ta có AH = BK AM = BN K B 2 N Vậy đường thẳng d cần tìm là O 1 2 4 x
5. K 0,5 HV N A M I B H C Chứng minh: M, A, N thẳng hàng Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: 1,0 ̂ ̂ ̂ ̂ Mà ̂ ̂ (cùng phụ với ̂ ) a Suy ra ̂ ̂ ( ) 5 Ta lại có ̂ ̂ ( ) Từ (1) và (2) suy ra ̂ ̂ Vậy 3 điểm M, A, N thẳng hàng. Xét ΔABC vuông tại A , AH  BC có 1,0 AH = 30 (cm) b Ta lại có BH = BM , CH = CN (t/c 2 tt cắt nhau) MN = 2 AH Tứ giác BMNC là hình thang S = ( ) ( ) ( ) BCNM Đặt AK = x , KN = y Ta có ∽ ( ) 1,5 ⇒ c ⇒ ⇔ { ⇔{ ⇔{ Vậy AK = 78 cm, KN = 72 cm Xét ΔCIK có KH ⊥CI , IN⊥CK và KH IN giao nhau tại A d ⇒ A là trực tâm của ΔCIK 1,0 ⇒ CA ⊥ IK Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa.