Đề thi học sinh giỏi ba môn văn hóa Lớp 8 cấp huyện - Môn Toán - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi ba môn văn hóa Lớp 8 cấp huyện - Môn Toán - Năm học 2018-2019

1. UBND HUYỆN KỲ HỌC SINH GIỎI BA MÔN VĂN HÓA LỚP 8 PHÒNG GD&ĐT CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 02 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (4 điểm). 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a Cho biểu thức M = : 2 a3 1 a 1 4a2 3a a 1 a) Rút gọn M. b) Tìm a để M > 0. c) Tìm giá trị của a để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 2: ( 4 điểm). a) Tìm đa thức P(x) thoả mãn: P(x) chia cho x + 3 dư 1; chia cho x – 4 dư 8; chia cho (x + 3)(x – 4) được thương là 3x và còn dư. b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:x4 y4 3y2 1 .Câu 3: ( 4 điểm). a) Chứng minh rằng nếu m;n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m 2 m 5n 2 n thì : (m - n) và (5m 5n 1 ) đều là số chính phương. b)Giải phương trình: x 1 6x 8 6x 7 2 12 . Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC). Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a) Chứng minh ABC đồng dạng với EFC. b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI = HK. AH BH CH c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh: 6 HE HF HG Câu 5: (2 điểm).Cho các số a, b, c thỏa mãn1 a,b,c 0 . Chứng minh rằng : a + b2 + c3 – ab – bc – ca 1. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;, Số báo danh:. . . . . . . . . . . UBND HUYỆN KỲ THI HỌC SINH GIỎI 03 MÔN VĂN HÓA LỚP 8 PHÒNG GD&ĐT CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM
2. ĐỀ THI MÔN: Toán (Đáp án gồm 04 trang) Câu Nội dung Điểm a (2đ) Điều kiện: a 0;a 1 0,5 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a Ta có: M = : 2 a3 1 a 1 4a2 3a a 1 2 a 1 1 2a2 4a 1 4a2 = . 0,5 a2 a 1 2 a 1 2 a 1 a a 1 a a 4 3 a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a = . a 1 a2 a 1 a2 4 a3 3a2 3a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a 0,5 = . a 1 a2 a 1 a2 4 a3 1 4a 4a = . = a3 1 a2 4 a2 4 1 4a 0,5 4.0đ Vậy M = 2 với a 0;a 1 a 4 b) (1đ) M > 0 khi 4a > 0 suy ra a > 0 0,5 kết hợp với ĐKXĐ 0,5 Vậy M > 0 khi a > 0 vàa 1 c) (1đ) 2 2 2 4a a 4 a 4a 4 a 2 Ta có M = 2 = 2 1 2 a 4 a 4 a 4 0,5 a 2 2 a 2 2 Vì 0 với mọi a nên 1 1với mọi a a2 4 a2 4 a 2 2 Dấu “=” xảy ra khi 0 a 2 a2 4 Vậy MaxM = 1 khi a = 2. 0,5 a) (2đ) Vì đa thức (x +3)(x – 4) có bậc là 2 nên phần dư khi chia P(x) cho (x +3)(x – 4) có dạng R(x) = ax + b 0,5 2 P(x) = (x +3)(x – 4). 3x + ax + b 4,0đ P( 3) 3a b 1 0,5 P(4) 4a b 8 0,5
3. Câu Nội dung Điểm a =1 ; b = 4 0,5 P(x) = (x +3)(x – 4). 3x + x + 4 = 3x3 - 3x2 - 35x + 4 b) (2đ) Ta có x2 = y2 + 2y + 13 x2 = (y + 1)2 + 12 (x + y + 1)(x - y – 1) = 12 0,5 Do x + y + 1 – (x - y – 1) = 2y + 2 là số chẵn và x , y N* nên x + y + 1 > x – y – 1 . Do đó x + y + 1 và x – y – 1 là hai số 0,5 nguyên dương chẵn. Từ đó suy ra chỉ có một trường hợp: x + y + 1 = 6 và x – y – 1 0,5 = 2 0,5 x = 4 và y = 1. Vậy (x; y) = (4; 1). a) (2,0 điểm): Tacó 4m2 m 5n2 n 5 m 2 n 2 m n m 2 m n 5m 5n 1 m 2 (*) Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1) ( m-n)  d và (5m+5n+1)  d 0,5 ( m-n)  d 5m-5n  d (5m+5n+1)+(5m-5n) d 10m+1 d 2 2 0,5 Mặt khác từ (*) ta có: m Md m d. Mà 10m+1 d nên 1 d d=1 (Vì d là số tự nhiên) Vậy (m-n);(5m+5n+1) là các số tự nhiên nguyên tố cùng 0,5 nhau,thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. 0.5 b) (2,0 điểm)(6x 8)(6x 6)(6x 7)2 72 3 (4,0đ) Đặt 6x 7 t. Ta có 0,25 2 2 2 4 2 (t 1)(t 1)t 72 (t 1)t 72 t t 72 0 0,5 t 4 9t 2 8t 2 72 0 t 2 (t 2 9) 8(t 2 9) 0 (t 2 9)(t 2 8) 0 0,5 Mà t 2 8 0 nên t 2 9 0 t 2 9 t 3 2 5 0,5 Từ đó tìm được x hoặc x . 3 3 2 5 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm là S = ;  . 3 3  E 4(6đ) D A M Q B C P I H
4. Câu Nội dung Điểm 0,75 a) (2,5 điểm): - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g) EB ED 0,75 - Từ đó suy ra EA.EB ED.EC EC EA 0,5 - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (c-g-c) - Suy ra E·AD E·CB 0,5 b) (2,0 điểm): 0,75 - Từ B·MC = 120o ·AMB = 60o ·ABM = 30o 0,75 1 - Xét EDB vuông tại D có Bµ = 30o ED = EB 2 0.5 ED 1 EB 2 2 SEAD ED 2 - Lý luận cho từ đó SECB = 144 cm SECB EB 0,25 c) (1,5 điểm): 0,25 - Chứng minh PQ là đường trung bình của tam giác BHD 0,5 PQ // BD 0,5 - Mặt khác: BD  CD (Giả thiết) - Suy ra: PQ  DC Q là trực tâm của tam giác DPC Hay CQ  PD
5. Câu Nội dung Điểm Ta có Vì b, c 0;1 nên suy ra b2 b; c3 c . Do đó: a + b2 + c3 – ab – bc – ca a + b + c – ab – bc – ca (1). 0,5 Lại có: a + b + c – ab – bc – ca = (a – 1)(b – 1)(c – 1) – abc + 1 (2) 0,5 Vì a, b, c 0 ; 1 nên (a – 1)(b – 1)(c – 1) 0 ; – abc 0 Do đó từ (2) suy ra a + b + c – ab – bc – ca 1 (3). 0,5 5 Từ (1) và (3) suy ra a + b2 + c3 – ab – bc – ca 1. (2,0đ) Dấu “=” xảy ra khi trong ba số a, b, c có hai số bằng 1 và một số bằng 0 hoặc hai só bằng 0 và một số bằng 1 0,5 Chú ý: 1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình.