Đề thi học sinh giỏi cấp cụm trường THPT môn Toán Lớp 11 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp cụm trường THPT môn Toán Lớp 11 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

1. KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2016-2017 Môn thi: Toán – Lớp 11 Ngày thi: 01/3/2016 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1 (4 điểm) Giải các phương trình sau: 1)sin x cos x 2 sin3x . 2)sin 2x 2tanx 3. Bài 2 (4 điểm) 1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong mỗi số lập được có chữ số liền sau luôn lớn hơn chữ số liền trước. 2) Cho n là số nguyên dương, chứng minh C 0C1 C1C 2 C 2C 3 C n 1C n C n 1. n n n n n n n n 2n Bài 3 (4 điểm) u1 1 Cho dãy số un thỏa mãn: 2 n 1. un 1 un 1 n 1 n2 1) Chứng minh u n 1,n 1. n 1 n n.u 2) Tính lim n . (n 1)2 Bài 4 (4 điểm) 1) Cho tam giácABC có ba cạnh có độ dài lập thành một cấp số nhân. Chứng minh tam giác ABC không có hai góc lớn hơn 600. 2) Cho tam giác ABC nhọn. Tìm vị trí điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC sao cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5 ( 4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh SC (M không trùng với S và C ). Mặt phẳng chứa đường thẳng AM và song song với đường thẳng BD cắt SB,SD lần lượt tại E,F. 1) Chứng minh mặt phẳng luôn chứa một đường thẳng cố định. SB SD SC 2) Chứng minh biểu thức T có giá trị không đổi. SE SF SM HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh:
2. KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CỤM TRƯỜNG THPT NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11 Bài HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Bài 1 Giải pt 4 điểm Câu 1 Giải pt: 푠푖푛 - 표푠 = 2푠푖푛3 2 điểm Pt tương đương 푠푖푛3 = sin ( - 4) 1,0 5 Pt có hai nghiệm ; với = ― 8 + = 16 + 2 ∈ 횉 1,0 Câu 2 Giải pt: 푠푖푛2 +2푡 푛 = 3. 2 điểm Điều kiện: hay 표푠 ≠ 0 ≠ 2 + , ∈ 푍횉 0,5 2푡 Đặt 푡 = 푡 푛 , 푡 ∈ 푅, ta có 푠푖푛2 = 1 + 푡2 0,5 2푡 Pt trở thành : 3 2 1 + 푡2 +2푡 = 3 ⇔2푡 - 3푡 +4푡 - 3 = 0⇔푡 = 1 0,5 Với 푡 = 1 = 푡 푛4 nên = 4 + , ∈ 푍횉 là nghiệm của pt. 0,5 Bài 2 4 điểm Câu 1 Có bao nhiêu chữ số 2 điểm Ta dễ thấy số 0 không có mặt trong số được lập. 0,5 Cứ mỗi tổ hợp chập 5 của 9 phần tử sẽ cho 1 cách sắp thứ tự duy nhất 1,0 số liền sau lớn hơn số liền trước, 5 Số số lập được là 9 = 126 số 0,5 Câu 2 0 1 1 2 2 3 푛-1 푛 푛+1 Chứng minh rằng: 푛 푛 + 푛 푛 + 푛 푛 + + 푛 푛 = 2푛 . 2 điểm Xét khai triển: 푛 0 1 2 2 푛-1 푛-1 푛 푛 (1 + ) = 푛 + 푛 + 푛 + + 푛 + 푛 với ∈ 푅. 0,5 푛 푛 0 푛-1 1 푛-2 2 푛-1 푛 ( + 1) = 푛 + 푛 + 푛 + + 푛 + 푛 Hệ số của 푛+1 trong khai triển (1 + )푛( + 1)푛 là: 0 1 1 2 2 3 푛-1 푛 0,5 푛 푛 + 푛 푛 + 푛 푛 + + 푛 푛 푛 푛 2푛 2푛 푛+1 Do (1 + ) ( + 1) = (1 + ) = ∑ =0 2푛 nên hệ số của 푛+1 0,5 là 2푛 Cân bằng hệ số 푛+1 cùng 1 khai triển ta được 0 1 1 2 2 3 푛-1 푛 푛+1 0,5 푛 푛 + 푛 푛 + 푛 푛 + + 푛 푛 = 2푛 (ĐPCM) Bài 3 4 điểm 2 Chứng minh rằng 푛 . Ta dùng PP quy nạp toán học. 3 điểm 푛 + 1 ≤ 푛 ≤ 푛 +1 Câu 1 Với n=1 bài toán đúng 0,5 2 Giả sử bài toán đúng với ta có (1) 0,5 푛 = ≥ 1 + 1 ≤ ≤ +1
3. 2 Ta CM bài toán đúng với túc là: ( + 1) . 푛 = +1 + 2 ≤ +1 ≤ +2 2 Thật vậy, do giả thiết ta có: ( + 1) +1 = ( + 1) 1,0 ( + 1)2 ( + 1)2 nên = ≥ +1 + 1 + 2 2 Ta lại có do (1) + 1 ≤ 2 ( + 1)2 ( + 1) 1 2 1,0 nên +1 = + 1 ≤ + 1 = +2 ― 2 ≤ +2. + 1 + + 1 Bài toán đúng với 푛 = +1. Câu 2 1 điểm 3 푛 푛 푛 푛(푛 + 2) Từ trên ta có: (푛 + 1)(푛2 + 1) ≤ 푛2 + 1 ≤ 푛2 + 1 푛3 푛(푛 + 2) 0,5 mà 푙푖 (푛 + 1)(푛2 + 1) = 푙푖 푛2 + 1 = 1 Do đó, 푛 푛 푙푖 2 = 1 0,5 푛 + 1 Bài 4 4 điểm Câu 1 Cmr tam giác ABC 2 điểm Vai trò 3 cạnh của tam giác bình đẳng, nên ta giả sử ≥ ≥ nên ta 0,5 có ≥ ≥ . Ta cần CMR góc ≤ 60°. Áp dụng định lý Cosin trong tam giác ABC ta có: 2 = 2 + 2 - 2 . 표푠 1,0 Do, 3 cạnh ; ; lập thành cấp số nhân nên 2 = do đó, = 2 + 2 - 2 . 표푠 ≥ 2 (1 ― 표푠 ) 1 Suy ra 표푠 ≥ = 표푠60°. Mà = 표푠 nghịch biến trên [0; ] 2 2 0,5 Nên ≤ 60° . Bài toán được CM. Câu 2 1 điểm Do tam giác ABC nhọn nên nếu tam giác đều thì M là trọng tâm tam giác. Xét phép quay tâm B góc quay là 60° biến điểm M thành điểm N, điểm C thành điểm P. 1,0 Ta có tam giác BMN, BPC là những tam giác đều và ∆ = ∆ 푃 nên: 퐹 = + + = + + 푃 Để F nhỏ nhất cần A, M, N, P thẳng hàng. Do tam giác BMN đều nên góc = 120표 và = 120표. 1,0 Nên điểm M là điểm được xác định thuộc miền trong tam giác ABC và nhìn 3 cạnh AB, BC, CA dưới 1 góc 120표.
4. Bài 5 4 điểm Câu 1 CMR mặt phẳng (훼) chứa một đường thẳng cố định. 2 điểm Do mặt phẳng (푆 ) cắt hai mặt phẳng (훼) và ( ) theo 2 giao 1,0 tuyến 퐹; và có //(훼) nên 퐹// Do là điểm chung của hai mặt phẳng nên giao tuyến của hai mặt phẳng (훼) và ( ) là đường thẳng qua điểm và song song với ∆ 1,0 đường thẳng . Nên mặt phẳng (훼) chứa đường thẳng ∆ là đường thẳng cố định . Câu 2 CMR: biểu thức có giá trị không đổi. 2 điểm 푆 푆 푆 Do nên . 퐹// 푆 = 푆퐹 = 푆 푆 푆 푆 2푆 푆 2 0,5 Vậy nên, = 푆 + 푆퐹 - 푆 = 푆 - 푆 = 1 + 푆 - 푆 Xét tam giác SOC. Áp dụng định lý Menelaus với đường thẳng AC 푆 2 1,0 cắt 3 cạnh của tam giác SOC, ta có: hay . 푆. = 1 푆 = 푆 Vậy = 1 không đổi. 0,5