Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Phòng giáo dục và đào tạo Kỳ Anh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 (Đề chính thức) - Năm học 2022-2023 - Phòng giáo dục và đào tạo Kỳ Anh (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN KỲ ANH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý : Thí sinh không được sử dụng máy tính! I. PHẦN GHI KẾT QUẢ: (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) 3 Câu 1: Rút gọn biểu thức: A 3 7 3 7 3 2 21 Câu 2: Giải phương trình: x2 4x 10 x2 4x 6 Câu 3: Cho a b =2 Tính giá trị của biểu thức: B a2 a 1 – b2 b –1 2023ab – 3ab a – b 675 Câu 4: Tìm các số tự nhiên n để n+5 và n+30 đều là số chính phương. 2 Câu 5: Cho số a>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D 4a (a 1)2 Câu 6: Cho a,b là các số thực phân biệt thỏa mãn a2 3a b2 3b 2 Tính giá trị biểu E a5 b5 Câu 7: Đa thức P(x) chia cho 3 2x có số dư là 5, chia cho x 2 có số dư là 12. Tìm dư khi chia đa thức P(x) cho 2x2 x 6 Câu 8: Một cửa hàng nhập được một lô hàng để bán. Ngày thứ nhất bán được 8 sản phẩm và 1/8 số sản phẩm còn lại. Ngày thứ hai bán được 16 sản phẩm và 1/8 số sản phẩm còn lại. Ngày thứ ba bán được 24 sản phẩm và 1/8 số sản phẩm còn lại. Cứ như vậy cho đến ngày cuối cùng thì bán hết toàn bộ lô hàng đã nhập. Biết số sản phẩm bán được mỗi ngày đều bằng nhau. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì bán hết lô hàng. Câu 9: Tam giác ABC cân tại A, biết AB = 2cm và góc A bằng 360. Tính BC Câu 10: Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 48cm 2; trên BC và CD lần lượt 2 2 lấy các điểm E và F. Biết SABE=8cm ; SADF=2cm . Tính SAEF=? II. PHẦN TỰ LUẬN:(Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: a) Giải phương trình: 2x 1 2 9 4 x2 x b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 7 x2 y2 25 x y Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC (H thuộc AC). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AH và BH. a. Chứng minh CK  IB b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tia IE cắt đường thẳng BC ở M. Chứng minh FE là phân giác của góc IFM Câu 13. Cho x,y, z là các số thực không âm thỏa mãn x y z 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x 4 2y 4 3z 4 Hết! Họ và tên thí sinh: Số báo danh
2. HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN 9 NĂM HỌC 2022-2023 Phần ghi kết quả: 10đ Bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kết 1 x 1 E= 70 A B=12 n=139 D=10 8 2x 7 5 1 quả 2 x 3 -573 3 Hướng dẫn giải chi tiết: 2 3 3 1 3 3 1 3 1 Bài 1. A 2 3 2 2 2 2 2 21 21 2 Bài 2. x2 4x 10 x 2 6 (*) x2 4x 6 x 2 2 2 Đặt: x 2 2 t (t 0) 21 2 2 t 1 (*) t 6 t 8t 12 21 t 8t 9 0 t 1 t 9 0 t 2 t 9(loai) 2 x 1 Thay: x 2 1 x 3 x 1 0 x 3 Bài 3. B a3 b3 a2 b2 2023ab 2025ab 3ab a b 3 2 a3 b3 3ab a b a2 b2 2ab a b a b 8 4 12 Bài 4. Đặt n 5 a2 ;n 30 b2 (với a,b nguyên và b>a>0) b a 25 a 12 Theo bài ra ta có:b2 a2 25 b a b a 25 b a 1 b 13 Thay vào ta có n=139. 2 2 2 Bài 5. D 4a 2(a 1) 2(a 1) 4 33 2(a 1).2(a 1) 10 (a 1)2 (a 1)2 (a 1)2 Bài 6. Cho a,b là các số thực phân biệt thỏa mãn a2 3a b2 3b 2 Tính giá trị biểu E a5 b5 +) a2 3a b2 3b a b a b 3 0 a b 3 (vì a b ) 2 2 2 2 2 2 +)a 3a b 3b 2 a 3a b 3b 4 a b 3(a b) 4 a2 b2 9 4 a2 b2 13 +) a b 3 a2 b2 2ab 9 13 2ab 9 ab 2 2 2 3 3 3 3 +) a b a b a b ab(a b) a b 13 ( 3) ( 2)  ( 3) 45 Nên E a5 b5 a2 b2 a3 b3 a2b2 a b 13 ( 45) 4  ( 3) 573 Bài 7: Dư nếu có khi chia đa thức P(x) cho 2x2 x 6 là ax b P(x) 2x2 x 6  q(x) ax b x 2 (3 2x)  q(x) ax b 3 3 P( ) 5 a b 5 3a 2b 10 a 2 Theo bài ra: 2 2 4a 2b 24 b 8 P( 2) 12 2a b 12 Bài 8. Gọi tổ số sản phẩm ban đầu là x.
3. 1 x Số sản phẩm bán được trong ngày thứ nhất là: 8 x 8 7 8 8 1 7 105 7x Số sản phẩm bán được trong ngày thứ hai là: 16 x 8 16 8 8 8 64 Vì số sản phẩm bán được mỗi ngày như nhau nên ta có: 105 7x x x 49 7 x 392 (sp) 8 64 8 64 8 392 Ngày thứ nhất bán được: 7 7 49 56 (sp) A 8 392 Thời gian bán hết lô hàng: 7 (ngày) 36 56 Bài 9. Vẽ phân giác CD. Khi đó ta có các tam giác D ACD và BCD cân. Áp dụng tính chất đường phân giác ta có 36 DA AC DA AC BC(BC AB) AB2 ;(DA BC; AB AC) DB BC AB BC AC B C AB 5 1 BC 2 BC.AB AB2 (2BC AB)2 5AB2 BC 5 1 2 Bài 10. A B Theo bài ra ta có: AB.BC=48; (1) E AB.BE=16; (2) AD.DF=4; (3) 1 2 Từ (1) và (2) suy ra BE BC CE BC;(4) 3 3 D C 1 11 F Từ (1) và (3) suy ra DF DC CF DC;(5) 12 12 2 11 2 11 2 11 88 44 Từ (4); (5) CE.CF .BC. DC . .BC.DC . .48 S 3 12 3 12 3 12 3 CEF 3 44 144 74 70 Vậy S 48 (2 8 ) AEF 3 3 3 3 Phần trình bày bài vào bài làm: (10đ) Bài Nội dung Điểm ĐK: x≥1 hoặc x≤0. Ta có 2x 1 2 9 4 x2 x 4(x2 x) 4 x2 x 1 9 11a 2 2 x2 x 1 3 x2 x 2(1) 2,5đ 2 x2 x 1 9 2 2 2 x x 1 3 x x 1(2) Ta thấy (2) vô nghiệm. (1) x2 x 2 x2 x 4 4x2 4x 1 17 (2x 1)2 17
4. 1 17 x 2x 1 17 2 2x 1 17 1 17 x 2 Đối chiếu với ĐK thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn 1 17 1 17 Vậy phương trình có hai nghiệm là: x ; x 1 2 2 2 Vì 25 x y 7 x2 y2 0 x y 0(1) 2 50 Mặt khác 50 x y 7.2 x2 y2 7. x y x y 8(2) 11b 7 1,5đ Để ý rằng 25(x+y) chia hết cho 7 mà (7; 25)=1 nên x+y chia hết cho 7 nên từ (1) và (2) suy ra x+y=0 hoặc x+y=7 TH1 x+y=0 suy ya x2+y2=0 tìm được (x; y)=(0; 0) TH2. x+y=7 suy ra x2+y2=25 tìm được (x; y)=(3; 4), (4; 3) 12 a IK là đường trung bình của tam giác ABH. 1 3đ Suy ra IK / / AB IK  BC 2 Suy ra K là trực tâm của tam giác BCI nên CK  BI 12 b 1,5đ Gọi N là giao điểm của IF và BC; O là giao điểm của EF và AC. Chứng minh được: OE=OF và EF//BC OE IO FO Vì: OE//CM và OF//CN nên ta có: CM IC CN · · mà OE=OF nên CM=CN. FCM FCN(c g c) CFM CFN FC là phân giác của M· FN Mà FE  FC; M· FI kề bù với M· FN FE là phân giác của M· FI x 4 a 2y 4 b;a,b,c 2 Bài Đặt (Do x, y, z≥0) 13 3z 4 c 1,5đ Suy ra: a2 b2 c2 x 4 2y 4 3z 4 (x y z) 12 (y 2z) 24 Và F=a+b+c>0 Do a,b,c≥2 nên:
5. a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 0 ab bc ca 4(a b c) 12 0 ab bc ca 4(a b c) 12 4F 12 Lại có F 2 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 24 2(4F 12) 8F F(F 8) 0 F 8 (do F>0) y 2z 0 Dấu “=” xảy ra khi (a 2)(b 2) (b 2)(c 2) (c 2)(a 2) 0 Khi đó y=z=0, x=12 Vậy GTNN của F=8 khi x=12; y=z=0 Lưu ý: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa.