Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo Cẩm Giàng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo Cẩm Giàng (Có đáp án)

1. Sưu tầm: Trần Văn Toản Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn. Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC: 2018 - 2019 MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 01 trang Câu 1. (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A 17 12 2 3 2 2 x2 x x 3 x 2 x 1 b) Rút gọn biểu thức: B x; x  0, x  1 . Từ đó, x x 1 x 3 x 1 tìm giá trị nhỏ nhất của B. Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) x 2 x 1 x 1 1 b) Câu 3. (2,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố b) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn: xy 2x 2y 1 Câu 4. (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. AD a) Chứng minh: AD.DH DB.DC và tanB.tanC = HD b) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. A a Chứng minh rằng: sin 2 2 bc 2) Trên hai cạnh AC, BC của tam giác đều ABC, lấy tương ứng hai điểm M, N sao cho MA = CN. Tìm vị trí của M để MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó khi cạnh của tam giác đều là 2,018 cm. Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x + y + z = 2018. Tìm giá trị lớn nhất của x y z biểu thức: A x 2018x yz y 2018y zx z 2018z xy Hết Họ và tên học sinh: Số báo danh: Họ và tên giám thị giao đề Chữ ký:
2. Sưu tầm: Trần Văn Toản Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn. Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM CẨM GIÀNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2018 - 2019 MÔN: TOÁN LỚP 9 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Đáp án Điểm 2 2 A 17 12 2 3 2 2 2 2 3 2 1 0,25 Câu 1a 2 2 3 2 1 0,25 (1 điểm) =3 2 2 2 1 0,25 4 3 2 0,25 x x 1 x x 1 x x 3 2 x 1 x 1 B x 0,25 x x 1 x 3 x 1 x x x 2 x 2 x 0,25 Câu 1b (1 điểm) x x 2 0,25 Vì x  0 B x x 2  2 Dấu “=” xảy ra khi x=0(thỏa mãn điều kiện) 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi x =0 ĐKXĐ: x 1 0,25 Ta có: x 2 x 1 x 1 1 2 0,25  x 1 1 x 1 1 Câu 2a  x 1 1 x 1 1( ) (1 điểm) Nếu x 1 1 0  x  2 thì phương trình ( ) trở thành: 0,25 x 1 1 x 1 1  1 1 (vô lí) Nếu x 1 1 0  x  2 thì phương trình ( ) trở thành: x 1 1 x 1 1  2 x 1 0  x 1(thỏa mãn) 0,25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1 Đặt: 2 Câu 2b t x2 2x 3 x 1 2  2,x 0,25 (1 điểm) Phương trình đã cho trở thành: 1 2 6 t 1 t t 1
3. Sưu tầm: Trần Văn Toản Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn. Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản 3t 2 7t 2 0 0,25 t 2(tm)   1 0,25 t (ktm)  3 Với t =2 ta có: x2 2x 3 2  x 1 2 0  x 1 0,25 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1 Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 = ( n2 + 2)2 – (2n)2 0,25 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2) Câu 3a Vì n là số tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 là số tự nhiên lớn hơn 2. 0,25 (1 điểm) Mà n2 – 2n + 2 < n2 + 2n+ 2 nên để n4 + 4 là số nguyên tố thì 0,25 n2 – 2n + 2 =1 Từ đó giải được n = 1. Với n = 1 ta có n4 + 4 = 5 là số nguyên tố 0,25 Vậy n = 1 là giá trị cần tìm xy 2x 2y 1  y 2 x 2 5(1) 0,25 Vì x, y là số nguyên nên x+2; y+2 là số nguyên. 0,25 Câu 3b Do đó: y + 2 là ước của 5 (1 điểm) y 21; 1;5; 5 y 1; 3;3; 7 0,25 Từ đó tìm được các giá trị tương ứng của x 3; 7; 1; 3 0,25 Vậy phương trình có 4 nghiệm là: (-1;3);(-3;-7);(3:-1);(-7;-3) A E H M C B D F Câu 4.1 N (2điểm) a) Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có D AC D BH vì cùng phụ với AD BD 0,5 góc C nên ta có : ADC BDH AD.DH DB.DC (*)  DC DH AD AD AD2 Ta có tanB = ; tanC = tanB.tanC = (1) 0,25 BD DC BD.DC AD2 AD Từ (*) (2) BD.DC HD 0,25 AD Từ (1) và (2) tanB.tanC = HD
4. Sưu tầm: Trần Văn Toản Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn. Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản b) Gọi AF là tia phân giác góc A; kẻ BM, CN lần lượt vuông góc với AF A Ta có: BM c.sin 2 0,25 A A Tương tự CN b.sin do đó BM CN (b c).sin 2 2 Mặt khác ta luôn có: BM CN BF FC BC a 0,25 A A a a Nên (b c).sin a sin 0,25 2 2 b c 2 b.c Dấu “=” xảy ra khi: BM=CN hay tam giác ABC cân tại A. A a Vậy: sin 0,25 2 2 bc B H G N K A C M Kẻ MK  AB; NH  AB;MG  NH Tứ giác MGHK là hình chữ nhật MG KH 0,25 Câu 4.2 Mà MN  MG MN  KH (1,0 Các tam giác AKM, BHN là các tam giác vuông có một góc nhọn điểm) 1 1 bằng 60o nên AK AM ; BH BN . 0,25 2 2 Do đó: AM BN KH AB AK BH AB 2 2 CN BN BC AB 0,25 AB AB 2 2 2 2 AB MN  (không đổi) 2 Dấu “=” xảy ra khi: MN là đường trung bình của tam giác ABC hay M là trung điểm của cạnh AC. AB 2,018 0,25 Vậy min MN 1,004 cm 2 2 2 Từ x yz  0  x2 yz  2x yz (*) Dấu "=" khi x2 = yz Câu 5 0,25 (1,0 Ta có: 2018x yz x y z x yz x2 yz x(y z)  x(y z) 2x yz điểm) Suy ra: 2018x yz  x(y z) 2x yz x( y z) 0,25
5. Sưu tầm: Trần Văn Toản Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn. Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản x x x 2018x yz  x x y z (1) x 2018x yz x y z y y Tương tự ta có: (2) y 2018y zx x y z z z (3) z 2018z xy x y z 0,25 Từ (1),(2),(3) ta có: x y z 1 x 2018x yz y 2018y zx z 2018z xy 2018 Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 3 2018 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 khi x=y=z= 3 * Lưu ý: HS làm cách khác đáp án mà đúng vẫn cho điểm tối đa.