Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Giao Tân (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Giao Tân (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG GIAO TÂN Năm học 2017 – 2018 Môn Toán 7 ( Thời gian : 120 phút) Bài 1 : (4 điểm) 1 1 1 1 1 1 1. Rút gọn A = - - - - - - 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 2,Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện: 2.22 3.23 4.24 (n 1).2n 1 n.2n 2n 34 Bài 2 : ( 5 điểm ) xy yz zx x2 y2 z2 1.Tìm các số x, y, z biết: . 2y 4x 4z 6y 6x 2z 22 42 62 213 2.Ba phân số có tổng bằng , các tử số của chúng tương ứng tỉ lệ với 3; 4; 5 , 70 các mẫu số của chúng tương ứng tỉ lệ với 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó. Bài 3: ( 1 điểm) Chứng minh rằng : 2 22 23 24 25 299 2100 chia hết cho 31 Bài 4 : ( 3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P (2x 5y)2 15y 6x 2 xy 90 Bài 5 : ( 4 điểm) : Cho ABC có 3 góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Từ O kẻ OF vuông góc với BC, từ O kẻ OH vuông góc với AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a. Chứng minh FCH cân ; b. Chứng minh AK = KI ; c. Chứng minh 3 điểm B, O, K thẳng hàng. Bài 6 ( 3 điểm ): Cho ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho DB = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M và N. Chứng minh a. DM = EN b. Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN c. Đường trung trực của MN luân đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
2. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS MÔN TOÁN 7 GIAO TÂN NĂM HỌC 2016 - 2017 ( Thời gian làm bài: 120 phút) Bài Câ Nội dung Điể u m 1 1.1 1 1 1 1 1 1 0,25 A = (4đ) (2 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 đ) 1 1 1 1 1 1 A = 100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1 1 1 1 1 1 1 0,25 A = 100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,25 A = 1 100 2 2 3 97 98 98 99 99 100 1 1 0,25 A = 1 100 100 1 1 0,25 A = 1 1 0 0 1 0 0 2 0,25 A = 1 1 0 0 1 0,25 A = 1 5 0 49 0,25 A = 50 1.2 2.22 3.23 4.24 (n 1).2n 1 n.2n 2n 34 (1) (2 2 3 4 n 1 n 0,25 đ) Đặt B 2.2 3.2 4.2 (n 1).2 n.2 Suy ra 2B 2.(2.22 3.23 4.24 (n 1).2n 1 n.2n ) 2.23 3.24 4.25 (n 1).2n n.2n 1 2B – B = (2.23 3.24 4.25 (n 1).2n n.2n 1) 0,25 -(2.22 3.23 4.24 (n 1).2n 1 n.2n ) B 23 24 25 2n n.2n 1 2.22 (23 24 25 2n ) n.2n 1 23 Đặt C 23 24 25 2n 0,25 Suy ra 2C 2.(23 24 25 2n ) 24 25 26 2n 1 2C – C = (24 25 26 2n 1) - (23 24 25 2n ) 0,25
3. C = 2n 1 23 Khi đó : B (2n 1 23 ) n.2n 1 23 0,25 2n 1 23 n.2n 1 23 2n 1 n.2n 1 (n 1).2n 1 Vậy từ (1) ta có : (n 1).2n 1 2n 34 0,25 2n 34 (n 1).2n 1 0 n 1 33 2 . 2 (n 1) 0 Do đó 233 n 1 0 (Vì 2n 1 0 với mọi n) 0,25 n 233 1 . Vậy n 233 1 0,25 2 2.1 xy yz zx x2 y2 z2 Tìm các số x, y, z biết: (2) (5đ) 3,0 2y 4x 4z 6y 6x 2z 22 42 62 đ Xét x = 0 y z 0 2y 4z 0 (vô lí) 0,25 Suy ra x 0; y 0; z 0 Khi đó từ (2) suy ra 0,25 2y 4x 4z 6y 6x 2z 22 42 62 xy yz zx x2 y2 z2 2 4 4 6 6 2 22 42 62 0,25 Suy ra x y y z z x x2 y2 z2 2 4 6 22 42 62 2 0,50 và 2. x y z x2 y2 z2 x 2 4 6 1 22 42 62 2 0,25 Đặt (k 0) thì x y z k x2 y2 z2 k Suy ra x = 2k ; y = 4k ; z = 6k và x2 y2 z2 28k (3) 0,50 Thay x = 2k ; y = 4k ; z = 6k vào (3) ta được : 0,50 2k 2 4k 2 6k 2 28k 56k2 – 28k = 0 56k.(2k-1) = 0 k = 0 (loại) 0,25 1 Hoặc k ( thỏa mãn) 2 1 0,25 + Với k thì tìm được x =1 ; y = 2; z = 3 2 Kết luận: Vậy x =1 ; y = 2; z = 3 2.2 Gọi ba phân số cần tìm là a,b,c. 0,25 2 đ Vì các tử số của chúng tương ứng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu số của chúng 0,5 3 4 5 tương ứng tỉ lệ với 5; 1; 2 nên ta có a:b:c : : 6 : 40 : 25 5 1 2 a b c 0,25 = = 6 40 25 213 0,25 a b c a+b+c 3 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có = = 70 6 40 25 6+40+25 71 70
4. 3.6 9 0,5 a 70 35 40.3 12 b 70 7 25.3 15 c 70 14 9 12 15 0,25 Vậy ba phân số cần tìm là ; ; 35 7 14 3 Chứng minh rằng : 2 22 23 24 25 299 2100 chia hết cho 31 (1đ) Đặt D = 2 22 23 24 25 299 2100 (có 100 số hạng) 0,5 (2 22 23 24 25 ) (26 27 28 29 210 ) (296 297 298 299 2100 ) ( Có 20 nhóm ) D 2.(1 2 22 23 24 ) 26 (1 2 22 23 24 ) 296.(1 2 22 23 24 ) 0,25 D = 2.31 + 26 .31 + +296 .31 0,25 D = 31.(2 + 26 + +296 ) chia hết cho 31 Vậy 2 22 23 24 25 299 2100 chia hết cho 31 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P (2x 5y)2 15y 6x 2 xy 90 (3đ) Ta có P (2x 5y)2 15y 6x 2 xy 90 0,5 (2x 5y)2 6x 15y 2 xy 90 (2x 5y)2 9.(2x 5y)2 xy 90 2 8.(2x 5y) xy 90 Ta thấy (2x 5y)2 0 với mọi x, y nên 8.(2x 5y)2 0 với mọi x, y 0,25 xy 90 0 với mọi x, y 0,25 Khi đó 8.(2x 5y)2 xy 90 0 với mọi x, y 0,25 2 Suy ra 8.(2x 5y) xy 90 0 với mọi x, y Hay P ≤ 0 với mọi x, y Dấu‘‘=’’ xảy ra khi (2x 5y)2 0 và xy 90 0 0,25 x y 0,25 + Với (2x 5y)2 0 thì 2x 5y 5 2 + Với xy 90 0 thì xy = 90 0,25 x y 0,25 Đặt k ta được x = 5k ; và y = 2k 5 2 Mà xy = 90 nên 5k .2k = 90 0,25 Tìm được k = 3 hoặc k = -3 + Nếu k = 3 thì x = 15 ; y = 6 0,25 + Nếu k = -3 thì x = -15 ; y = - 6
5. Kết luận : Vậy giá trị lớn nhất của P là 0 khi và chỉ khi x = 15 ; y = 6 0,25 hoặc x = -15 ; y = - 6 5 V A B C ( AB < AC < BC ) (4đ) AO là phân giác µA GT CO là phân giác Cµ OF  BC ; OH  AC ; AH = FI ( I FC ) AI cắt OH tại K KL a, VFCH cân và AK = KI b, B, O, K thẳng hàng A H E K O G B F I C a Chứng minh: 0,5 1,0 Ta có C·HO = C·FO = 900 ( vì OH  AC ; OF  BC ) đ +, Xét VCHO vuông và VCFO vuông có : OC chung; ) H· C O = F·CO ( vì OC là phân giác C ) Vậy VCHO vuông = VCFO vuông ( cạnh huyền – góc nhọn) CH = CF ( 2 cạnh tương ứng của 2 V bằng nhau ) 0,5 Vậy VFCH cân tại C ( tam giác có 2 cạnh bằng nhau) b +, Qua I vẽ IG //AC ( G FH ) 0,25 2,0 Ta có VFCH cân tại C ( cm trên) 0,25 đ C·H F C·FH ( 2 góc đáy của tam giác cân) (1) Mà C·H F F· G I ( đồng vị, IG // AC ) (2) Từ (1)(2) C·FH F· G I hay I·FG I·G F 0,25 Vậy V IF G cân tại I 0,25 FI = GI ( hai cạnh bên của tam giác cân ) Mặt khác FI = AH 0,25 Nên GI = AH ( cùng bằng FI ) Ta lại có: I·G K ·AH K ( so le trong, IG // AC ) 0,25 H· AK =G· IK ( so le trong, IG // AC ) Xét VAHK và VIGK có: 0,25 I·G K ·AH K ( cm trên )
6. GI = AH ( cm trên ) H· AK G· IK ( cm trên ) Vậy VAHK = VIGK ( gcg) AK = KI ( 2 cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau ) 0,25 .c Vẽ OE  AB tại E 0,25 1,0 Chứng minh được BO là tia phân giác của ·ABC (*) đ Chứng minh được AB = BI 0,25 Chứng minh được VABK = VIBK (c.c.c) 0,25 Suy ra ·ABK I·BK Từ đó suy ra BK là tia phân giác của ·ABC (* *) Từ (*) và (* *) suy ra tia BK và tia BO trùng nhau 0,25 Hay B, O, K là 3 điểm thẳng hàng Bài 3.0 6 đ A M C Bl D I E N H a)Chứnga minh DM = EN ( 0,75 điểm ) 1 Chỉ ra M· BD E·CN 0,25 Chỉ ra MBD NCE DM EN 0,5 b) Chứng minh MI = NI (0,75 điểm ) Chỉ ra D· MI E·NC ( So le trong) 0,25 Chỉ ra MDI NEC IM IN 0,5 c) Chứng minh đường trung trực của MN luân đi qua 1 điểm cố định (1,5 điểm ) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC , hai đường thẳng náy cắt nhau tại H
7. Vì AB, AC, điểm B, C cố định do đó điểm H cố định 0,25 Chỉ ra ABH ACH BH CH 0,25 Chỉ ra MBH NCH MH NH 0,25 Chỉ ra MHI NHI 0,25 Chỉ ra M· IH N· IH 0,25 Chỉ ra M· IH N· IH 900 Chỉ ra HI  MN mà I là trung điểm của MN, suy ra HI là đường trung trực của MN 0,25 Mà H là điểm cố định do đó đường trung trực của MN luân đi qua một điểm cố định là điểm H Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài theo hướng dẫn trên./.