Đề thi học sinh giỏi Lớp 9 THCS cấp thành phố môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi Lớp 9 THCS cấp thành phố môn Toán - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THÀNH PHỒ HỒ CHÍ MINH CẤP THÀNH PHỐ ___ KHÓA THI NGÀY 10/6/2020 Môn thi: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) (Không kể thời gian phát đề) Bài 1. (4 điểm) 1 1 1 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c b c a a) Cho a = 1, hãy tìm b, c. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c đều dương thì a = b = c. Bài 2. (3 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 P = . xy xz Bài 3. (4 điểm) Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh BC, AB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 1 1 BM = BC; AN = AB. 3 3 a) Chứng minh MN vuông góc với BC. b) Gọi I là giao điểm của AM và CN. Tính góc BIC. Bài 4. (3 điểm) Giả sử a, b, c là ba số đôi một khác nhau và c 0. Chứng minh rằng nếu phương trình x2 + ax + bc = 0 và phương trình x2 + bx + ca = 0 có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm khác của hai phương trình trên thỏa mãn phương trình x2 + cx + ab = 0. Bài 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. Đường tròn tâm H bán kính HA cắt cạnh AC tại D. Đường thẳng qua D vuông góc với AC cắt BC tại E. a) Chứng minh BH = HE. b) Đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt đường tròn (H) tại K, L. Chứng minh CK, CL là các tiếp tuyến của (H). Bài 6. (2 điểm) Gọi S là tập hợp gồm 1011 số nguyên dương phân biệt có giá trị không quá 2020. Chứng minh rằng trong S có hai số mà tổng của chúng bằng 2021. HẾT
2. GỢI Ý 1 1 1 Bài 1. a b c (1) b c a 1 1 1 1 1 1 a) Với a = 1, từ (1) ta có: 1 b c c . Thế vào 1 b ta được: 2b2 – b – 1 = 0 b c 1 b b c Tính được b = c = 1 hoặc b = –1 và c = – 2. 2 1 1 1 1 a b a b (*) b) b c c b 1 1 1 1 b c b c ( ) c a a c 1 1 1 1 * Giả sử a > b a – b > 0, từ (*) > 0 c 0) b – c > 0, từ ( ) c b c b 1 1 1 1 > 0 a 0) mà c b). Vậy điều giả sử sai. * Giả sử a b(mâu thuẫn với a 0; x + y + z = 3 y + z = 3 – x 1 1 4 Chứng minh (*) với a, b > 0. Dấu “=” xảy ra a = b. a b a b 1 1 4 4 4 4 4 16 Áp dụng , ta có: P xy xz xy xz x(y z) x(3 x) x2 3x 3 2 9 9 x 2 4 3 3 2 9 x (do xy + xz > 0 nên x 0 ). Dấu “=” xảy ra 2 3 2 4 y z 4 Bài 3. a) Chứng minh MN  BC. A 1 1 2 2 Chứng minh BM = BC = AB = AN; BN = AB = BC = CM 3 3 3 3 N • Vẽ NS // AC (S BC) NBS đều BS = BN I 2 1 1 MS = BS – BM = BN – BM = BC –BC = BC = BM 3 3 3 NM là trung tuyến của NBS đều MN  BC. b) Tính B IC . B M S C AMC = CNB(c.g.c) A MC C NB (yttư) tứ giác BNIM nội tiếp N IB N MB 900 B IC = 900. Bài 4. x2 + ax + bc = 0 (1), x2 + bx + ca = 0 (2), x2 + cx + ab = 0 (3) • Gọi x0, x1 là nghiệm của (1) và x0, x2 là nghiệm của (2) (với x0 là nghiệm chung và x1 x2 :do (1) và (2) có đúng một nghiệm chung) 2 x0 ax0 bc 0 • Ta có: 2 (a b)x0 c(b a) 0 (a b)(x0 c) 0 x0 c 0 x0 c x0 bx0 ca 0 (do a, b, c là ba số đôi một khác nhau nên a b a b 0). Từ (1), ta có: c2 + ac + bc = 0 a + b + c = 0 (*)(do c 0) • Theo hệ thức Viète, từ (1) và (2), ta có: x0x1 bc và x0x2 ca mà x 00 nênc x 1 = b và x2 = a. 2 • Từ x1= b và từ (3): b + cb + ab = b(b + c + a) = b.0 = 0 nên x1 = b là nghiệm của (3)(đpcm). 2 • Từ x2 = a và từ (3): a + ca + ab = a(a + c + b) = a.0 = 0 nên x2 = a là nghiệm của (3) (đpcm).
3. Bài 5. a) Chứng minh BH = HE. A • Chứng minh tứ giác ADEH nội tiếp A EH A DH K mà HD = HA ΔAHD cân tại H A DH D AH , lại có: D D AH A BH nên suy ra: A E ΔHABE A B cânH tại B A mà AH là đường cao BH = HE(đpcm). H E C b) Chứng minh CK, CL là các tiếp tuyến của (H). HC HK • Ta có: HE.HC = HB.HC = HA2 = HK2 HK HE L 0 HKC ~ HEK(c.g.c) H KC H EK 90 CK  HK tại K (H) CK là tiếp tuyến của (H). • Chứng minh tương tự CL là tiếp tuyến của (H)(đpcm). Bài 6. • Chia các số nguyên dương từ 1 đến 2020 thành 1010 nhóm, mỗi nhóm có 2 số sao cho tổng của hai số đó bằng 2021. Cụ thể: A = {(1; 2020); (2; 2019); (3; 2018);. . . ; (1010; 1011)} • Ta có tập hợp S gồm 1011 số nguyên dương phân biệt có giá trị không quá 2020 * Trường hợp 1: Nếu 1010 số trong 1011 số của S có 2 số thuộc cùng một nhóm ở A thì bài toán được chứng minh(do 2 số thuộc cùng một nhóm ở A có tổng bằng 2021). * Trường hợp 2: Nếu 1010 số trong 1011 số của S mà mỗi số lần lượt thuộc 1010 nhóm khác nhau ở A thì theo nguyên lý Dirichlet số còn lại phải thuộc một trong các nhóm ở A. Khi đó có 2 số thuộc cùng một nhóm và 2 số này có tổng 2021(bài toán được chứng minh). Vậy trong S luôn có hai số mà tổng của chúng bằng 2021. Có gì sai sót, kính mong Thầy Cô và các bạn thông cảm(nhất là bài 6).