Đề thi học sinh giỏi môn Toán 7

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán 7

1. HỌC SINH GIỎI 8 x Bài 5 (0,5 điểm): Tỡm giỏ trị nguyờn của biến x để biểu thức B cú giỏ trị x 3 nhỏ nhất. 8 x 5 Biến đổi B 1 x 3 x 3 5 B nhỏ nhất nhỏ nhất x 3 5 Xột x 3và xột x 3 ta được cú giỏ trị nhỏ nhất bằng -5 tại x = 2 x 3 KL: Giỏ trị nhỏ nhất của B bằng -6 tại x =2 Bài 5 ( 0.5 điểm) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món: 25 y2 8(x 2016)2 . Ta cú: 25 y2 8(x 2016)2 8(x-2016)2+y2=25(*) 25 Vỡ y2 0 nờn (x-2016)2 , suy ra (x-2016)2 = 0 hoặc (x-2016)2 =1 8 +) Với (x -2016)2 =1 thay vào (*) ta cú y2 = 17 (loại) +) Với (x- 2016)2 = 0 hay x = 2016 thay vào (*) ta cú y2 =25 suy ra y = 5 hoặc y = -5 (do y  ) Cõu 5 (0,5 điểm) Tỡm tất cả cỏc bộ ba số nguyờn tố a, b, c sao cho abc < ab + bc + ca. Vỡ a, b, c cú vai trũ như nhau nờn giả sử a b c khi đú ab bc ca 3bc abc 3bc a 2 a 2 ( vỡ a là số nguyờn tố ) b 2 Với a = 2 ta cú 2bc 2b 2c bc bc 2(b c) 4c b 4 b 3 - Nếu b = 2 thỡ 4c < 2 + 4c thoả món với c là nguyờn tố bất kỡ - Nếu b = 3 thỡ 6c < 6b + 5c suy ra c < 6 vậy c = 3 hoặc c = 5 Vậy cỏc cặp số (a, b, c) cần tỡm là (2, 2, p) ; (2, 3, 3 ) ; (2, 3, 5 ) và cỏc hoỏn vị vủa chỳng , với p là số nguyờn tố . Bài 4 (1 điểm) Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x;y) sao cho: 3x + 4y – xy = 15 Bài 5. (0,5 điểm) Tỡm số tự nhiờn n để phõn số 7n 8 đạt giỏ trị lớn nhất. 2n 3 7n 8 7 2 7n 8 7 14n 16 7 5 Ta cú . . 1 2n 3 2 7 2n 3 2 14n 21 2 14n 21
2. 7n 8 5 lớn nhất khi lớn nhất 14n 21 0 và 14n – 21 cú giỏ trị nhỏ 2n 3 14n 21 21 3 nhất n và n nhỏ nhất n = 2 14 2 Bài 5 ( 0.5 điểm) Cho A = x2014 - 2013x2013 - 2013x2012 - 2013x2011 - - 2013x + 1. Tớnh giỏ trị của A khi x = 2014. Bài 5 (1 điểm). ab bc ac Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn .Tính giá trị của biểu thức a b b c a c P = ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ac Do và a,b,c khác 0 nên: a b b c a c a c a b (1) và (2) a b b c a c b c +) Từ (1) ta có: ab+ac = ac + bc ab = bc a=c +) Từ (2) ta có: ab + ac = ab + bc ac=bc a=b Vậy a=b=c nên P =1 Bài 5 ( 0.5 điểm) Tỡm x, y biết: x 2015 x 2016 y 2017 x 2018 3 Ta có x 2015 x 2015; x 2018 2018 x 2018 x x 2015 x 2018 x 2015 2018 x 3 x 2015 x 2018 3 Mà x 2015 x 2016 y 2017 x 2018 3 Nên ta có x 2016 y 2017 0 mà x 2016 y 2017 0 x 2016 x 2016 y 2017 0 x 2016 0 và y 2017 0 y 2017 Cõu 5. (0,5 điểm) Cho ba đa thức: A = 3x 2y2 2z ; B = 2z x2 4y ; C = 4y 5z2 3x với x, y, z là cỏc số khỏc 0. Chứng minh rằng trong ba đa thức trờn cú ớt nhất một đa thức cú giỏ trị õm. Ta cú: A = 3x 2y2 2z ; B = 2z x2 4y ; C = 4y 5z2 3x Nờn A + B +C = 3x 2y2 2z + 2z x2 4y + 4y 5z2 3x = x2 2y2 5z2
3. Chỉ ra với x, y, z 0 thỡ x2 2y2 5z2 <0 A + B + C < 0 Trong ba đa thức A, B, C cú ớt nhất một đa thức cú giỏ trị õm ( ĐPCM) Bài 5 (0,5 điểm) Tỡm cỏc số nguyờn x, y, z thỏa món 4x2 4x 8y3 2z2 4 Ta cú : x, y, z  nờn 4x2 M4,4xM4, 8y3 M4, 4M4 2z2 M4 zM2 Khi đú : 4x2 4x 8y3 2z2 4x x 1 8y3 2z2 chia hết cho 8, mà 4 khụng chia hết cho 4 nờn khụng cú x, y, z nguyờn thỏa món Cõu 5. (1 điểm): Cho P = x 2y 3z x 2y 3z Tớnh giỏ trị của P biết cỏc số x; y; z tỉ lệ với 5; 4; 3 x y z Theo bài ra ta cú: (1) 5 4 3 x y z x 2y 3z x 2y 3z (1) 5 4 3 4 6 x x 2y 3z 4x Từ (1) x 2y 3z (2) 5 4 5 x x 2y 3z 6x x 2y 3z (3) 5 6 5 4x 6x 2 Từ (2) và (3) P : 5 5 3 Bài 5 (0,5 điểm) Cho cỏc số a, b, c khụng õm thỏa món: a 3c 2016; a 2b 2017 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P a b c Ta cú: a + 3c = 2016 (1) và a + 2b = 2017 (2) Từ (1) a = 2016 – 3c 1 3c Lấy (2) – (1) ta được: 2b – 3c = 1 b = 2 Khi đú: 1 3c 1 6c 3c 2c 1 c P = a + b + c = (2016 – 3c) + + c = 2016 2016 . Vỡ a, b, c 2 2 2 2 2
4. 1 c 1 1 khụng õm nờn P = 2016 2016 , MaxP = 2016 c = 0 2 2 2 2 Bài 5 (0,5 điểm): Tỡm x, y, z biết rằng: x y z x y z y z 1 x z 1 x y 2 x y z Bài x y z (1) 5 y z 1 x z 1 x y 2 Áp dụng TC của dóy tỉ số bằng nhau cho 3 tỉ số đầu ta được: x y z x y z x y z (2) y z 1 x z 1 x y 2 2 x y z 0,25 - Nếu x + y + z =0 thỡ từ (1) suy ra x = y = z =0 1 - Nếu x + y + z 0 thỡ từ (2) suy ra: x + y + z = 2 x y z 1 Khi đú (1) trở thành: 1 1 1 x 1 y 1 z 2 2 2 2 2 1 x 2 0,25 1 Từ đú tỡm được: y 2 1 z 2 Bài 5 (0,5 điểm): 2 2 Cho bốn số a1,a2 ,a3 ,a4 khỏc 0 thỏa món a2 a1.a3 , a3 a2.a4 và 3 3 3 a2 a3 a4 0 . 3 3 3 a1 a2 a3 a1 Chứng minh rằng: 3 3 3 a2 a3 a4 a4 2 a2 a1 2 a3 a2 a2 a1.a3 , a3 a2.a4 a3 a2 a4 a3 3 3 3 a a a a a a a a a Do đú 1 2 3 1 . 2 . 3 1 2 3 a2 a3 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 3 3 3 3 3 3 a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a3 3 3 3 a2 a3 a4 a4 a2 a3 a4 a2 a3 a4 Bài 5: (0,5 điểm)
5. y z 1 x z 2 x y 3 1 Tỡm x,y,z biết : ( với : x,y,z 0,x+y+z 0 ) x y z x y z Bài 5: Từ đề bài và áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau y z 1 x z 2 x y 3 y z 1 x z 2 x y 3 1 2 x y z x y z x y z 1 1 1 1 x y z y z x ; x z y ; x y z 2 2 2 2 1 1 1 x 1 y 2 z 3 1 5 5 2 2 2 2 x ; y ; z x y z 2 6 6 Bài 5 (0,5 điểm) Tỡm số nguyờn x sao cho: x2 –1 x2 – 4 x2 – 7 x2 –10 0 Vỡ tớch của 4 số : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 là số õm nờn phải cú 1 số õm hoặc 3 số õm. Ta cú : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. Xột 2 trường hợp: + Cú 1 số õm : x2 – 10 < x2 – 7 x2 – 10 < 0 < x2 – 7 7< x2 < 10 x2 =9 ( do x Z ) x = 3. + Cú 3 số õm, 1 số dương. x2 – 4< 0< x2 – 1 1 < x2 < 4 do x Z nờn khụng tồn tại x Vậy x = 3 Cõu 5 (0,5 điểm) a b c Cho ba số thực a,b và c thỏa món . 2014 2015 2016 Chứng minh rằng: 4(a b)(b c) (c a)2 . a 2014k a b c Đặt k b 2015k 2014 2015 2016 c 2016k Ta cú 4(a b)(b c) 4. 2014k 2015k 2015k 2016k 4k 2 c a 2 2014k 2016k 2 4k 2 Vậy 4(a b)(b c) (c a) 2 .
6. Cõu 5. (0,5 điểm) Cho ba đa thức: A = 3x 2y2 2z ; B = 2z x2 4y ; C = 4y 5z2 3x với x, y, z là cỏc số khỏc 0. Chứng minh rằng trong ba đa thức trờn cú ớt nhất một đa thức cú giỏ trị õm. Ta cú: A = 3x 2y2 2z ; B = 2z x2 4y ; C = 4y 5z2 3x Nờn A + B +C = 3x 2y2 2z + 2z x2 4y + 4y 5z2 3x = x2 2y2 5z2 Chỉ ra với x, y, z 0 thỡ x2 2y2 5z2 <0 A + B + C < 0 Trong ba đa thức A, B, C cú ớt nhất một đa thức cú giỏ trị õm ( ĐPCM) Cõu 5. (0,5 điểm) Tỡm cỏc số nguyờn dương x, y, z thỏa món x y z xyz . Vỡ x,y,z nguyờn dương nờn ta giả sử 1 x y z 1 1 1 1 1 1 3 Theo bài ra 1 = + + = yz zx xy x2 x2 x2 x2 x2 3 x 1 Thay vào đầu bài ta cú 1 y z yz y 1 z 1 2 y 1 1 y 2 TH1: z 1 2 z 3 y 1 2 y 3 TH2: z 1 1 z 2 Do x, y, z cú vai trũ như nhau nờn cỏc số x, y, z thỏa món đề bài là : x; y; z 1;2;3 , 1;3;2 , 2;1;3 , 2;3;1 , 3;1;2 , 3;2;1  Cõu 5. (0,5 điểm) 2 x 2018 2021 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức T  2020 x 2018 2 x 2018 2021 2019 +) Ta cú T 2 . 2020 x 2018 2020 x 2018 +) Mặt khỏc x 2018 0 với mọi x 2020 x 2018 2020 với mọi x 2019 2021 T 2 với mọi x, suy ra 2020 2020
7. 2021 Min T khi x = 2018. 2020 Cõu 5. (0,5 điểm) x + 1 x + 2 x + 3 3x + 12 Tỡm x ẻ Ă biết + + = . 2018 2017 2016 2015 x + 1 x + 2 x + 3 3x + 12 Ta cú: + + = 2018 2017 2016 2015 ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ỗx + 1 ữ ỗx + 2 ữ ỗx + 3 ữ ỗx + 4 ữ ỗ + 1ữ+ ỗ + 1ữ+ ỗ + 1ữ= 3ỗ + 1ữ ốỗ2018 ứữ ốỗ2017 ứữ ốỗ2016 ứữ ốỗ2015 ứữ ổ ử x + 2019 x + 2019 x + 2019 ỗx + 2019ữ + + = 3.ỗ ữ 2018 2017 2016 ốỗ 2015 ứữ ổ ử ỗ 1 1 1 3 ữ ỗ + + - ữ(x + 2019) = 0 (1) ốỗ2018 2017 2016 2015ứữ 1 1 1 3 Do + + - ạ 0 nờn từ (1) ta cú x = - 2019 . 2018 2017 2016 2015 Kết luận Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương x, y, z sao cho 2x 3y 5z 136 2x 3y 5z 136 Ta cú 5z 136 z 3 * Với z 1 thỡ 2x 3y 131 y 4 + Nếu y 1 thỡ 2x 128 x 7 thoả món + Nếu y 2,3,4 thỡ 2x tương ứng bằng 122,104,50 đều khụng cú số mũ x nào thỏa món * Với z 2 thỡ 2x 3y 111 2x M3 nờn khụng cú x thỏa món * Với z 3 thỡ 2x 3y 11 y 2 + Nếu y 1 thỡ 2x 8 x 3 thoả món + Nếu y 2 thỡ 2x 2 x 1 thoả món Vậy bộ ba số x; y; z thỏa món là: 7;1;1 , 3;1;3 , 1;2;3 2 Cõu 4: (0.5 điểm) Cho đa thức P(x) = ax + bx + c và 2a + b = 0. Chứng tỏ rằng P(-1).P(3) 0 2 Cõu 4: (0.5 điểm) Cho đa thức P(x) = ax + bx + c và 2a + b = 0. Chứng tỏ rằng P(-1).P(3) 0 Ta cú P(-1) = a – b + c P(3) = 9a + 3b + c
8. P(3) - P(-1) = (9a + 3b + c) - (a – b + c) = 8a + 4b Mà 2a + b = 0 (GT) nờn 8a + 4b = 0 => P(3) - P(-1) = 0 => P(3) = P(-1) => P(3).P(-1) =[P(3)]2 0 => P(-1). P(3) 0. ( đpcm) Bài 4 (0,5 điểm) Cho đa thức P x ax2 bx c thỏa món 5a – b + c = 0. Chứng tỏ rằng: P(1).P(-3) 0. Ta cú P(1) = a + b + c P(- 3) = 9a - 3b + c P(1) + P(-3) = (9a - 3b + c) + (a + b + c) = 10a - 2b + 2c Mà 5a - b + c = 0 10a - 2b + 2c = 0 P(1) + P(-3) = 0 2 P(1) = - P(-3) P(1). P(-3) = - P( 3) 0 ( đpcm) Cõu 5. (0,5 điểm) Cho biết x 1  f x x 4  f x 8 với mọi giỏ trị của x . Chứng minh rằng đa thức f x cú ớt nhất hai nghiệm. Vỡ x 1  f x x 4  f x 8 với mọi giỏ trị của x nờn 1 1  f 1 1 4  f 1 8 4 1  f 4 4 4  f 4 8 5 f 9 0 5 f 4 0 f 9 0 f 4 0 x 9; x 4 là nghiệm của đa thức f x . Đa thức f x cú ớt nhất hai nghiệm. Cõu 5 (0,5 điểm) Cho ba số x, y, z R. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2x 3y 4y 5z xy yz xz 110 . P 2x 3y 4y 5z xy yz xz 110 Nhận xột: +) 2x 3y 0 với mọi x, y . +) 4y 5z 0 với mọi y, z . +) xy yz xz 110 0 với mọi x, y, z .
9. Do đú: 2x 3y 4 y 5z xy yz xz 110 0 với mọi x, y, z . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2x 3y 0 x y z 4y 5z 0 15 10 8 xy yz xz 110 xy yz xz 110 x y z Đặt: k k 0 ta được x 15k; y 10k; z 8k . Thay vào đẳng thức 15 10 8 2 k 1 xy yz xz 110 tỡm được k 1 k 1 +) Với k 1 tỡm được x 15; y 10; z 8. +) Với k 1 tỡm được x 15; y 10; z 8. Vậy: MinP 0 tại x 15; y 10; z 8. hoặc x 15; y 10; z 8. Bài 4 (0,5 điểm) Tỡm x, y N biết: 36 y2 8 x 2018 2 Hết 2 2 36 Ta cú: 8 x 2018 36 y2 36 x 2018 8 2 2 Vỡ 0 x 2018 , x Ơ , x 2018 là số chớnh phương nờn x 2018 2 0, x 2018 2 1, x 2018 2 4 2 2 y 6 + x 2018 0 x 2018 , khi đú y 36 y 6 (loai) + x 2018 2 1 y2 28 loại 2 x 2020 2 y 2 + x 2018 4 . y 4 x 2016 y 2(loai) Vậy x; y 2018;6 , 2020;2 , 2016;2  Cõu 5. (0,5 điểm) Cho đa thức f x ax2 bx c với a,b,c là cỏc số nguyờn. Biết f 1 , f 0 , f 1 đều chia hết cho 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3. Ta cú: f 0 c; f 1 a b c; f 1 a b c f 0 M3 cM3 f 1 M3 a b cM3 a bM3 1 f 1 M3 a b cM3 a bM3 2 Từ (1) và (2) suy ra a b a b M3 2aM3 aM3 (vỡ (2;3) =1) Suy ra b chia hết cho 3
10. Vậy a, b, c đều chia hết cho 3 Bài 4 (0,5 điểm) Cho (x – 4).f(x) = (x – 5).f(x + 2); Chứng tỏ rằng f(x) cú ớt nhất hai nghiệm. *Ta thấy x = 4 thỡ ta cú (4 – 4).f(4) = (4– 5).f(4 + 2) suy ra f(6) = 0 hay x = 6 là nghiệm của f(x) * Với x = 5 thỡ ta cú (5 – 4).f(5) = (5– 5).f(5 + 2)suy ra f(5) = 0 hay x = 5 là nghiệm của f(x). Vậy f(x) cú ớt nhất hai nghiệm Bài 4 (0,5 điểm) x y y z Chứng tỏ rằng nếu 2 x y 5 y z 3 z x thỡ 4 5 x y z x x y z x Ta cú: y z 3 2 1 y z z x x y 3 5 2 x y z x z x x y z x x y 2 1 2 5 5 4 10 z x y z z x y z (2) KL: 2 5 10 b) Cho đa thức f x ax3 bx2 cx d với a là số nguyờn dương. Biết f 5 f 4 2020. Chứng minh f 7 f 2 là hợp số. b) f 5 f 4 125a 25b 5c d 64a 16b 4c d 2020 61a 9b c 2020 . f 7 f 2 343a 49b 7c d 8a 4b 2c d 335a 45b 5c 305a 45b 5c 30a 5 61a 9b c 30a 5.2020 30a 10 1010 3a . Vỡ a nguyờn dương nờn 10 1010 3a Ơ *và 10 1010 3a 10 Vậy f 7 f 2 là hợp số. Bài 4 (0,5 điểm) Cho hai số nguyờn m,n . Chứng minh rằng (m2 + n 2) chia hết cho 3 khi và chỉ khi m và n chia hết cho 3. + Với m và n chia hết cho 3 : ị m2,n 2 cũng chia hết cho 3 . Từ đú cú: (m2 + n 2)M3
11. + Với (m2 + n 2)M3 : * Nếu m và n chia hết cho 3 thỡ cú điều phải chứng minh * Nếu m và n cựng khụng chia hết cho 3 thỡ m2 và n 2 chia cho 3 dư 1 ị (m2 + n 2) chia 3 dư 2 (Vụ lý) * Nếu trong 2 số m và n cú 1 số chia hết cho 3 và số cũn lại khụng chia hết cho 3 thỡ (m2 + n 2) chia 3 dư 1 (Vụ lý) + Kết luận Cõu 5 (0,5 điểm) a 1 b 1 Cho cỏc số tự nhiờn a, b (a, b ≠ 0) sao cho cú giỏ trị là số tự nhiờn. Gọi d b a là ước chung lớn nhất của a và b. Chứng minh rằng: a b d 2 a 1 b 1 a2 b2 a b Ta cú cú giỏ trị là số tự nhiờn b a ab a2 b2 a bMab Lại cú ƯCLN(a,b)=d aMd;bMd a2 ;b2 ;abMd 2 a2 b2 a bMd 2 a bMd 2 a b d 2 (đpcm) bz cy cx az ay bx Cõu 5: (1.0đ) Biết (với a, b, c 0). a b c a b c Chứng minh rằng: . x y z bz cy cx az ay bx abz acy bcx abz acy bcx a b c a 2 b2 c2 abz acy bcx abz acy bcx 0 0 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 bz cy y z Suy ra: 0 , do đú bz = cy hay (1) a b c cx az z x 0, do đú cx = az hay (2) b c a a b c Từ (1) và (2) suy ra . x y z Bài 4 (1,0 điểm).
12. a. Cho năm số a, b, c, d, e khỏc 0 thỏa món điều kiện b2 ac; c2 bd; d 2 ce . a4 b4 c4 d 4 a Chứng minh rằng: . b4 c4 d 4 e4 e Bài 4 (1,0 điểm). a b c d a, Từ: b2 ac; c2 bd; d 2 ce suy ra . ( 0,125 điểm) b c d e a b c d Đặt: k a bk,b ck,c dk,e dk ( 0,125 điểm) b c d e a4 b4 c4 d 4 (bk)4 (ck)4 (dk)4 (ek)4 (b4 c4 d 4 e4 )k 4 Ta cú: k 4 b4 c4 d 4 e4 b4 c4 d 4 e4 b4 c4 d 4 e4 (1) a a b c d Ta lại cú: . . . k.k.k.k k 4 (2) e b c d e a4 b4 c4 d 4 a Từ (1) và (2) ta suy ra: ( đpcm ). ( 0,25 điểm) b4 c4 d 4 e4 e Bài 5: (0,5 điểm) Cho a, b, c, d là cỏc số khỏc 0 và b2 = ac, c2 = bd. Chứng minh rằng: a3 + b3 +c3 a = b3 +c3 +d3 d Cho a, b, c, d là cỏc số khỏc 0 và b2 = ac, c2 = bd. Chứng minh rằng: a3 + b3 +c3 a = b3 +c3 +d3 d a b b c Ta cú: b2 ac và c2 bd . b c c d a b c a b c a b c Suy ra ( )3 ( )3 ( )3 . . b c d b c d b c d a3 b3 c3 a b3 c3 d3 d a3 + b3 +c3 a = b3 +c3 +d3 d Cõu 5 (0,5 điểm) Cho a,b,c, x, y, z là cỏc số nguyờn dương và ba số a,b,c khỏc 1 thoả món: a x bc;b y ca;cz ab . Chứng minh rằng: x y z 2 xyz.
13. yz z y Ta cú a xyz a x bc yz b y . cz ca z . ab y a z .a y .cz .b y a z .a y .caab a z y 2.bc a z y 2.a x a x y z 2 Lập luận ra đpcm Bài 4 (0,5 điểm) x y y z Chứng tỏ rằng nếu 2 x y 5 y z 3 z x thỡ 4 5 x y z x x y z x Ta cú: y z 3 2 1 y z z x x y 3 5 2 x y z x z x x y z x x y 2 1 2 5 5 4 10 z x y z z x y z (2) KL: 2 5 10 Cõu 5(1điểm) ab bc ca Cho a,b,c là ba số khỏc 0 thỏa món: ( với giả thiết cỏc tỉ số đều cú nghĩa) a b b c c a ab bc ca Tớnh giỏ trị của biểu thức M = a2 b2 c2 ab bc ca abc abc abc Ta cú: a b b c c a ac bc ab ac bc ab 1 1 1 ac bc ab ac bc ab a b c ab bc ca Do đú: M 1 a2 b2 c2 a c m Bài 4 (0,5 điểm). Cho cỏc số hữu tỷ x , y , z . Biết b d n a m ad bc 1; cn dm 1; b,d,n 0 . So sỏnh y với t, biết t với b n 0 b n ad bc 1; cn dm 1 ad bc cn dm ad dm cn bc d a m c b n a m c suy ra y =t b n d Vậy