Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 THPT (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Khối 12 THPT (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT (Thời gian làm bài 180’- Không kể thời gian phát đề) MÔN THI: TOÁN Bài 1. ( 2 điểm) 2 1 x sin 2 khi x 0 Cho hàm số f(x) = x 0 khi x=0 4 2 Chứng minh rằng 1 x sin xdx = f’(0). 4 Bài 2. ( 2 điểm) y=x2-6x+5 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền y=0 khi quay quanh trục oy. Bài 3. ( 2 điểm) Tìm m để bất phương trình: mx2 + mx + m -2 0 có nghiệm x (1;2). Bài 4. ( 2 điểm) Giải và biện luận phương trình: 4x+1 +2(m-1) x-1 =(m+1)4x 2 3x 1 theo tham số m. Bài 5. ( 2 điểm) Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = - 1 2 Bài 6. ( 2 điểm) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: 1 1 1 3 cos A cos B cosC 2 3 thì đều. sin A sin B sin C 2 Bài 7. ( 2 điểm) 2 3x 1 Tìm giới hạn: lim x 0 sin 2 2x Bài 8. ( 2 điểm) Giải và biện luận theo m bất phương trình: 2 x (m 1)x m (x m)log 1 (x 3) 3 Bài 9. ( 2 điểm) x 2 Trong mặt phẳng oxy cho hypebol (H): y 2 1 và đường tròn (C): x2+y2=9. 9 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (H) kẻ qua điểm M(3;1). 2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (H) và (C). – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Bài 10. ( 2 điểm) x 2 Cho elip (E): y 2 1 và hai đường thẳng (d ): x-ky=0, (d ): kx+y=0. (d ) cắt 4 1 2 1 elip (E) tại A và C, (d2) cắt elip (E) tại B và D. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD. MÔN THI : TOÁN Bài 1 2 điểm 1 x 2 sin 2 1 f’(0)=lim x lim xsin 0,25 x 0 x x 0 x 2 1 vì - ∆x ∆x sin ∆x và lim (- ∆x )=lim ( ∆x )=0 0,25 x 2 x 0 x 0 1 lim xsin 0 f’(0)=0 (1) 0,50 x 0 x 2 4 0 4 Mặt khác: 1 x 2 sin xdx 1 x 2 sin xdx 1 x 2 sin xdx 0,25 0 4 4 Đặt x=-t thì dx=-dt , với x=- /4 thì t= /4, với x=0 thì t=0 0,25 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. 4 0 4 1 x 2 sin xdx - 1 t 2 sin t dt + 1 x 2 sin xdx 0 4 4 0,25 4 4 4 4 = 1 t 2 sin tdt 1 x 2 sin xdx 1 x 2 sin xdx 1 x 2 sin xdx 0 (2) 0 0 0 0 0,25 Từ (1) và (2) suy ra diều phải chứng minh. Bài 2 2 điểm y 1 3 5 x O A C 0,5 -4 B Vẽ đồ thị hàm số y=x2-6x+5 Cung AB có phương trình x = y 4 3 Cung BC có phương trình x = y 4 3 0,5 0 0 2 V y 4 3 dy ( y 4 3) 2 dy oy 0,5 4 4 0 3 0 12 y 4dy 8 (y 4) 2 = 64 0,5 4 4 Bài 3 2 điểm Gián tiếp loại bỏ f(x) = mx2 + mx + m -2 thì bất phương trình có nghiệm x (1;2). 7 0,5 Bài 4 2 điểm x 1 – Website chuyên đề1 thi – tài liệu file word mới nhất x 4
4. Điều kiện 4x2-3x-1 0 0,25 4x 1 4x 1 Phương trình - (m+1) +2(m-1) = 0 x 1 x 1 0,25 t 0 Đặt t =4x 1 điều kiện x 1 t 2 0,25 t2-(m-1)+2(m-1)=0 Phương trình trở thành 0,25 0 t 2 t =2 Giải ra ta được 1 t =m-1 2 0,25 m 1 Nghiệm t thỏa mãn 2 m 3 0,25 2 Theo cách đặt ta tính được x = m 2m 2 m 2 2m 3 0,25 m<1 Kết luận: . m=3 thì PT vô nghiệm m 2 2m 2 . 1 m 3 thì PT có nghiệm duy nhất x = m 2 2m 3 0,25 Bài 5 2 điểm x Nhận thấy sin =0 x=k2 (k Z) không phải nghiệm của PT 0,25 2 x x x x x PT 2cosxsin +2cos2xsin +2cos3xsin +2cos4xsin =-sin 0,50 2 2 2 2 2 9x 9x 2t sin =0 =t x= (t Z). 2 2 9 2t KL: x= (t Z). 9 0,50 Bài 6 2 điểm 1 1 1 Ta có cosA+cosB+cosC+ sin A sin B sin C = A B C 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4sin sin sin 1 2 2 2 4 sin A sin B sin C 4 sin A sin B sin C 1+ – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. 3 1,0 A B C 3 1 1 1 3 1 1 1 4 4 4 4sin sin sin . 1 2 2 2 4 sin A sin B sin C 4 sin A sin B sin C 3 3 3 1 1 1 1 4 1 4 A B C 4 A B C 16.8cos cos cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 4. 1 3 2 3 2 4 3 A B C 2 0,5 cos cos cos 2 2 2 A B C 3 3 3 4sin sin sin 2 2 2 4sin A 4sin B 4sin C 1 1 1 1 1 1 sin A sin B sin C A B C cos cos cos Dấu ‘=’ xảy ra khi 2 2 2 A B C 3 3 cos cos cos 2 2 2 8 A=B=C ∆ABC đều. 0,5 Bài 7 2 điểm 2 2 3x 1 e x ln 3 1 x 2 ln3 Ta có : lim lim . x 0 2 x 0 2 2 2 1,5 sin 2x x ln3 sin x.4cos x 1 ln3 4 0,5 Bài 8 2 điểm Điều kiện x>-3 0,25 Bất PT (x-m) x-1+log3(x+3) 0 0,25 Đặt f(x)= x-1+log3(x+3) f(x) đồng biến trong (-3;+ ) 0,25 f(0)=0, nên x 0 f(x) f(0)=0 hay f(x) cùng dấu với x. 0,25 (x-m)x 0 Do đó BPT x>-3 Từ đó suy ra -3<x 0 Nếu m 0 thì nghiệm của BPT là: x m – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. 0,25 -3<x m Nếu -3<m<0 thì nghiệm của BPT là: x 0 0,25 Nếu m=-3 thì nghiệm là x 0. Nếu m<-3 thì nghiệm là x 0. 0,25 0,25 Bài 9 2 điểm 1. Phương trình đường thẳng qua M có dạng : a(x-3)+b(y-1)=0 (a2+b2 0). 0,25 9a2-b2=(3a+b)2 0,25 ax+by-3a-b=0 đường thẳng này tiếp xúc với (H) 3a+b 0 2b(b+3a)=0 b=0 chọn a=1,b=0 PT tiếp tuyến là : x-3=0 0,5 3a+b 0 2. Xét tiếp tuyến cùng phương với oy có PT : x-a=0. 0,25 9=a2 Để đường thẳng nay tiếp xúc với (H) và (C) thì a =3 a= 3 a 0 0,25 Có hai tiếp tuyến chung thỏa mãn bài toán là x-3=0 và x+3=0. Xét tiếp tuyến không cùng phương với oy có PT y=kx+b kx-y+b=0 0,25 Để đường thẳng nay tiếp xúc với (H) và (C) hệ sau có nghiệm: 9k2-1=b2 9k2=b2+1 b =3k 2 1 Hệ vô nghiệm. 9k2+9=b2 b 0 KL: có 2 tiếp tuyến chung là: x-3=0 và x+3=0. 0,25 Bài 10 2 điểm Tọa độ giao điểm của (d1) và (E) là nghiệm của hệ : x 2 x ky y 2 1 16(k 2 1) 4 2 AC2 = 0,50 y 4 k 2 x ky 4 k 2 Tọa độ giao điểm của (d2) và (E) là nghiệm của hệ : x 2 y kx y 2 1 16(k 2 1) 4 2 BD2 = x 1 4k 2 0,50 y kx 1 4k 2 2 2 2 2 2 2 16 (1 k ) Vì (d1)  (d2) nên AC  BD 4S = AC .BD = (4 k 2 )(1 4k 2 ) – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. 162 (1 x) 2 (x 1)(9x 9) Đặt x=k2 0, xét f(x)= , f’(x)= (4 x)(1 4x) (1 4x) 2 (x 4) 2 f’(0)=0 x=1. 1 Chú ý rằng: lim f (x) x 4 0,25 Bảng biến thiên: x 0 1 + f’(x) - 0 + 1 1 0,25 f(x) 4 4 4 25 1 Từ bảng biến thiên Maxf (x) khi x=0 k=0 0; 4 4 Minf (x) khi x=1 k= 1 0; 25 16 Vậy Max SABCD=4 khi k=0, Min SABCD= khi k= 1. 5 0,50 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất