Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 (Có đáp án chi tiết)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 12 (Có đáp án chi tiết)

1. kỳ thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Môn thi Toán Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. Bài 1 (4 điểm) x 2 1. Tìm trên trục hoành các điểm có thể kẻ đến đồ thị hàm số y hai tiếp tuyến tạo x 1 với nhau một góc 450. 2. Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi: y log2 x ; x + y = 3; y = 0. Bài 2 (4 điểm) x 2 m 2 x 2m 0 1. Tìm m để hệ có nghiệm. 2 x m 7 x 7m 0 2. Giải phương trình x 2 2x 3 x 3 . Bài 3 (4 điểm) 1. Giải phương trình cos6x – cos4x + 4cos3x + 4 = 0. 2. Trong tam giác ABC, chứng minh rằng: 1 13 cos A cos B cosC . cos A cos B cosC 6 Bài 4 (4 điểm) 1. Giải phương trình x 3 log3 x 5 log5 x 3  x 2 . 1 2x 3 1 3x 1 2. Tính lim . x 0 x Bài 5 (4 điểm) 1. Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết rằng qua đường thẳng 2x 2y z 3 0 có hai mặt phẳng vuông góc với nhau tiếp xúc với mặt cầu. x 2y 2z 1 0 2. Với a, b, c dương và 1 ≤ R, chứng minh rằng: a b c a 1 b 1 c 1 b c c a a b b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 1 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh số báo danh 1 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Hướng dẫn chấm bài thi học sinh giỏi lớp 12 THPT Môn: toán (đáp án này có 3 trang) Bài ý Nội dung Điểm TXĐ D = R\{1} M Ox M(x 0; 0), đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình: y = k(x – x0) ( ) x 2 k x x0 x 1 ( ) là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ: 2 có nghiệm x 2x 2 k x 1 x 0 x 2 x 2 2x x x x x 1 x 2x  0 2x 0.5đ 2 0 0 0 0 1 x 1 x 1 x Voi x0 1 x0 1 Với x0 = 0 k = 0, 2x0 4x0 Với x0 = k = 2 0.5đ x0 1 x0 1 k k 4x 0.5đ Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: tg450 1 2 0 = 1 I 2 ± 1 k1k2 x0 1 x 3 2 2 0 0.5đ M1(3 2 2 ; 0), M2(3 2 2 ; 0). Giao điểm của đồ thị hàm số y log2 x , và đường thẳng x +y = - 3 là A(2; 1) 2 3 0.5đ V = log xdx 3 x 2dx =V + V 2 1 2 1 2 2 2 V = = lo g xdx log= e. ln xdx y 1 2 2 2 1 1 0.5đ = .log2 e. 2ln 2 1 3 0.5đ 2 1 1 V 2 = 3 x dx = = 3 O 1 2 3 x 2 0.5đ 1 V= [ +log e. 2ln 2 1 ] (đvtt) 3 2 x2 m 2 x 2m 0 (1) 2 x m 7 x 7m 0 (2) 2 2 1 = (m – 2) ≥ 0 và 2 = (m – 7) ≥ 0 m = 2 hoặc m = 7 thì hệ phương 0.5đ trình vô nghiệm. II 1 m 2 + Với và m 0 thì tập nghiệm của (1) là D1  R và tập nghiệm của (2) m 7 - là D2  R nên hệ phương trình vô nghiệm. 0.5đ Với m < 0 tập nghiệm D1= (m; 2) và tập nghiệm D2= (-7; -m) 2 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. Bài ý Nội dung Điểm hệ phương trình luôn có nghiệm. 0.5đ Hệ phương trình luôn có nghiệm với m 0 hàm số đồng biến trên (1; t 2 t 2 3 0.5đ ] 2 2 3 3 13 0.5đ t (1; ] thì f(1) 5 3 5 x 3 0.5đ Hàm số y = log3 x 5 log5 x 3 đồng biến trên (5; + ) 1 0.5đ x 2 5 Hàm số y = có y’= < 0 nghịch biến trên (5; + ) x 3 x 3 2 0.5đ IV phương trình có nghiệm duy nhất x = 8 1 2x 3 1 3x 3 1 3x 3 1 3x 1 L = lim x 0 x 3 2 3 1 2x 1 1 3x 1 =lim 1 3x + lim = L1 + L2 0.5đ x 0 x x 0 x 0.5đ 3 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. Bài ý Nội dung Điểm 3 1 2x 1 3 2x L 1 = lim 1 3x =lim 1 3x = 1 x 0 x x 0 x 1 2x 1 0.5đ 3 1 3x 1 3x L = lim =lim = 1 2 2 x 0 x x 0 x 3 1 3x 3 1 3x 1 0.5đ Vậy L = 2 2x 2y z 3 0 (P) I (P) ta nhận thấy và (P) (Q)  0.5đ x 2y 2z 1 0 (Q) I (Q) hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng phân giác 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu cũng là hai mặt phẳng phân giác của góc sinh bởi (P) và (Q). Nên phương trình 2 mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là: 1 x 4y z - 2 0 |2x + 4y – z -3| = |x – 2y -2z -1| 0. 5đ 3x - 3z - 4 0 1 4 1 2 4 0.5đ Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/ ) = = 3 3 16 0.5đ Phương trình mặt cầu cần lập là: x 1 2 y 1 2 z 1 2 9 Giả sử a ≥ b ≥ c > 0 a a 1 b b 1 c c 1 0 1 1 1 1 1 1 0.5đ b c b c c a c a a b a b 1 a 1 1 b 1 V a 1 1 b 1 1 b c b c c a c a 1 c 1 0.5đ c 0 a b a 1 b 1 b 1 a b c 1 a c c 1 b c a 1 b a a 1 b 1 b c b 1 c 1 c a c 1 a 1 a 1 c a b 1 c a 2 c 1 0 0.5đ c a c 1 b 1 1 1 a 1b 1 a b 1 1 1 1 b c b c c a c a 1 1 b 1c 1 b c 1 1 1 1 c a c a a b a b 1 1 c 1a 1 c a 0 1 1 1 1 0.5đ a b a b b c b a Điều này luôn đúng với mọi a ≥ b ≥ c > 0 và > 1, R dấu bằng xảy ra khi a = b = c > 0. 4 – Website chuyờn đề thi – tài liệu file word mới nhất