Đề thi khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Yên Lạc 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 10 - Năm học 2018-2019 - Trường THPT Yên Lạc 2 (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 TRƯỜNG THPT YấN LẠC 2 ĐỀ THI MễN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019 Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề. 1 Cõu 1 (2,0 điểm). Tỡm tập xỏc định của hàm số y x2 7x 6 1 1 2x Cõu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số vày =hàmx2 +số2 mx - 3m . Tỡm y để= -hai2 xđồ+ 3 m thị đó cho cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A và B sao cho AB = 4 5 . Cõu 3 (2,0 điểm). Tỡm m để phương trỡnh 2x2 2x m x 1 cú nghiệm. x 1 Cõu 4 (2,0 điểm). Tỡm tham số m để bất phương trỡnh 1 cú tập nghiệm là Ă . mx2 4x m 3 Cõu 5 (2,0 điểm). Giải phương trỡnh 2x2 - 6x - 1= 4x + 5 ỡ ù 4x + 10y - 2x + 2y = 4 ù Cõu 6 (2,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh ớ 2 2x2 + 7xy + 5y2 ù x + 2y + = 24 ợù 3 Cõu 7 (2,0 điểm). Cho tam giỏc ABC đều cạnh 3a. Lấy cỏc điểm M, N lần lượt trờn cỏc cạnh BC, CA sao cho BM =a, CN=2a. Gọi P là điểm nằm trờn cạnh AB sao cho AM vuụng gúc với PN. Tớnh độ dài PN theo a. Cõu 8 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC cú BC 2AB , phương trỡnh đường trung tuyến xuất phỏt từ đỉnh làB d : x y 2 . Biết0 ãABC 12 0và0 A 3;1 . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh cũn lại của tam giỏc. Cõu 9 (2,0 điểm). Cho tam giỏc ABC gọi I là tõm đường trũn nội tiếp DABC , biết IG ^ IC . a + b + c 2ab Chứng minh rằng = (Với AB = c, BC = a,CA = b ). 3 a + b 3 Cõu 10 (2,0 điểm). Cho cỏc số thực a,b,c 0 thỏa món a b c . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất 2 1 1 1 của S a2 b2 c2 . b2 c2 a2 Hết Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu.Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: . . . . .; Số bỏo danh
2. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 (Đỏp ỏn cú 05 trang) ĐỀ THI MễN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019 I. LƯU í CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh làm theo cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn. II. ĐÁP ÁN: Cõu Nội dung trỡnh bày Điểm 1 2 1 (2,0 điểm). Tỡm tập xỏc định của hàm số y x 7x 6 1 1 2x ùỡ x2 - 7x + 6 ³ 0 Hàm số cú xỏc định khi và chỉ khi ớù ù 0,5 ợù 1- 1- 2x > 0 ùỡ ộx Ê 1 ùỡ x2 - 7x + 6 ³ 0 ù ờ Û ớù Û ớù ờx ³ 6 ù ù ở 0,5 ợù 1- 1- 2x > 0 ù ợù - 1 - 1 Û D '> 0 Û Û ờ . 0,5 ởờm < - 4 Gọi A(x1;- 2x1 + 3); B(x2 ;- 2x2 + 3) với x1; x2 là nghiệm phương trỡnh (*) x1 x2 2 m 1 Theo Vi-et ta cú: x1.x2 3 m 1 0,5 2 2 2 Ta cú: AB 5 x1 x2 5 x1 x2 20x1.x2 20 m 1 60 m 1 2 2 AB 4 5 20 m 1 60 m 1 4 5 m 1 2 m 1 4 0 0,5 m 0;m 5. So sỏnh với điều kiện ta được m=0 và m=-5 3 (2,0 điểm). Tỡm m để phương trỡnh 2x2 2x m x 1 cú nghiệm. x 1 Ta cú 2 2 2 1 x x m x 2 0,5 x 4x m 1 0(*)
3. 2 2 (*) x 4x 1 m . Xột y x 4x và y 1 m 0,5 x 1 2 + ∞ -3 + ∞ y 0,5 -4 Ta cú bảng biến thiờn hàm số y x2 4x là: Phương trỡnh đó cho cú nghiệm khi và chỉ khi (*) phải cú nghiệm x 1 hay 0,5 1 m 4 m 5 x 1 (2,0 điểm). Tỡm tham số m để bất phương trỡnh 2 1 cú tập 4 mx 4x m 3 nghiệm là Ă . Để bất phương trỡnh cú tập nghiệm Ăta cần cú mx2 4x m 3 với0 x Ă m 0 m 0 m 1 0,5 ( m =0 khụng thỏa món) 2 0 m 3m 4 0 m 4 Với m 1 . Khi đú ta cú mx2 4x m 3 0 với x Ă Bpt x 1 mx2 4x m 3 mx2 5x m 4 0 (1) 4 41 m 2 2 Bpt cú tập nghiệm Ă (1) 0 4m 16m 25 0 0,5 4 41 m 2 4 41 Mà m 1 m 2 Với m 4 . Khi đú ta cú mx2 4x m 3 0 với x Ă Bpt x 1 mx2 4x m 3 mx2 5x m 4 0 (2) 4 41 m 2 2 Bpt cú tập nghiệm Ă (2) 0 4m 16m 25 0 0,5 4 41 m 2 4 41 Mà m 4 m 2 4 41 4 41 KL: m ; m 0,5 2 2 5 (2,0 điểm). Giải phương trỡnh 2x2 - 6x - 1= 4x + 5
4. 4 Điều kiện: x ³ - . 5 0,5 Đặt t = 4x + 5 ị t ³ 0 t 2 - 5 Ta cú x = thay vào ta được phương trỡnh sau: 4 0,5 t 4 - 10t 2 + 25 6 2. - (t 2 - 5)- 1= t Û t 4 - 22t 2 - 8t + 77 = 0 16 4 Û (t 2 + 2t - 7)(t 2 - 2t - 11)= 0 0,5 ộ ờt1 = - 1- 2 2 ờ t = - 1+ 2 2 ột = - 1+ 2 2 ộx = 1- 2 ờ2 t³ 0 ờ ờ Û ờ ơ ắắđ ờ ị ờ 0,5 ờt = 1+ 2 3 t = 1+ 2 3 = + ờ3 ởờ ởờx 2 3 ờ ởờt4 = 1- 2 3 ỡ ù 4x + 10y - 2x + 2y = 4 ù 6 (2,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh ớ 2 2x2 + 7xy + 5y2 ù x + 2y + = 24 ợù 3 Đặt a 4x 10y;b 2x 2y a,b 0 ùỡ a - b = 4 ù ùỡ a - b = 4 0,5 2 2 Û ù Khi đú hệ trở thành ớ a + b ab ớ 2 2 ù + = 24 ợù a + b + 2ab = 144 ợù 6 3 ộùỡ a - b = 4 ộùỡ a = 8 ờớù ờớù ùỡ a - b = 4 ờù a + b = 12 ờù b = 4 ỡ ù ợù ợù a,b³ 0 ù a = 8 Û ớ Û ờ Û ờ ơ ắ ắđ ớù 0,5 ù 2 ờỡ ờỡ ù = ợù (a + b) = 144 ờù a - b = 4 ờù a = - 4 ợù b 4 ờớ ờớ ởờợù a + b = - 12 ởờợù b = - 8 ỡ ùỡ a = 8 ù 4x + 10y = 8 ùỡ 2x + 5y = 32 Với ớù Û ớù Û ớù 0,5 ù b = 4 ù ù x + y = 8 ợù ợù 2x + 2y = 4 ợù 8 16 Giải hệ trờn ta được x ; y . 0,5 3 3 (2,0 điểm). Cho tam giỏc ABC đều cạnh 3a. Lấy cỏc điểm M, N lần lượt trờn cỏc 7 cạnh BC, CA sao cho BM =a, CN=2a. Gọi P là điểm nằm trờn cạnh AB sao cho AM vuụng gúc với PN. Tớnh độ dài PN theo a. A P N 0,5 B M C   Đặt AP xAB x 0     1   1   2  1  Ta cú: AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC 3 3 3 3
5.     1  PN PA AN xAB AC 3 uuur uuur 2  1   1  AM ^ PN Û AM.PN = 0 Û AB AC xAB AC 0 3 3 3     2 2x 2 1 2 2 x 2 0 a a a AB.AC 0 AB.AC a cos60 0,5 3 9 9 3 2 2 2x 2 1 2 2 x a 2x 1 2 x 1 4 a a 0 0 x 3 9 9 3 2 3 9 9 3 2 15      2 4 1 2 4 1 Khi đú PN AB AC PN AB AC 15 3 15 3 0,5 16 1 8 a2 21 a2 a2 . 225 9 45 2 225 21 PN 0,5 15 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC cú BC 2AB , phương trỡnh đường trung tuyến xuất phỏt từ đỉnh Blà 8 d : x y 2 0 . Biết ãABC 1200 và A 3;1 . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh cũn lại của tam giỏc. B A C M 0,5 Đặt AB a a 0 Ta cú: AC AB2 AC 2 2AB.ACcos1200 a 7 AB2 BC 2 AC 2 a2 4a2 7a2 a 3 BM 2 4 2 4 2 3a2 7a2 Ta cú AB2 BM 2 a2 AM 2 4 4 0,5 Suy ra tam giỏc ABM vuụng tại B. Khi đú phương trỡnh AB: x y 2 0 B là giao của AB và BM B 2;0 0,5 6 Ta cú: AB d A, BM 2 a 2 BM 2 6 3 0,5 Gọi M m;2 m . BM m 2 2 2 M là trung điểm AC nờn C 2 3;4 3 hoặc C 2 3;4 3 (2,0 điểm). Cho tam giỏc ABC gọi I là tõm đường trũn nội tiếp DAB ,C biết 9 a + b + c 2ab IG ^ IC . Chứng minh rằng = (Với AB = c, BC = a,CA = b ). 3 a + b
6. C N I G 0,5 A B M    Ta chứng minh aIA bIB cIC 0       1   a IC CA b IC CB cIC 0 CI a.CA b.CB a b c    a 1  b 1  GI CI CG CA CB a b c 3 a b c 3 0,5     Khi đú 2a b c CA 2b a c CB aCA bCB 0   ab CA.CB b 2a b c a 2b a c 0 0,5   Do ab CA.CB ab abcosC ab 1 cosC 0 Nờn ta cú: b 2a b c a 2b a c 0 a b c 2ab 0,5 b 3a a b c a 3b a b c 0 6ab a b a b c 3 a b 3 (2,0 điểm). Cho cỏc số thực a,b,c 0 thỏa món a b c . Tỡm giỏ trị nhỏ 2 10 1 1 1 nhất của S a2 b2 c2 . b2 c2 a2 Ta thấy 1 1 1 1 1 1 S a2 b2 c2 0,5 2 2 2 2 2 2 16b16b 16c16c 16a 16a 16 16 16 a2 a2 a2 1717 1717 1717 0,5 1616b32 1616b32 1616b32 a b c 1 17 17 17 17 3 1717 0,5 8 16 8 16 8 16 8 5 5 5 16 b 16 c 16 a 16 a b c 3 17 3 17 3 17 5 15 2 217 2a2b2c 2a 2b 2c 217 3 0,5 3 17 1 Vậy MinS . Dấu “=” xảy ra a b c . 2 2