Đề thi khảo sát lần 2 môn Toán Lớp 11 - Năm học 2015-2016 - Trường THPT Lạng Giang số 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát lần 2 môn Toán Lớp 11 - Năm học 2015-2016 - Trường THPT Lạng Giang số 1 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO B ẮC GIANG ĐỀ THI KH ẢO SÁT L ỚP 11 L ẦN 2 TR ƯỜNG THPT L ẠNG GIANG S Ố 1 NĂM H ỌC 2015 – 2016 MÔN: TOÁN Th ời gian: 150 phút 3x − 2 Câu 1. (1 điểm) Cho hàm s ố y = có đồ th ị (C). Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến c ủa (C) bi ết x −1 ti ếp tuy ến song song v ới đường th ẳng y= − x + 3 . Câu 2. (1 điểm) Cho hàm s ố yx=+33 mx 22 + 3( m −+− 1) xm 2 3 m . Tìm m để ph ươ ng trình y '= 0 có 2+ 2 ≤ 2 nghi ệm phân bi ệt x1, x 2 th ỏa mãn x1 x 2 10 . Câu 3. (1 điểm) a. Gi ải ph ươ ng trình: 2sin2 2x+ sin7 x − 1 = sin x 2 b. Tính giá tr ị bi ểu th ức: A =(1 + 3sin2α )(1 + 4cos 2 α ) , biết cos 2 α = − . 3 x +4 − 3 Câu 4. (1 điểm) Tính gi ới h ạn : L = lim . x→5 25 − x2 1+ 2 = Câu 5. (1 điểm) Cho n là s ố nguyên d ươ ng th ỏa mãn điều ki ện: Cn C n 55 . Tìm s ố hạng không 3 ch ứa x trong khai tri ển (2x− ),n x ≠ 0 . x Câu 6. (1 điểm) Trong c ụm thi để xét công nh ận t ốt nghi ệp THPT thí sinh ph ải thi 4 môn trong đó có 3 môn b ắt bu ộc là Toán, V ăn, Ngo ại ng ữ và m ột môn do thí sinh t ự ch ọn trong s ố các môn: V ật lý, Hóa h ọc, Sinh h ọc, L ịch s ử và Địa lí. Tr ường A có 30 thí sinh đă ng kí d ự thi, trong đó có 10 thí sinh ch ọn môn Địa lý. L ấy ng ẫu nhiên 5 h ọc sinh bất kì trong s ố 30 h ọc sinh đã đă ng kí d ự thi c ủa tr ường A. Tính xác su ất để trong 5 h ọc sinh có nhi ều nh ất 2 h ọc sinh ch ọn môn Địa lí. Câu 7. (1 điểm) Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC vuông t ại A , AB= AC = a , I là trung điểm c ủa SC , hình chi ếu vuông góc c ủa S lên (ABC) là trung điểm H của BC , bi ết góc gi ữa SA và mặt ph ẳng (ABC) bằng 60 0 . Ch ứng minh (SBC )(⊥ ABC ) và tính kho ảng cách t ừ I đến (SAB) . Câu 8. (1 điểm) Trong m ặt ph ẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD v ới AB // CD có di ện tích 1 1 1 bằng 14, điểm H (− ;0) là trung điểm c ủa c ạnh BC và I( ; ) là trung điểm c ủa AH. Vi ết ph ươ ng 2 4 2 trình đường th ẳng AB bi ết đỉnh D có tung độ dươ ng và D thu ộc đường th ẳng d: 5x− y + 1 = 0 3x2++−+ 12 y 2 4 xy 9( x 2)2 y xy = 0 Câu 9. (1 điểm) Gi ải h ệ ph ươ ng trình  (x , y ∈ ℝ ) 5x2− 7 y 2 + xy = 15 Câu 10. (1 điểm) Cho các s ố th ực không âm a, b, c th ỏa mãn a2+ b 2 + c 2 −3 b ≤ 0 . Tìm giá tr ị nh ỏ 1 4 8 nh ất của bi ểu th ức sau: P = + + (a+ 1)2 (b + 2) 2 ( c + 3) 2 Họ và tên: . SBD: L ớp: === H ẾT===
2. HƯỚNG D ẪN CH ẤM MÔN TOÁN THI KH ẢO SÁT L ẦN 2 L ỚP 11 N ĂM H ỌC 2015- 2016 Câu Nội dung Điểm 3x − 2 Cho hàm s ố y = có đồ th ị (C). Vi ết ph ươ ng trình ti ếp tuy ến c ủa (C) bi ết ti ếp x −1 tuy ến song song v ới đường th ẳng y= − x + 3 . −1 y ' = (x − 1) 2 Câu 1 Vì ti ếp tuy ến song song v ới đường th ẳng y = -x+3 nên hoành độ ti ếp điểm là nghi ệm 0,25 (1 điểm) −1 của ph ươ ng trình = − 1 − 2 (x 1) x = 0 ⇔(x − 1)2 =⇔ 1  0,25 x = 2 +) x=0, y (0) = 2 PTTT c ần l ập là y= − x + 2 0,25 +) x=2, y (2) = 4 PTTT c ần l ập là y= − x + 6 0,25 Cho hàm s ố yx=+33 mx 22 + 3( m −+− 1) xm 2 3 m . Tìm m để ph ươ ng trình y '= 0 có 2 2+ 2 ≤ nghi ệm phân bi ệt x1, x 2 th ỏa mãn x1 x 2 10 y'= 3 x2 + 6 mx + 3( m 2 − 1) Câu 2 = ⇔∆>⇔2 − 2 −> 0,25 y ' 0 có hai nghi ệm phân bi ệt xx1, 2 '0 9 mm 9( 1)0 (luôn đúng v ới (1 điểm) mọi m) do dó v ới m ọi m thì ph ươ ng trình y '= 0 luôn có hai nghi ệm phân bi ệt Áp d ụng định lí Viet cho ph ươ ng trình y '= 0 ta có 0,25 + = − x1 x 2 2 m  =2 − x1. x 2 m 1 22+≤⇔+ 2 − ≤⇔ 22 − −≤⇔−≤ 2 Ta có xx1210 ( xxxx 12 )2. 12 10 4 mm 2( 1)10 m 40 0,25 −2 ≤m ≤ 2 0,25 Kết lu ận c. Gi ải ph ươ ng trình: 2sin2 2x+ sin7 x − 1 = sin x Câu 3
3. (1 điểm) ⇔(sin7x − sinx)- (1-2sin2 2 x ) = 0 ⇔2cos4x sin3 x − cos4 x = 0 0,25 ⇔cos4x (2sin3x − 1) = 0  π π x= + k 8 4 cos 4x = 0    π2 π ⇔1 ⇔=+x k( k ∈Ζ ) 0,25 sin3x =  18 3   2 5π 2 π x= + k  18 3 2 a. Tính giá tr ị bi ểu th ức: A =(1 + 3sin2α )(1 + 4cos 2 α ) , bi ết cos 2 α = − . 3 1cos2−α 5 1cos2 + α 1 Ta có sin2 α= = ,cos 2 α = = 26 26 0,25 5 1 35 Do đó giá tr ị bi ểu th ức A =+(1 3. )(1 + 4. ) = 6 6 6 0,25 x +4 − 3 Tính gi ới h ạn : L = lim . x→5 25 − x2 (x+−++ 4 3)( x 4 3) x − 5 L =lim = lim 0,5 x→5 (25−xx2 )( ++ 4 3)x → 5 (5 −+ xxx )(5 )( ++ 4 3) −1 = lim Câu 4 x→5 (5+x )( x + 4 + 3) 0,25 (1 điểm) −1 0,25 = 60 1+ 2 = Cho n là s ố nguyên d ươ ng th ỏa mãn điều ki ện: Cn C n 55 . Tìm s ố hạng không ch ứa 3 x trong khai tri ển (2x− ),n x ≠ 0 . Câu 5 x − (1 điểm) 1 2 n! n ! nn ( 1) C+=⇔ C55 + =⇔+ 55 n = 55 0,25 n n (n− 1)!2!( n − 2)! 2 n =10 ⇔n2 +− n 110 =⇔ 0  n = − 11 0,25 Do đó n= 10
4. 3 Ta có khai tri ển (2x − ) 10 x Số hạng t ổng quát th ứ k+1 trong khai tri ển là 0,25 − k10− k3 kkkkk 10 − 102 − TCx+ =.(2) .( ) = C .2 .(3). − x k 110x 10 Số hạng không ch ứa x ứng v ới k th ỏa mãn 10− 2k =⇔ 0 k = 5 0,25 −5 5 5 = − Vậy s ố hạng không ch ứa x trong khai tri ển là C10 .2.3 1959552 Câu 6 Trong c ụm thi để xét công nh ận t ốt nghi ệp THPT thí sinh ph ải thi 4 môn trong đó có (1 điểm) 3 môn b ắt bu ộc là Toán, V ăn, Ngo ại ng ữ và m ột môn do thí sinh t ự ch ọn trong s ố các môn: V ật lý, Hóa h ọc, Sinh h ọc, L ịch s ử và Địa lí. Tr ường A có 30 thí sinh đă ng kí d ự thi, trong đó có 10 thí sinh ch ọn môn Địa lý. L ấy ng ẫu nhiên 5 h ọc sinh b ất kì trong số 30 h ọc sinh đã đă ng kí d ự thi c ủa tr ường A. Tính xác su ất để trong 5 h ọc sinh có nhi ều nh ất 2 h ọc sinh ch ọn môn Địa lí. 5 Ch ọn ng ẫu nhiên 5 thí sinh b ất kì c ủa tr ường A có C30 cách 0,25 Ω = 5 n( ) C 30 Gọi A:” 5 h ọc sinh được ch ọn có nhi ều nh ất 2 h ọc sinh ch ộn môn Địa lí” 2 3 +) 2 hs ch ọn Địa lí , 3 h ọc sinh ch ọn môn khác có C10. C 20 0,25 1 4 +) 1 h ọc sinh ch ọn Địa lí , 4 h ọc sinh ch ọn môn khác có C10. C 20 5 +) 0 h ọc sinh ch ọn Địa lí có C20 Số ph ần t ử của bi ến c ố A là n(A)= 115254 0,25 n( A ) Xác su ất c ủa bi ến c ố A là P( A )= ≈ 0,81 0,25 n(Ω ) Câu 7 Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC vuông t ại A , AB= AC = a , I là trung điểm (1 điểm) của SC , hình chi ếu vuông góc c ủa S lên (ABC) là trung điểm H của BC , bi ết góc gi ữa SA và m ặt ph ẳng (ABC) bằng 60 0 . Ch ứng minh (SBC )(⊥ ABC ) và tính kho ảng cách từ I đến (SAB) . AH là hình chi ếu c ủa SH lên (ABC) nên góc gi ữa SA và (ABC) là SAH = 60 0 0,25 Vì tam giác ABC cân t ại A nên AH⊥ BC Theo gi ả thi ết SH⊥ ( ABC ) ⇒ SH⊥ AH Do đó AH⊥ ( SBC ) 0,25
5. Mà BC⊂ ( ABC ) nên (ABC )(⊥ SBC ) S IH là đường trung bình c ủa tam giác SBC nên HI SB ⇒HI ( SAB ) ⇒ d (I,(SAB))= d(H,(SAB)) K Ké HM⊥ ABHK, ⊥ SM Khi đó ta có B C 0,25 H AB⊥ HMAB, ⊥ SH⇒ AB⊥ ( SHM ) ⇒ AB⊥ HK M A Mà HK⊥ SM Do đó HK ⊥ (SAB)⇒ d(H,(SAB))= HK 1 a a 2 Ta có HM= AC = , AH = 2 2 2 a2 a 6 SH= AH .tan600 = .3 = 2 2 Xét tam giác SHM vuông t ại H, HK là đường cao 0,25 1 1 1 14a 42 = + = ⇒ HK = HK2 SH 2 HM 23 a 2 14 a 42 ⇒ d( I ,( SAB )) = 14 Trong m ặt ph ẳng t ọa độ Oxy , cho hình thang ABCD v ới AB // CD có di ện tích b ằng 1 1 1 14, điểm H (− ;0) là trung điểm c ủa c ạnh BC và I ( ; ) là trung điểm c ủa AH. Vi ết 2 4 2 ph ươ ng trình đường th ẳng AB bi ết đỉnh D có tung độ dươ ng và D thu ộc đường th ẳng d: 5x− y + 1 = 0 Câu 8 a 13 Vì I là trung điểm c ủa AH nên A( 1;1).Ta có AH = 0,25 A B 2 (1 điểm) H Ph ươ ng trình AH là : 2x – 3y+1=0. G ọi M là giao c ủa AH và I DC thì H là trung điểm c ủa AM. Suy ra: M(-2; -1). M D C Gi ả sử D (a; 5a+1) (a>0). Ta có: 0,5 ∆ = ∆ ⇒ = = = ABH MCH SABCD S ADM AHdDAH .(, )14 28 ⇒ d( D , AH ) = 13
6. Hay 13a+ 2 = 28 ⇔ a = 2 ( vì a > 0)⇒ D(2;11) 1 Vì AB đi qua A(1;1) và có 1 VTCP là MD = (1;3) nên AB có VTPT là n(3;− 1) 0,25 4 Nên AB có ph ươ ng trình 3x− y − 2 = 0 Câu 9 3x2++−+ 12 y 2 4 xy 9( x 2)2 y xy = 0  ( 1 điểm) 5x2− 7 y 2 + xy = 15 Điều ki ện xy ≥ 0 0,25 (1) ⇔+(x 2) y2 + 4 xy = 3( x + 2)2 y xy (3) Ta th ấy x=0 ho ặc y=0 không th ỏa mãn h ệ nên xy>0,( x + 2 y ) > 0 . x+ 2 y 2 2 xy Chia hai v ế của pt (3) cho (x+ 2)2 y xy ta được + = 3 (4) 2xy x+ 2 y 0,25 x+ 2 y 2 t =1 Đặt t = Khi đó ph ươ ng trình (4) tr ở thành t + =3 ⇔  . 2xy t t = 2 x+ 2 y Với t =1 ⇔ = 1 (vô nghi ệm) 2xy 0,25 x+ 2 y Với t=⇔2 =⇔= 2 x 2 y 2xy  y=1⇒ x = 2 Thay x= 2 y vào ph ươ ng trình (2) ta được y2 =1 ⇔   y= − 1⇒ x = − 2 0,25 Mà x+2 y > 0 Vậy h ệ có nghi ệm (2;1) Cho các s ố th ực không âm a, b, c th ỏa mãn a2+ b 2 + c 2 −3 b ≤ 0 . Tìm giá tr ị nh ỏ nh ất 1 4 8 của bi ểu th ức sau: P = + + (a+ 1)2 (b2) + 2 ( c + 3) 2 Ta th ấy abcabc2++−−−+=−+− 2 2 2 4 2 6( a 1)2 ( b 2) 2 +− ( c 1) 2 ≥ 0 theo gi ả thi ết thì 0,25 a2+ b 2 + c 2 ≤ 3 b Suy ra 3babc− 2 − 4 −+≥⇔ 2 60 2 abc ++ 21016 +≤ 1 1 8 Với hai số x, y >0 thì + ≥ . Áp d ụng nh ận xét trên ta có 0,25 x2 y 2( xy+ ) 2
7. 1 4 8 + ≥ ; +2 + 2 b (a 1) ( b 2) (a + + 2) 2 2 1+ 1 ≥ 8 b+ 2 b Câu 10 (a++ 2)2 (c 3) ( a +++ c 5) 2 2 2 (1 điểm) 8 8 8 16 2 Suy ra P ≥ +≥8. = b+2 b +++ 2 (a++ 2)2 (3)c ( a +++ c 5) 2 (2ab2c10) 2 2 0,25 Theo gi ả thi ết và ch ứng minh trên thì 0< 2abc ++ 2 + 10 ≤ 16⇒ P ≥ 1 = Khi a=1 , b=2, c=1 thì P=1.V ậy Pmin 1 0,25 Mọi cách gi ải khác n ếu đúng đều cho điểm t ươ ng ứng