Đề thi khảo sát THPT Quốc gia môn Toán - Năm học 2014-2015 - Trường THPT Tĩnh Gia II (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát THPT Quốc gia môn Toán - Năm học 2014-2015 - Trường THPT Tĩnh Gia II (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THPT TĨNH GIA II ĐỀ THI KHẢO SÁT THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014 - 2015 Mụn: TOÁN, khối 12. Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề Cõu I(4 điểm). Cho hàm số y x32 34 x (1) 1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1). 2. Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = mx – 2m tại ba điểm phõn biệt. 3sin 2x 2sin x Cõu II(2 điểm ). Giải phương trỡnh: 2 sin 2x.cos x Cõu III(2 điểm ) 1.Một hộp đựng cỏc số tự nhiờn cú 4 chữ số được thành lập từ cỏc số 0,1,2,3,4. Bốc ngẫu nhiờn một số. Tớnh xỏc suất để số tự nhiờn được bốc ra là số cú 4 chữ số mà chữ số đằng trước nhỏ hơn chữ số đằng sau. 22 2.Giải phương trỡnh log24xx- log (4 ) - 5 = 0 3xdx Cõu IV(2 điểm ). Tớnh nguyờn hàm I x x 2 4 Cõu V(4 điểm ). Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a , tam giỏc SAC cõn tại S, gúc SBC bằng 600, mặt phẳng (SAC) vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) . 1. Tớnh theo a thể tớch của khối chúp S.ABC. 2. Xỏc định tõm và tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp SABC. Cõu VI(2 điểm ). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trũn (C): x2+y2 = 5 tõm O, 10 đường thẳng (d): 3x - y - 2 = 0. Tỡm tọa độ cỏc điểm A, B trờn (d) sao cho OA = và đoạn 5 OB cắt (C) tại K sao cho KA = KB. Cõu VII(2 điểm )Giải hệ phương trỡnh: x 2 2x 5 y 2 2y 5 y 3x 3 (x, y R) 2 2 y 3y 3 x x Cõu VIII(2 điểm ). Cho các số thực d•ơng a, b, c. Chứng minh rằng: abc a abc b abc c 933 . b c c a a b 2 a b c >> Truy cập để học Toỏn – Lý – Húa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1
2. TRƯỜNG THPT TĨNH GIA II ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn: TOÁN; (Đỏp ỏn – Thang điểm gồm 06 trang) Họ và tờn thớ sinh .; Số bỏo danh Nội dung Điểm I 1. 0,25 1/ Tập xỏc định: R , 2 , x 0 2/ Sự biến thiờn y 3x 6x ; y 0 x 2 0,25 Hàm số đồng biến trờn mỗi khoảng ;0 và 2; ; hàm số nghịch biến trờn 0,25 khoảng 0;2 . Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 yCĐ = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 yCT = 0. 0,25 lim f (x) ; lim f (x) ; x x Đồ thị hàm số khụng cú tiệm cận. 0,25 Bảng biến thiờn x 0 2 , y + 0 - 0 + 0,25 y 4 0 3.Đồ thị: Đồ thị cắt Oy tại điểm (0;4), cắt Ox tại điểm (2;0), (1;0); đi qua điểm 0,25 (3;4). y 0,25 4 -1 O 1 2 3 x >> Truy cập để học Toỏn – Lý – Húa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2
3. 2/Phương trỡnh hoành độ giao điểm: x3 – 3x2 + 4 = mx – 2m 0,25 (x – 2)(x2 – x – 2 – m) = 0 0,5 x 2 0,25 2 x x 2 m 0(*) để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = mx – 2m tại ba điểm phõn biệt khi và 0,25 chỉ khi phương trỡnh (*) cú hai nghiệm phõn biệt khỏc 2 9 4m 0 0,25 hay 2 2 2 2 m 0 9 0,25 m 4 m 0 9 0,25 Vậy với m ( ;+ )\{0} 4 II sin x 0 ĐK: sin2x 0 => cos x 0 0,25 PT => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx (2sin2x – 2sin2x.cosx)+sin2x- 2sinx = 0 0,25 2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0 2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0 0,25 cos x 1 sin 2x sin x 0 sin x(2cos x 1) 0 0,25 *)cosx = 1 sinx = 0 (loại) 0,25 *)sin 2x sin x 0 sin x(2cos x 1) 0 0,25 2cosx -1 =0 (do sinx 0) 0,25 1 0,25 cos x x k2 (k Z) . 2 3 Vậy phương trỡnh cú nghiệm x k2 3 III 1.Gọi số cú 4 chữ số là abcd , với a 0. Số cỏch thành lập số cú 4 chữ số là: 4.5.5.5= 500. 0,25 Theo giả thiết số đằng trước khụng thể là số 0. Như vậy số cú 4 chữ số được thành lập từ 1, 2, 3, 4; 0,25 mà chữ số đằng trước nhỏ hơn chữ số đằng sau chỉ cú 1 cỏch đú là số 1234. 0,25 1 Vậy xỏc suất cần tỡm là . 500 0,25 >> Truy cập để học Toỏn – Lý – Húa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3
4. 2.ĐK: x>0 0,25 2 2 Phương trỡnh log 2 x log 4 4 log 4 x 5 0 2 log 2 x log 2 x 6 0 0,25 2 Đặt t = log2x, phương trỡnh trở thành: t – t – 6 = 0 t = 3 hoặc t = - 2 0,25 với t = 3 x = 23 = 8 (tm) 0,25 với t = - 2 x = 2-2 = ẳ (tm) Vậy phương trỡnh đó cho cú nghiệm là x = 8 và x = ẳ IV 3xdx 3x(x x2 4)dx 0,5 I= 2 x x 4 4 3x 2 3 0,25 = dx x x 2 4dx 4 4 3x 2 x3 dx C 4 4 1 0,5 3 32 3 2 2 1 2 0,5 x x 4 dx x 4 d ( x 4) x 4 C2 4 8 4 3 1 3 x Vậy I = x2 4 - +C. 4 4 0,25 V S M N K X A O C I B Gọi O là trung điểm AC . Vỡ tam giỏc SAC cõn nờn SO  AC 0,25 SO  (ABC )(vi(SAC)  (ABC )) 0,25 a a 3 0,25 vỡ OA OC ,OB nờn 2 2 Đặt SO = m thỡ SB2 = m2+3a2/4, SC2 = m2+a2/4 0,25 Vỡ gúc SBC bằng 600 nờn 0,5 1 3a 2 a 6 cos 600 cos(BS ,BC) 3a 2 4m 2 3a 2 m 2 2 3a 2 4m 2 2 a 2 3 0,25 SABC = 2 1 2a3 0,25 Vậy V SO.S đvtt S.ABC 3 ABC 8 >> Truy cập để học Toỏn – Lý – Húa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4
5. 2.Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC 0,25 Trong mp(SOB), từ I dựng đường thẳng IM //SO, M trờn SB Do SO vuụng với (ABC) suy ra IM vuụng với (ABC) hay đường thẳng IM là 0,25 trục đường trũn của tam giỏc ABC Gọi N là trung điểm SB Trong tam giỏc SOB, từ N dựng đường trung trực của 0,25 cạnh SB, cắt IM tại X. Suy ra X là tõm mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp SABC. 0,25 Theo 1) ta cú SB = 3a/2., SN = 3a/4. S 0,25 9a Ta cú: SN.SB=SK.SO suy ra SK = M 4 6 N 3a KN=SK.sinOSB = 0,25 4 2 X a K XN = 1/3KN = 0,25 B 4 2 O I a 38 0,25 BX = 8 a 38 Vậy bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp là 8 VI O K 0,25 B A (C): x2 + y2 = 5 cú tõm O(0;0) bỏn kớnh R = 5 . 10 0,25 Ta cú d(O;d) = =OA OA  (d) 5 A (d) A(t;3t-2) OA =(t;3t-2) 0,25 0,25 (d) cú vtcp ud =(1;3). Ta cú: . = 0 3 31 0,25 t + 3(3t-2) = 0 t = A ; 5 55 Ta cú OAB vuụng tại A, KA = KB KA = KB = OK K là trung điểm OB 0,25 OB = 2OK = 2 Vỡ B (d) B(b;3b-2)Ta cú OB2 = 20 b2+(3b-2)2 = 20 5b2-6b-8=0 0,25 bB 2 2;4 4 4 22 bB ; 5 5 5 >> Truy cập để học Toỏn – Lý – Húa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5
6. 31 4 22 0,25 Vậy A ; , B(2;4) hoặc B ; 55 55 VI Phương trỡnh (2) y2 - 3y + 3 = x2 - x y - 3x - 3 = y2 - x2 - 2y - 2x thế vào 0,25 I 222 2 0,25 phương trỡnh (1) ta cú: xy 1 4 1 4 y - x - 2y - 2x (y-1)2-(x-1)2 2 2 2 2 0,25 x 14 +(x+1) = y 14 +(y-1) (*) Xột hàm số f(t) = t 4 +t trờn [0;+ ), f’(t) > 0  t≥0 f(t) đồng biến trờn 0,25 [0;+ ) 2 2 2 2 xy 2 0,25 phương trỡnh (*) f((x+1) ) = f((y-1) ) (x+1) = (y - 1) xy 1 0,25 x 2 Với x = y - 2, thế vào (2) giải được: 3 y 2 3 0,25 x 4 Với x = - y, thế vào (2) giải được: 3 y 4  1 3 3 3 0,25 Vậy (x;y)  ;,;  2 2 4 4 VI Ta cú: ĐPCM II abc aabc abc babc abc cabc 9 3 3 b c c a a b 2 0,25 a b c 0,25 111 9 3 3 a b c a b c a b c b c c a a b 2 abcabc abcabc abcabc a b c 0,25 Đặt x ;; y z , ta cú: x,y,z>0 và x y z 1 a b c a b c a b c Khi đú 1 x11 yy 1 z 9 3 3 1 x 1 z 9 3 3 đpcm y z z x x y2 1 x 1 y 1 z 2 1 1 1 9 0,25 Ta cm: 1 Ta cú: 1 x 1 y 1 z 2 >> Truy cập để học Toỏn – Lý – Húa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6
7. 1 1 1 1 x 1 y 1 z 9 1 x 1 y 1 z 1 1 1 9 9 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 2 1 Từ đú suy ra (1) đỳng, dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 3 xzy 33 0,5 Ta cm: 2 1 x 1 y 1 z 2 Thật vậy, Xột hàm số f(x) = x 1 x với 0 x 1 13 x 1 Ta cú f’(x) = = 0 x ; 2 x 3 BBT x 0 1 1 3 f’(x) + 0 f(x) 2 33 1 Suy ra 0 > Truy cập để học Toỏn – Lý – Húa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7