Đề thi môn Toán vào Lớp 10 qua các năm của Thành phố Hà Nội

Nội dung text: Đề thi môn Toán vào Lớp 10 qua các năm của Thành phố Hà Nội

1. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 TRUNG TÂM TRÍ ĐỨC Nơi gửi gắm niềm tin CẤU TRÚC ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Câu I: ( 2 điểm) Rút gọn và các bài toán liên quan Câu II: ( 2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoạc hệ phương trình Câu III: ( 2 điểm) 1. Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn 2. Phương trình bậc hai- hệ thức vi-et . Đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai Câu IV: ( 3,5 điểm) Hình học tổng hợp 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp 2. Tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác 3. Câu hỏi vận dụng 4. Câu hỏi vận dụng cao ( khó) Câu V: ( 0,5 điểm) Khó - Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất- nhỏ nhất - Phương trình vô tỉ - Hệ phương trình nâng cao ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 1
2. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2009-2010 Bài I (2,5 điểm) x 1 1 Cho biểu thức: A với x 0 và x 4 x 4 x 2 x 2 1) Rút gọn A 2) Tính giá trị của A khi x = 25 1 3) Tìm x để A 3 Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 áo.Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo? Bài III (1,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 1) Giải phương trình đã cho khi m = 1 2) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: 2 2 x1 x 2 10 Bài IV (3,5 điểm) Cho (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). 1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2 3) Trên cung nhỏ BC của (O;R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4) Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh PM + QN MN Bài V (0,5 điểm) Giải phương trình 21 2 1 1 3 2 x x x 2 x x 2 x 1 4 4 2 Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 2
3. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2009-2010 === === Bài I x 1 1 1. A x 4 x 2 x 2 x 1 1 A x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 x 2 x A x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x A x 2 x 2 x 2 2. Tính giá trị của A khi x = 25 25 5 Với x = 25 ta có A 25 2 3 1 3. Tìm x để A 3 1x 1 A 3 x x 2 Khi 3x 2 3 1 1 4x 2 x x ( tmdk ) 2 4 Bài II: Giải bằng cách lập phương trình: * Gọi số áo tổ 2 may được trong một ngày là x ( x N ; áo/ngày) Số áo tổ 1 may được trong một ngày là x + 10 (áo) 3 ngày tổ thứ nhất may được 3(x +10) (áo) 5 ngày tổ thứ nhất may được 5x (áo) Tổ 1 may trong 3 ngày và tổ 2 may trong 5 ngày được 1310 chiếc áo nên ta có pt: 3(x+10) + 5x = 1310 3x+30+5x=1310 8x 1310 30 8x 1280 x 160( tmdk ) Vậy mỗi ngày tổ 1 may được 160 + 10 = 170 chiếc áo Mỗi ngày tổ 2 may được 160 chiếc áo Cách 2:Học sinh có thể làm theo nhiều cách khác nhau: chẳng hạn giải bằng cách lập hệ pt: * Gọi số áo tổ 1 may được trong một ngày là x ( x N ; áo/ngày) * Số áo tổ 2 may được trong một ngày là y ( y N ; áo/ngày) ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 3
4. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 3 ngày tổ thứ nhất may được 3x (áo) 5 ngày tổ thứ nhất may được 5y (áo) Vì tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo nên ta có pt: 3x + 5y = 1310 Mỗi ngày tổ 1 may được nhiều hơn tổ 2 là 10 chiếc áo nên ta có pt: x – y = 10 Ta có hệ pt: 3x 5 y 1310 x y 10 Giải hệ ta được x = 170; y= 160 Bài III: Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 1)Giải phương trình đã cho khi m = 1 Khi m = 1 2 Phương trình x 4 x 3 0 Vì 1 + (-4) + 3 = 0, theo hệ thức Vi-ét pt có hai nghiệm phân biệt: x1 1; x 2 3 2 2 2)Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 x 2 10 x2 – 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 (1) *) Pt có hai nghiệm ' 0 2 2 2 2 (m 1) ( m 2) 0 m 2 m 1 m 2 0 1 2m 1 0 m 2 *) Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1) ta có: x1 x 2 2( m 1) 2 x1. x 2 m 2 Ta có 2 x2 x 2 10 x x 2 x . x 10 1 2 1 2 1 2 2 2 2(m 1) 2( m 2) 10 2 2 4(m 2 m 1) 2 m 4 10 0 2 2 4m 8 m 4 2 m 14 0 2 2m 8 m 10 0 m 1 ( tmdk ) m 5 ( kh «ng tm®k) Vậy với m = 1 thoả mãn yêu cầu đề bài. ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 4
5. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 Bài IV: M B 1 P 1 K A O E 1 Q 1 C N 1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. Xét (O): ABOB (AB là tiếp tuyến của (O)) o góc OBA = 90 Chứng minh tương tự: góc OCA = 90o o góc OBA +góc OCA = 180 Xét tứ giác ABOC: góc OBA +góc OCA = 180o (cmt) Mà B và C là hai đỉnh đối nhau tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt) 2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2 Ta có AB, AC là hai tiếp tuyến của (O) AB = AC và AO là phân giác góc BAC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) ABC là tam giác cân tại A (dhnb tam giác cân) Mà AO là phân giác góc BAC (cmt) AOBC (t/c tam giác cân) AOBE Xét tam giác OBA vuông tại B: AOBE (cmt) 2 OE.OA=OB (hệ thức lượng trong tam giác vuông) 2 OE.OA=R 4) Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh PM + QN MN +) Chứng minh được: AMN cân tại A góc M = góc N (tc tam giác cân) o góc A + 2 góc M1 = 180 (*) Ta có góc A + góc BOC = 180o (tứ giác OBAC là tgnt) Chứng minh được góc BOC = 2 góc POQ o góc A + 2góc POQ = 180 ( ) ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 5
6. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 Từ (*) và ( ) ta có góc M1 = góc POQ Ta có góc PON là góc ngoài của MOP góc PON = góc P1 + góc M1 góc POQ + góc O1 = góc P1 + góc M1 Mà góc M1 = góc POQ (cmt) góc O1 = góc P1 Xét ONQ và PMO: gócM1 = gócN1 (cmt) gócO1 = gócP1 (cmt) ONQ đồng dạng với PMO NQ ON (đn 2 tam giác đồng dạng) MO PM 2 PM.NQ = OM.ON = OM Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số PM>0 và PN >0 ta có: PM PN 2 PM . PN 2 PM PN 2 OM PM PN 2 OM PM PN MN Bài V: Giải phương trình 2 21 2 1 1 3 2 2 1 1 1 2 xxx 2 xxx 21 x x xxx (21)(21) 4 4 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 x2 x(2 x 1)( x2 1) x x x x x2 1 4 2 2 2 2 2 2 1 2 1 Điều kiện: x x 1 0 x 2 2 Phương trình tương đương: 1 1 1 1 2 1 1 1 2 x x x x x 1 x x 1 x x 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 x x x 1 x x x 1 2 2 2 2 1 1 x 0 x 1 2 1 2 x x 1 1 0 x x 0 2 2 ( tmd k) 2 2 2 x 0 x 0 1  S ;0  2  ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 6
7. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2010-2011 Bài I (2,5 điểm) x2 x 3 x 9 Cho biểu thức : A = , với x 0 và x 9. x 3 x 3 x 9 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm giá trị của x để A = - ' 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Bài III (1,0 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx – 1. 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. 2) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). 2 2 Tìm giá trị của m để: x1 x2 + x2 x1 – x1x2 = 3. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. 1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC. 3) Chứng minh CFD = OCB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 4) Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB = 2. Bài V ( 0,5 điểm) 2 2 Giải phương trình: x + 4x + 7 = (x + 4) x 7 Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 7
8. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2010-2011 === === Bài I: 3 1/ A = x 3 2/ x = 36 (tmđk) 3/ MaxA = 1 khi x = 0 (tmđk) Bài II: Gọi chiều rộng là x, ta có pt: x2 + (x + 7) 2 = 132 => x = 5 => chiều dài = 12m. Bài III: 2 2 1/ Xét phương trình: -x = mx – 1  x +mx -1 = 0 , có >0 nên có 2 nghiệm phân biệt => cắt tại 2 điểm phân biệt. 2/ Theo định lý Vi et ta có x1 + x2 = -m & x1x2 = - 1 => m = 3. Bài IV: 1/ Tứ giác FCDE nội tiếp vì có 2 góc đối bằng nhau(=900) 2/ ADC ~ BDE (gg) 3/ BC AB2 R 4/ Tan AFB = 2 (tam giác CBA ~ tam giác CFD ) FC DF R Bài 5 2 2 2 2 2 x +4x +7 =(x+4) x 7 x + 7 - x x 7 4 x 7 4 x 0 2 2 2  x 7( x 7 x ) 4 x 7 x 0 2 2 (x 7 x )( x 7 4) 0 2 2 2 x 7 x 0 x 7 x x 0 2 2 x 7 4 0 x 9 x 3 ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 8
9. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2011-2012 x10 x 5 Bài I (2,5 điểm) Cho A Với x 0, x 25 . x 5x 25 x 5 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của A khi x = 9. 1 3) Tìm x để A . 3 Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? 2 2 Bài III (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y x và đường thẳng (d): y 2 x m 9 . 1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1. 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. 0 2) Chứng minh ENI  EBI và MIN 90 . 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI . 4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. Bài V (0,5 điểm) 2 1 Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 4 x 3 x 2011. 4x Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 9
10. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2011-2012 === === Bài 1: 1/ Rút gọn x10 x 5 x. x 5 10 x 5. x 5 A x 5x 25 x 5 x 5 x 5 2 x 5 x 10 x 5 x 25 x 10 x 25 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 3 5 2 1 2/ Với x = 9 ta có x 3. Vậy A 3 5 8 4 3/ 1x 5 1 3 x 15 x 5 A 0 0 3x 5 3 3 x 5 2x 20 0 ( Vì 3 x 5 0) 2x 20 x 10 x 100 Vậy với 0 ≤ x 0, tấn) 140 Số ngày quy định là ngày x 140 Do chở vượt mức nên số ngày đội đã chở là 1 x khối lượng hàng đội đã chở được là 140 1 . x 5 140 10 140 x x 5 150 x x 2 2 140x 700 5 x x 150 x x 15 x 700 0 Giải ra x = 20 và x = - 35 ( loại) Vậy số ngày đội phải chở theo kế hoạch là 140:20=7 ( ngày) Bài 3: 1/ Với m = 1 ta có (d): y = 2x + 8 ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 10
11. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 Phương trình hoành độ điểm chung của (P) va (d) là x2 = 2x + 8 x2 – 2x – 8 = 0 Giải ra x = 4 => y = 16 x = -2 => y = 4 Tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là (4 ; 16) và (-2 ; 4) 2/ Phương trình hoành độ điểm chung của (d) và (P) là x2 – 2x + m2 – 9 = 0 (1) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 2  ac m – 9 góc MAI + góc MEI = 180o.=> tứ giác AIEM nội tiếp 2/ Xét tứ giác BIEN có góc IEN = góc IBN = 90o.  góc IEN + góc IBN = 180o.  tứ giác IBNE nội tiếp  góc ENI = góc EBI = ½ sđ AE (*)  Do tứ giác AMEI nội tiếp => góc EMI = góc EAI = ½ sđ EB ( ) Từ (*) và ( ) suy ra góc EMI + góc ENI = ½ sđ AB = 90o. 3/ Xét tam giác vuông AMI và tam giác vuông BIN có góc AIM = góc BNI ( cùng cộng với góc NIB = 90o)  AMI ~ BNI ( g-g) AM AI  BI BN  AM.BN = AI.BI ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 11
12. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 4/ Khi I, E, F thẳng hàng ta có hình vẽ Do tứ giác AMEI nội tiếp nên góc AMI = góc AEF = 45o. Nên tam giác AMI vuông cân tại A Chứng minh tương tự ta có tam giác BNI vuông cân tại B  AM = AI, BI = BN Áp dụng pitago tính được RR2 3 2 1 3R2 MI ; IN Vậy SMIN IM IN ( 2 2 2 4 đvdt) Bài 5: 21 2 1 CÁCH 1: M 4 x 3 x 2011 4 x 4 x 1 x 2010 4x 4 x 2 1 (2x 1) ( x ) 2010 4x 2 1 1 Vì (2x 1) 0 và x > 0 0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x + 4x 4x 1 1 2x . 2. 1 4x 2 2 1  M =(2x 1) ( x ) 2010 0 + 1 + 2010 = 2011 4x ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 12
13. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 1 x 1 2 x 2x 1 0 2 1 2 1 1  M 2011 ; Dấu “=” xảy ra  x x x 4x 4 2 x 0 x 0 1 x 2 x 0 1 x = 2 1 Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = 2 CÁCH 2:M = 2x² + 2x² + 1/4x - 3x + 2011 Do x>0 nên áp dụng Cosi cho 3 số dương 2x², 2x² và 1/4x ta có 2x² + 2x² + 1/4x ≥ 3 3 x3 = 3x  M = (2x² + 2x² + 1/4x) - 3x + 2011 ≥ 3x -3x + 2011 = 2011  M ≥ 2011 Dấu "=" khi 2x² = 1/4x x³ =1/8 x = 1/2Vậy Mmin = 2011 đạt 1 được khi x = 2 CÁCH 3: 21 2 1 2 1 1 1 M 4 x 3 x 2011 3 x x x 2010 4x 4 8 x 8 x 4 2 1 2 1 1 1 M 3 x x 2010 2 8x 8 x 4 1 1 Áp dụng cô si cho ba số x2 ,, ta có 8x 8 x 21 1 2 1 1 3 2 1 1 1 x 33 x . . Dấu ‘=’ xẩy ra khi x x³ =1/8 x = 8x 8 x 8 x 8 x 4 8x 8 x 2 2 1 3 1 mà x 0 Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2=> M 0 2010 2011Vậy Mmin = 2011 2 4 4 1 đạt được khi x = 2 ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 13
14. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2013-2014 Bài I (2,0 điểm) 2 x x 1 2 x 1 Với x > 0, cho hai biểu thức A và B . x x x x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. 2) Rút gọn biểu thức B. A 3 3) Tìm x để . B 2 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B. Bài III (2,0 điểm) 3(x 1) 2( x 2 y ) 4 1) Giải hệ phương trình: 4(x 1) ( x 2 y ) 9 1 2 1 2 2) Cho parabol (P) : y = x và đường thẳng (d) : y = mx m + m +1. 2 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P). b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 x 2 2 . Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O). 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp. 2) Chứng minh AN2 = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm. 3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC. 4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài. Bài V (0,5 điểm) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 1 1 1 6abc, chứng minh: 3 a2 b 2 c 2 Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 14
15. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2013-2014 === === Baì I: (2,0 điểm) 2 64 2 8 5 1) Với x = 64 ta có A 64 8 4 2) (x 1).( x x ) (2 x 1). x x x 2 x 1 x 2 B 1 x.( x x ) x x x x 1 x 1 3) Với x > 0 ta có : A3 2 x 2 x 3 x 1 3 : B 2x x 1 2 x 2 2x 2 3 x x 2 0 x 4.( Do x 0) Baì II: (2,0 điểm) Đặt x (km/h) là vận tốc đi từ A đến B, vậy vận tốc đi từ B đến A là x 9 (km/h) Do giả thiết ta có: 90 90 1 10 10 1 5 x( x 9) 20(2 x 9) x x 9 2 x x 9 2 2 x 31 x 180 0 x 36 (vì x > 0) Baì III: (2,0 điểm) 1) Hệ phương trình tương đương với: 3x 3 2 x 4 y 4 5 x 4 y 1 5 x 4 y 1 11 x 11 x 1 4x 4 x 2 y 9 3 x 2 y 5 6 x 4 y 10 6 x 4 y 10 y 1 2) a) Với m = 1 ta có phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là 12 3 2 x x x 2 x 3 0 x 1 hay x 3 (Do a – b + c = 0) 2 2 1 9 1 9 Ta có y (-1)= ; y(3) = . Vậy tọa độ giao điểm A và B là (-1; ) và (3; ) 2 2 2 2 b) Phươnh trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là 12 1 2 2 2 x mx m m 1 x 2 mx m 2 m 2 0 (*) 2 2 Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt x1 , x2 thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt. 2 2 Khi đó ' m m 2 m 2 0 m 1 2 2 2 Khi m > -1 ta có x1 x 2 2 x1 x 2 2 x 1 x 2 4 (x1 x 2 ) 4 x 1 x 2 4 ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 15
16. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 2 2 1 4m 4( m 2 m 2) 4 8m 4 m 2 Cách giải khác: Khi m > -1 ta có b '' b x1 x 2 2 2 ' 2 2m 2 a'' a 1 Do đó, yêu cầu bài toán 2 2m 2 2 2m 2 2 2m 2 1 m 2 Bài IV (3,5 điểm) 0 K 1/ Xét tứ giác AMON có hai góc đối ANO 90 Q AMO 900 nên là tứ giác nội tiếp M T 2/ Hai tam giác ABM và AMC đồng dạng I C 2 2 2 nên ta có AB. AC = AM = AN = 6 = 36 A B H 62 6 2 AC 9( cm ) P O AB 4 BC AC AB 9 4 5( cm ) N 1 3/ MTN MON AON (cùng chắn cung MN 2 trong đường tròn (O)), và AIN AON (do 3 điểm N, I, M cùng nằm trên đường tròn đường kính AO và cùng chắn cung 900) Vậy AIN MTI TIC nên MT // AC do có hai góc so le bằng nhau. 4/ Xét AKO có AI vuông góc với KO. Hạ OQ vuông góc với AK. Gọi H là giao điểm của OQ và AI thì H là trực tâm của AKO , nên KMH vuông góc với AO. Vì MHN vuông góc với AO nên đường thẳng KMHN vuông góc với AO, nên KM vuông góc với AO. Vậy K nằm trên đường thẳng cố định MN khi BC di chuyển. Cách giải khác: Ta có KB2 = KC2 = KI.KO. Nên K nằm trên trục đẳng phương của 2 đường tròn tâm O và đường tròn đường kính AO. Vậy K nằm trên đường thẳng MN là trục đẳng phương của 2 đường tròn trên. Baì IV: (0,5 điểm) 1 1 1 1 1 1 Từ giả thiết đã cho ta có 6 . Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ab bc ca a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 2 2 2 2 2 2 2 a b ab 2 b c bc 2 c a ca 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1 2 2 2 2 a a 2 b b 2 c c Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta có: 31113 3111 39 6 6 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2 2 a b c 2 2 1 1 1 3 (điều phải chứng minh) 2 2 2 a b c ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 16
17. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2014-2015 Bài I. (2,0 điểm). x 1 1) Tính giá trị biểu thức : A khi x = 9. x 1 x 2 1 x 1 2) Cho biểu thức P . với x > 0;x 1. x 2 x x 2 x 1 x 1 a) Chứng minh P . x b) Tìm giá trị của x để 2P = 2x 5 . Bài II. (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Bài III. (2,0 điểm). 4 1 5 x y y 1 1) Giải hệ phương trình 1 2 1 x y y 1 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + 6 và parabol (P): y = x2. a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P). b) Gọi A, B là giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB. Bài IV. (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt cắt các đường thẳng AM, An lần lượt tại các điểm Q, P. 1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật. 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. 3) Gọi E là trung điểm của BQ. Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F. Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF. 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất. Bài V. (0,5 điểm). Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q 2 a bc 2 b ca 2 c ab . Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 17
18. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2014-2015 === === Bài 1 Hướng dẫn giải Điểm Bài 1.1 3 1 4 Với x = 9 thì x 9 3 A 2 0, 5 (0,5 điểm) 3 1 2 x 1 a) Chứng minh P . x - Với x > 0;x 1ta có x2 x x 1 P . 0, 25 x( x 2) x ( x 2) x 1 x x 2 x 1 0, 25 P . x( x 2) x 1 (x 1)( x 2) x 1 x 1 P . = 0, 25 x( x 2) x 1 x x 1 - Vậy với x > 0;x 1ta có P . x Bài 1.2. x 1 (1,5 điểm) b) - Với x > 0;x 1ta có: P x 0, 25 2x 1 - Để 2P = 2x 5 nên 2x 5 x x 2( loai ) 1 1 x x 4 2 - Đưa về được phương trình 2x 3 x 2 0 0, 25 x 2( loai ) 1 0, 25 - Tính được 1 x thỏa mãn điều kiện x > 0;x 1 x 4 2 - vậy với x = 1/4 thì 2P = 2x 5 Bài 2 Hướng dẫn giải (2,0 điểm) - Gọi mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất số sản phẩm theo là x ( sản phẩm; đk x nguyên dương) 0, 5 Khi đó trên thực tế mỗi ngày phân xưởng làm được số sản phẩm là Bài 2 x + 5 (sp) ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 18
19. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 1100 - Số ngày làm theo kế hoạch là: ngày (2,0 điểm) x 1100 Số ngày làm trên thực tế là: ngày 0,5 x 5 Vì thời gian thực tế ít kế hoạch 2 ngày , ta có phương trình: 1100 1100 2 0,25 x x 5 + Giải phương trình tìm được x1 55; x 2 50 0,5 Vì x 0 nên x1 50 thỏa mãn điều kiện của ẩn, x2 55 không thỏa mãn điều kiện của ẩn. 0,25 Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng làm được 50 sp. Bài 3 Hướng dẫn giải Điểm 4 1 5(1) x y y 1 0,25 Giải hệ phương trình đk x y; y 1. 4 8 4(2) x y y 1 Bài 3.1 (1,0 điểm) - Lấy (1) trừ từng vế cho (2) ta được: 0, 5 9 9 y 1 1 y 2( tm ) y 1 - Thay y = 2 vào (1) ta tính được x = -1 0,25 Vậy hệ pt có nghiệm là (x; y) = ( - 1; 2 ) Bài 3.2. a) - Xét phương trình hoành độ giao điểm: (1,0 điểm) 2 2 x 2 x =-x+6 x+ x-6=0 0, 25 x 3 x 2 y 4 - Chỉ ra: 0, 25 x 3 y 9 - Kết luận: A(2;4) và B(-3;9) - b) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành. 0, 25 Ta có SSSS OAB AA'''' B B OAA OBB Ta có A’B’ = xBABA'''' x x x 5 , AA’ = yA 9 , BB’ = yB 4 AA' BB ' 9 4 65 0, 25 Diện tích hình thang : SAA'' B B .AB ' ' .5 2 2 2 (đvdt) ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 19
20. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 1 27 1 S OAA' AAAO'.' (đvdt); S OBB' BBBO' . ' 4(đvdt) 2 2 2 65 27 SSSS 4 15 (đvdt) OAB AA'''' B B OAA OBB 2 2 - Kết luận .Bài 4 Hướng dẫn giải (3,5 điểm) Hình vẽ: P N F 0,25 A O B M E - Tứ giác AMBN có 4 góc vuông, vì là 4 góc nội tiếp chắn nửa 0,75 1 đường tròn (O;R) Q (0,75 điểm) Ta có ANM ABM (cùng chắn cung AM của (O;R) ) 0,25 - Chỉ ra ABM AQB (cùng phụ với góc MAB) 0,25 2 (1 điểm) - Nên ANM AQB . 0,25 - Vì ANM AQB nên MNPQ nối tiếp (do có góc ngoài tại 0,25 một đỉnh bằng góc trong đối diện ) . */ Chứng minh: F là trung điểm của BP. - Chỉ ra OE là đường trung bình của tam giác ABQ. 0,25 3 . - Chứng minh được OF // AP nên OF là đường trung bình của (1,0 điểm) tam giác ABP 0,25 Suy ra F là trung điểm của BP. ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 20
21. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 */ Chứng minh: ME // NF Mà AP vuông góc với AQ nên OE vuông góc OF. Xét tam giác vuông NPB có F là trung điểm của cạnh huyền BP. 0,25 0 Xét 2 tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên ONF 90 . 0 0,25 Tương tự ta có OME 90 nên ME // NF vì cùng vuông góc với MN - Ta thấy : 2SSSMNPQ 2 APQ 2 AMN 2R . PQ AM . AN 2 R .( PB BQ ) AM . AN 4 AB BP (0,5 điểm) - Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy ra QB BA 2 0,25 AB BP. QB Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có 2 PB BQ 2 PB . BQ 2 (2 R ) 4 R 2 2 2 AM AN MN 2 - Ta có AM. AN = 2R 2 2 Do đó, 2SRRRR 2 .4 22 6 2 . Suy ra SR3 2 MNPQ MNPQ 0,25 Dấu bằng xảy ra khi AM =AN và PQ = BP hay MN vuông góc AB. Bài 5 Hướng dẫn giải (0,5 điểm) - Ta có Q 2 a bc 2 b ca 2 c ab Mà 2a bc ( a b c ) a bc (Do a + b +c = 2) 2 a ab bc ca ()()a b a c 0,25 (a b )( a c ) 2 (0,5 điểm) (Áp dụng bất đẳng thức với 2 số dương a+b và a+c) ()()a b a c Vậy ta có 2a bc (1) 2 Tương tự ta có : ()()a b b c 2b ca (2) 2 ()()a c b c 2c ab (3) 0,25 2 Cộng (1) (2) (3) vế theo vế Q 2( a b c ) 4 2 Khi a = b = c = thì Q = 4 vậy giá trị lớn nhất của Q là 4. 3 ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 21
22. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2015-2016 x 3 x 1 5 x 2 Bài I (2,0 điểm). Cho hai biểu thức : P và Q với x 0, x 4. x 2 x 2 x 4 1) Tính giá trị biếu thức P khi x 9. 2) Rút gọn biểu thức Q. P 3) Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Q Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km , sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc dòng nước là 2km /giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ. Bài III (2,0 điểm). 2(x y ) x 1 4 1) Giải hệ phương trình . (x y ) 3 x 1 5 2 2) Cho phương trình x ( m 5) x 3 m 6 0 (x là ẩn số). a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với số thực m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x 2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng 5. Bài IV (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB . Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác AO, ). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K . Gọi M là điểm bất kỳ trên cung KB (M khác K , M khác B ). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM, BM lần lượt tại H và D . Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N. 1) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh: CA CB CH CD . 3) Chứng minh ba điểm AND,, A thẳng hàng và tiếp tuyế n tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH . 4) Khi M di động trên cung KB , chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 2 2 Bài V (0,5 điểm). Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a b 4 , tìm giá trị lớn nhất ab của biểu thức M . a b 2 Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 22
23. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2015-2016 === === BÀI Ý ĐÁP ÁN – HƯƠNG DẪN CHẤM ĐIỂM Bài I 1 Tính giá trị của biểu thức 0,5 (2,0 Thay x 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức P. 0,25 điểm) Tinh được P 12. 0,25 2 Rút gọn biểu thức Q 1,0 0,25 x 1 5 x 2 Ta có: Q x 2 x 2 x 2 0,25 x 1 x 2 5 x 2 x 4 x 2 x 0,25 x 2 x 2 x 0,25 x 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất 0,5 0,25 P x 3 3 Ta có: x Q x x Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: 3 x 2 3 x Dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi 0,25 3 x x 3 (Thỏa mãn điều kiện). x P Vậy giá trị nhỏ nhất của là 2 3 , đạt được khi x 3. Q BÀI Ý ĐÁP ÁN – HƯƠNG DẪN CHẤM ĐIỂM Bài II Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc 2,0 (2,0 Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là x (km/giờ), x 2. 0,25 điểm) 60 0,25 Thời gian tàu tuần tra ngược dòng là (giờ) x 2 48 0,25 Thời gian tàu tuần tra trôi xuôi dòng là (giờ) x 2 ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 23
24. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 60 48 0,25 Ta có phương trình 1. x 2 x 2 2 Đưa về phương trình bậc hai x 12x 220 0. 0,25 Giải phương trình được: x 22 (tmđk) hoặc x 10 (loại) 0,5 Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là 22 (km/giờ) 0,25 Bài 1 Giải hệ phương trình 1,0 III (2,0 điểm) ĐKXĐ: x 1. 0,25 a x y 2a b 4 Đặt b x y a 3b 5 a 1 0,25 Giải hệ phương trình trên ta được: b 2 0,25 x y 1 x 3 Từ đó: (thỏa mãn đkxđ) y 2 x 1 2 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm 3; 2 0,25 2a Chứng minh phương trình luôn có nghiệm 0,5 2 2 0,25 Ta có Δ m 5 4 3m 6 m 1 2 Vì (m 1) 0  m 0  m điều phải chứng minh. 0,25 2b Tìm m để phương trình 0,5 Tìm được hai nghiệm x1 3, x 2 m 2. 0,25 x1 3 0 Yêu cầu bài toán x2 m 2 0 2 2 x1 x 2 25 (*) Giải (*) được m = 2 (chọn) 0,25 Hoặc m = - 6 ( loại ) Kết luận m 2 là giá trị cần tìm. ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 24
25. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 Bài 1 Chứng minh tứ giác nội tiếp 1,0 IV 0,25 ( 3,5 điểm) Chứng minh được AMD 90  0,25 Vì ACD AMD 90  nên M,C thuộc đường tròn đường kính AD. 0,25 Kết luận ACMD là tứ giác nội tiếp. 0,25 2 Chứng minh CA.CB = CH.CD 1,0 Xét hai tam giác CAH và CDB ta có: 0,25 ACH DCB 90  Mặt khác CAH CDB ( vì cùng phụ góc 0,25 CBM ) (2) Từ (1) và (2) CAH và CDB đồng dạng. 0,25 Từ đó CA.CB = CH.CD (điều phải chứng minh). 0,25 3 Chứng minh 1,0 *) Chứng minh A, N, D thẳng hang 0,25 Chứng minh được H là trực tâm ABD AD  BH ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 25
26. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 Vì AN BH và AD BH nên A, N, D thẳng hang 0,25 *) Chứng minh tiếp tuyến tại N 0,25 Gọi E là giao điểm của CK và tiếp tuyến tại N Ta có BN DN, ON  EN DNE BNO Mà BNO OBN , OBN EDN DNE EDN DEN cân tại E ED DN (3) Ta có ENH 90  END 90  NDH EHN 0,25 HEN cân tại E EH EN (4) Từ (3) và (4) E là trung điểm của HD ( điều phải chứng minh). 4 Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định 0,5 Gọi I là giao điểm của nửa đường tròn với T là tiếp điểm 2 IN. IM IT 5 0,25 Ta có: EM OM (Vì ENO EMO và EN ON ). NCOM,,, cùng thuộc một đường tròn. IN. IM IC . IO 6 2 Từ 5 và 6 IC . IO IT ICT và ITO đồng dạng. 0,25 CT  IO T  K I là giao điểm của tiếp tuyến tại K của nửa đường tròn và đường thẳng AB I cố định điều phải chứng minh. Bài V Tìm giá trị lớn nhất 0,5 2 2 2 (0,5 Ta có a b 4 2 ab a b 4 0,25 điểm ) 2 a b 4 2M a b 2 a b 2 2 2 0,25 Ta có: a b 2 a b 2 2 M 2 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b 2 . Vậy giá trị lớn nhất của M bằng 2 1 khi a b 2 . ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 26
27. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2016-2017 7 x2 x 24 Bài I. (2,0 điểm). Cho hai biểu thức: A và B với x 0, x 9. x 8 x 3 x 9 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25. x 8 2) Chứng minh B . x 3 3) Tìm x để biểu thức P=A.B có giá trị là số nguyên. Bài II. (2,0 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2. Nếu tăng chiều dài thêm 10 m và giảm chiều rộng 6 m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Bài III. (2,0 điểm). 3x 2 4 x 1 y 2 1) Giải hệ phương trình . 2x 1 5 x 1 y 2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y 3 x m2 1 và parabol (P) : y x2. a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m. b) Gọi x1 và x2 là hoành độ các giao điểm của d và (P). Tìm m để x1 1 x 2 1 1. Bài IV. (3,5 điểm). Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O)(B là tiếp điểm) và đường kính BC. Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C, I khác O). Đường thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE. 1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn. AB BD 2) Chứng minh . AE BE 3) Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO,d cắt BC tại điểm K. Chứng minh HK // DC. 4) Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F. Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật. Bài V (0,5 điểm). Với các số thực x,y thỏa mãn x x 6 y 6 y . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y. Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 27
28. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2016-2017 === === BÀI Ý ĐÁP ÁN-HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 1 Tính giá trị của biểu thức 0,5 Bài I Thay x 25 vào biểu thức A 0,25 (2 7 0,25 Tính được A . điểm) 13 2 x 8 1,0 Chứng minh B . x 3 x2 x 24 0,25 B x 3 ( x 3)( x 3) x( x 3) 2 x 24 0,25 B (x 3)( x 3) x 5 x 24 0,25 B x 3 x 3 x3 x 8 0,25 x 8 B . x 3 x 3 x 3 3 Tìm x để biểu thức PAB . có giá trị là số nguyên. 0,5 0,25 7x 8 7 PAB x 8 x 3 x 3 7 7 7 Ta có 0 0 P . x 3 3 3 Mà PZP {1;2} TH1 : P 1 x 3 7 x 16 (thỏa mãn) 0,25 7 1 TH2 : P 2 x 3 x (thỏa mãn) 2 4 1  Vậy x ;16  . 4  Bài II Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình 2,0 (2,0 x điểm) Gọi chiều dài mảnh vườn hình chữ nhật là (m). Điều kiện x 0. 0,25 720 0.25 Chiều rộng mảnh vườn là m x ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 28
29. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 Chiều dài mảnh vườn sau khi tăng 10 m là : x 10 (m) 0.25 720 0.25 Chiều rộng mảnh vườn sau khi giảm 6m là 6 (m) x Ta có phương trình : 0.25 720 x 10 . 6 720 x 2 x 10 x 1200 0 0.25 0.25 Tìm được x1 40 loại ; x2 30 thỏa mãn ĐK. Vậy mảnh vườn có chiều dài 30m, chiều rộng là 24m. 0.25 Bài III 1 Giải hệ phương trình 1,0 (2,0 điểm) Điều kiện xác định : x 1 và y 2. 0.25 x 1 Đặt a; b x 1 y 2 3a 2 b 4 Ta có hệ : 2a b 5 a 2 0.25 Giải được b 1 x 0.25 2 x 1 x 2 x 2 Từ đó 1 y 2 1 1 y 2 x 2 0.25 (thỏa mãn điều kiện). y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x ; y ) (2; 1). 2a Chứng minh ()d luôn cắt ()P tại hai điểm phân biệt với mọi m 0,5 a) Hoành độ giao điểm của ()d và ()P là nghiệm của phương 0,25 trình : 2 2 2 2 x 3 x m 1 x 3 x m 1 0 (1) 2 2 2 Xét ( 3) 4( m 1) 4 m 5 0,  m 0,25 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m hay ()d luôn cắt ()P tại hai điểm phân biệt với m . ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 29
30. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 2b Tìm m để x1 x 1 1. 0,5 1 2 0,25 Ta có x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình (1) 2 Suy ra : x1 x 2 3 và x1. x 2 m 1 x1 x 1 1. ( x x ) x . x 0 (*) 1 2 1 2 1 2 2 Thay x1 x 2 3 và x1. x 2 m 1 vào (*) ta có : 2 3 m 1 0 m 2. Vậy m 2. Bài 1 Chứng minh bốn điểm ABOH,,, cùng nằm trên một đường tròn. 1,0 IV Vẽ hình đúng 0,25 (3,5 + Chứng minh được điểm) 0 0,25 ABO 90 + Chứng minh được B 0 0,25 AHO 90 + Suy ra bốn điểm ABOH,,, cùng nằm A O trên một đường kính 0,25 D I H AO . E C 2 AB BD 1,0 Chứng minh AE BE B A O H D I K E 0,25 + Chứng minh được ABD AEB C 0,25 + Xét ABD và AEB có EAB chung ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 30
31. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 + Chứng minh được ABD đồng dạng AEB g. g 0,25 AB BD 0,25 + Suy ra AE BE 3 Chứng minhHK // DC 1,0 + Tứ giác ABOH nội tiếp suy raOBH OAH mà OAH HEK (do EK // AO) 0,25 suy ra HBK HEK . + Suy ra ứu giác BHKE nội tiếp. 0,25 0,25 + Chứng minh được BKH BCD ( cùng bằng BEH ) + Kết luận HK // DC 0,25 4 Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật. 0,5 B F P O A Q H D I K M E Gọi giao điểm tia CE và tia AO là Q . Tia EK và CCD tại điểm M . 0,25 + Xét DEM có HK // DM và H là trung điểm của đoạn thẳng ME . KE MK CK + ME // PQ suy ra tỉ số: (cùng bằng ). Suy ra O là OQ OP CO trung điểm của đoạn PQ . + OP OQ;. OB OC Suy ra tứ giác BPCQ là hình bình hành. 0,25 Suy ra CE // BF. + Chứng minh được COE BOF g c g OE OF Mà OB OC OE OB OC OE OF Suy ra tứ giácBECF là hình chữ nhật. ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 31
32. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 Bài V Tìm giá trị lớn nhất của P x y . 0,5 (0,5 Điều kiện x 6 và y 6 . điểm) Từ giả thiết ta cóP x 6 y 6 2 Nên P 0 và P P 12 2 x 6 y 6 Mặt khác theo Cô – si, ta có: 2 P P12 2 x 6 y 6 P 12 x 6 y 6 0,25 2 PP 2 24 0 2 2 PPPP 2 1 25 1 25 6 x 6 y 6 x 3 P 6 khi (thỏa mãn điều kiện) x y 6 y 3 Vậy giá trị lớn nhất P bằng 6 khi x y 3 . Tìm giá trị GTNN của P x y . 0,25 2 Ta có P 0 và P 12 2 x 6 y 6 Vì x 6 y 6 0 2 PPPP 12 0 4 3 0 P 4 vì P 0 nên P 3 0 0,25 x 6 x 10 P 4 khi hoặc (thỏa mãn điều kiện) y 10 y 6 x 6 x 10 Vậy giá trị nhơ nhất P bằng 4 khi và . y 10 y 6 ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 32
33. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2017-2018 Câu I: (2,0 điểm) x 2 3 20 2 x Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 25. x 5 x 5 x 25 1) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 . 1 2) Chứng minh rằng B . x 5 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A B. x 4 . Câu II: (2,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km. Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút. Tính vận tốc của mỗi xe. Câu III: (2,0 điểm) x 2 y 1 5 1) Giải hệ phương trình . 4x y 1 2 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y mx 5. a) Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua điểm A 0;5 với mọi giá trị của m . 2 b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol P : y x tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x 2 (với x1 x 2 ) sao cho x1 x 2 . Câu IV: (3,5 điểm) Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC . Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC . Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I . Dây MN cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K . 1) Chứng minh bốn điểm CNKI,,, cùng thuộc một đường tròn. 2 2) Chứng minh NB NK. NM . 3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. 4) Gọi PQ , lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn O . Chứng minh ba điểm DEK,, thẳng hàng. Câu V: (0,5 điểm) Cho các số thực a,, b c thay đổi luôn thỏa mãn: a 1, b 1, c 1 và ab bc ca 9 . 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P a b c . Hết Lưu ý: Giám thị không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 33
34. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM 2017-2017 === === Câu I 1) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 . 9 2 3 2 5 Khi x 9 ta có A 9 5 3 5 2 1 2) Chứng minh rằng B . x 5 3 20 2 x Với x 0, x 25 thì B x 5 x 15 3 20 2 x x 5 x 5 x 5 3x 5 20 2 x x 5 x 5 3x 15 20 2 x x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 1 (điều phải chứng minh) x 5 3) Tìm tất cả các giá trị của x để A B. x 4 . Với x 0, x 25 Ta có: A B. x 4 x 2 1 .x 4 x 5 x 5 x 2 x 4 (*) Nếu x 4, x 25 thì (*)trở thành : x 2 x 4 x x 6 0 x 3 x 2 0 Do x 2 0 nên x 3 x 9 (thỏa mãn) Nếu 0 x 4 thì (*)trở thành : x 2 4 x x x 2 0 x 1 x 2 0 Do x 2 0 nên x 1 x 1 (thỏa mãn) Vậy có hai giá trị x 1 và x 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu II Gọi vận tốc xe máy là x (km/h). Điều kiện x 0 ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 34
35. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên vận tốc ô tô là x 10 (km/h). 120 Thời gian xe máy đi từ A đến B là (h) x 120 Thời gian ô tô đi từ A đến B là (h) x 10 3 Xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút (h) nên ta có phương trình: 5 120 120 3 x x 10 5 120.5. x 10 120.5. x 3. x x 10 2 3x 30 x 6000 0 x 50 x 40 0 x 50 . Kết hợp với điều kiện đầu bài ta được x 40 . x 40 Vậy vận tốc của xe máy là 40 (km/h), vận tốc của ô tô là 50(km/h). Câu III x 2 y 1 5 1) Giải hệ phương trình . 4x y 1 2 Điều kiện: x 0; y 1 a x Đặt .Điều kiện a; b 0 . Khi đó hệ phương trình ban đầu trở thành b y 1 a 2 b 5 a 5 2 b a 5 2 b a 5 2 b a 1 4a b 2 4 5 2b b 2 20 8b b 2 9 b 18 b 2 x 1 x 1 x 1 Do đó ( thỏa mãn) y1 4 y 5 y 1 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1;5 . 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y mx 5. a) Chứng minh đường thẳng d luôn đi qua điểm A 0;5 với mọi giá trị của m . Thay tọa độ điểm A 0;5 vào phương trình đường thẳng d : y mx 5 ta được: 5 m .0 5 luôn đúng với mọi giá trị của tham số m nên đường thẳng d luôn đi qua điểm A với mọi giá trị của m . 2 b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d cắt parabol P : y x tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x 2 (với x1 x 2 ) sao cho x1 x 2 . Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và P : 2 2 x mx 5 x mx 5 0 . ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 35
36. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 Ta có tích hệ số ac 5 0 nên phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m hay thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt với mọi m . x1 x 2 m Theo hệ thức Vi-ét ta có x1 x 2 5 2 2 2 2 Ta có x1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 0 x 1 x 2 x 1 x 2 0 Theo giả thiết: x1 x 2 x1 x 2 0 do đó x1 x 2 0 m 0 . Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu IV a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I cùng thuộc một đường tròn. Vì M là điểm chính giữa cung nhỏ AB của O (giả thiết) sd AM sdMB ANM BCM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Xét tứ giác CNKI ta có: INK ICK (vì ANM BCM ) CNKI là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau) C , N , K , I cùng thuộc một đường tròn. 2 b) Chứng minh NB NK. NM . ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 36
37. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 Vì N là điểm chính giữa cung nhỏ BC của O (giả thiết) sd BN sd NC BMN NBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau). Xét BMN và KBN ta có: - BNM là góc chung. - BMN NBK (vì BMN NBC ) BMN  KBN g-g NB NM 2 NB NK. NM . NK NB c) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. + Chứng minh BHIK là hình bình hành. Gọi J là giao điểm của AN và BC . Ta có: sd AM sdMB (cmt) ACM BCM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) CM là phân giác của ACB CI là phân giác trong của CAJ ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 37
38. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 IA CA (1) IJ CJ Ta có: sd AM sd MB (cmt) ANM BNM (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) NM là phân giác của ANB . NH là phân giác trong của NAB HA NA (2) HB NB Ta có: sd BN sd NC BAN CAN (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau). Xét CAJ và NAB ta có: - ACJ ANB (hai góc nội tiếp cùng chắn AB ) - BAN CAJ (cmt) CAJ  NAB g-g CA CJ CA NA (3) NA NB CJ NB IA HA Từ (1), (2), (3) suy ra IJ HB HI BJ (định lí Thales đảo) hay HI BK (4) Chứng mình tương tự các ý ở trên, ta được KI BH (5) Từ (4) và (5) suy ra BHIK là hình bình hành. + Chứng minh BH BK . BK BN BM. BN Ta có : KBN  BMN (cmt) BK (6) BM MN MN Chứng minh tương tự câu b) ta có: HMB  BMN g-g BH BM BM. BN BH (7) BN MN MN Từ (6) và (7) suy ra BH BK Mà BHIK là hình bình hành nên BHIK là hình thoi. d) Gọi P , Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn O . Chứng minh ba điểm D , E , K thẳng hàng. ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 38
39. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 Ta có: NBK BMK (cmt) BN là tiếp tuyến tại B của P BN  BP o Mà BN BD (vì DBN 90 : góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) nên B , P , D thằng hàng. Ta có: PBK cân tại P ( PB PK ) o BPK 180 2  PBK (8) NB NC sd NB sd NC Ta có: ON là đường trung trực của đoạn BC OB OC DB DC ( D thuộc đường thẳng ON ) DBC cân tại D o BDC 180 2  DBC (9) Từ (8) và (9) suy ra BPK BDC Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên PK DC PK DQ (10) Chứng minh tương tự ta có: C , Q , D thẳng hàng và QK DP (11) Từ (10) và (11) suy ra DPKQ là hình bình hành Mà E là trung điểm của đường chéo PQ nên E cũng là trung điểm của đường chéo DK D , E , K thẳng hàng. Câu V: + Tìm giá trị nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có: 2 2 a b 2 ab 2 2 2 2 2 b c 2 bc 2 a b c 2 ab bc ca c2 a 2 2 ca ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 39
40. Trung Tâm Trí Đức Ths. Lê Hải Trung-0984 735 736 2 2 2 P a b c ab bc ca 9 a b c 1 Dấu ‘=’ xảy ra a b c 3 . ab bc ca 9 + Tìm giá trị lớn nhất. a 1 a 1 b 1 0 ab a b 1 0 Vì b 1 b 1 c 1 0 bc b c 1 0 c 1 c 1 a 1 0 ca c a 1 0 ab bc ca 2 a b c 3 0 ab bc ca 3 3 a b c 6 2 2 a b c 36 2 2 2 a b c 2 ab bc ca 36 P 36 2 ab bc ca 18 a 4, b c 1 Dấu ‘=’ xảy ra b4, c a 1. c 4, a b 1 Vậy GTNN của P là 9, xảy ra khi và chỉ khi a b c 3 . a 4, b c 1 GTLN của P là 18, xảy ra khi và chỉ khi b4, c a 1. c 4, a b 1 ĐỀ THI VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Page 40