Đề thi thử chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề 4 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Phan Bội Châu (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề 4 - Năm học 2019-2020 - Trường THCS Phan Bội Châu (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS PHAN BỘI CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2019 – 2020 Đề thi thử 4 Mụn thi: TOÁN Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Cõu 1. (4,0 điểm). Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử: 1)x2 10xy 9y2 2) x3 + 6x2 + 11x + 6 3) x4 2020x2 2019x 2020 Cõu 2. (3,0 điểm). 2 1) Rỳt gọn biểu thức: A= 3x 1 2 3x 1 3x 5 9x2 30x 25 1 1 2 4 8 16 2) Cho x + y + z = 0. Rỳt gọn : 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 1 x16 3) Chứng minh giỏ trị của biểu thức sau khụng phụ thuộc vào biến: 3 3 x2 2 x2 x4 3 3x 5 x 6x2 x2 2 15x Cõu 3. (4,0 điểm). 1) Giải phương trỡnh: a) x2 x 2 x2 x 3 12 x 24 x 25 x 26 x 27 x 2036 b) 0 1996 1995 1994 1993 4 1 1 1 1 1 c) x2 5x 6 x2 7x 12 x2 9x 12 x2 11x 30 8 2) Tỡm số tự nhiờn cú 2 chữ số . Biết rằng tổng của 2 chữ số là 10 và nếu đổi chỗ 2 chữ số được số mới lớn hơn số cũ 36. Cõu 4. (2,0 điểm). Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hỡnh bỡnh hành ABCD cắt đường chộo BD ở E và cắt BC , DC theo thứ tự ở K, G. Chứng minh rằng: 1 1 1 a) AE 2 EK.EG b) AE AK AG Cõu 5. (5,0 điểm). Cho hỡnh chữ nhật ABCD . Trờn đường chộo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của C qua P. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Tứ giỏc AMDB là hỡnh gỡ? Vỡ sao? b) Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của điểm M trờn AD, AB. Chứng minh: EF // AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh rằng tỉ số cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật MEAF khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm P. PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP = 2,4 cm, . Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD. PB 16 Cõu 6. (2,0 điểm). 1) Chứng minh rằng n5 – n chia hết cho 30 với mọi n N x 3 2) Cho biểu thức A = . Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên x2 x 1 3) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: D x 1 x 2 x 3 x 6
2. Hết (Học sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Cõu 1 a) 2x2 5x 3 2x2 6x x 3 0,5 4 điểm 2x x 3 x 3 x 3 2x 1 0,5 4 2 4 2 2 b) x 2009x 2008x 2009 x x 1 2008x 2008x 2008 0,5 (x2 x 1)(x2 x 1) 2008(x2 x 1) 0,5 (x2 x 1)(x2 x 1 2008) (x2 x 1)(x2 x 2009) 0,5 c) x 2 x 4 x 6 x 8 16 x 2 x 8 x 4 x 6 16 x2 10x 16 x2 10x 24 16 0,5 x2 10x 20 t Đặt t 4 t 4 16 t 2 16 16 t 2 0,5 2 x2 10x 20 0,5 2 2 Cõu 2 1) x y z z y x y z 2y 2z 3 điểm 0,5 x y z 2 2 x y z y z y z 2 x y z y z 2 0,5 0,5 x2 1 1 1 1 1 x2 5x 2) 2 2 2 2 2 . x x x 3x 2 x 5x 6 x 7x 12 x 9x 20 5 1 1 1 1 1 x2 5x . 0,5 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x2 5x . 0,5 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 5 1 1 x2 5x . x x 5 5 0,25 5 x x 5 . 1 0,25 x x 5 5 Cõu 3 1) 4 điểm a) 3x2 x 6 2 0 3x2 6 x 2 0 3 x2 2 x 2 0 3 x 2 x 2 x 2 0 0,25 x 2 3 x 2 1 0 x 2 3x 3 2 1 0 0,25
3. x 2 0 3x 3 2 1 0 x 2 3 2 1 x 3 0,25 3 2 1  Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là S 2;  3  2 1 2x 1 b) 0,25 x2 x 1 x 1 x3 1 x 1 ĐKXĐ: 2 x 1 x2 x 1 2x 1 2 2x 2 x x 0,25 x2 x 2 0 x 1 x 2 0 x 1(l) 0,25 x 2(n) S 2 0,25 2) Gọi số phải tỡm là x (x > 0) Vỡ phần nguyờn x cú một chữ số nờn khi viết thờm chữ số 2 vào bờn trỏi thỡ 0,25 số đú tăng thờm 20 đơn vị, nghĩa là ta cú số cú giỏ trị là 20 + x Vỡ khi dịch dấu phẩy sang trỏi một chữ số thỡ số đú giảm đi 10 lần, nờn khi dịch dấu phẩy của số cú giỏ trị 20 + x sang trỏi thỡ được số cú giỏ trị là 0,25 20 x 10 9 0,25 Số mới nhận được bằng số ban đầu nờn ta cú phương trỡnh 10 20 x 9 x 10 10 x 2,5(n) Vậy số phải tỡm là 2,5 0,25 0,25 Cõu 4 2 điểm 1) Do ãADC Bà BãAD Bà ãADC 0,25 ã à Lấy E trờn AC sao cho ADE B . Khi đú AE < AC 0,25 ADE và ABD đồng dạng (g-g) 0,25 AD AE AD2 AB.AE AB.AC A AB AD 0,25 E B D C
4. 2) A' A B H C B' H' C' Gọi k là tỉ số đồng dạng của ABC và A' B 'C ' AB BC 0,25 Ta cú k (1) A' B ' B 'C ' Xột ABH và A' B ' H ' cú: Hà Hả ' 900 (GT) Bà Bà'(GT ) 0,25 Suy ra ABH và A' B ' H ' (g-g) AB AH k (2) A' B ' A' H ' 0,25 1 AH.BC S 0,25 ABC 2 k.k k 2 S 1 A'B'C ' A' H '.B 'C ' 2 Cõu 5 H 5 điểm B C F O E A K D a) Ta cú : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO(g c g) => BE = DF 0,5 Suy ra : Tứ giỏc : BEDF là hỡnh bỡnh hành. 0,5 b) Ta cú: ãABC ãADC Hã BC KãDC Chứng minh : CBH : CDK(g g) 0,5 0,5
5. CH CK CH.CD CK.CB CB CD 0,5 0,5 c) Chứng minh : AFD : AKC(g g) AF AK AD.AK AF.AC AD AC 0,5 Chứng minh : CFD : AHC(g g) CF AH 0,5 CD AC CF AH 0,5 Mà : CD = AB AB.AH CF.AC AB AC Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF).AC = AC2 . Cõu 6 1) 2 điểm Ta cú 0,25 a 13k 2 a2 132 k 2 2.13k.2 4 0,25 b 13l 3 b2 132 l 2 2.13l.3 9 a2 b2 13 13k 2 4k 13l 2 6l 13 M 13 0,5 2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A x x 1 x2 x 4 x2 x x2 x 4 0,25 2 Đặt x + x – 2 = t 0,25 A t 2 t 2 t 2 4 4 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là -4 0,25 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = 0 x2 x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 0,25 x 2 HS cú thể làm cỏch khỏc, nhưng sử dụng phự hợp kiến thức chương trỡnh vẫn chấm điểm tối đa.