Đề thi thử học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) x2 2x 2x2 1 2 Câu 1: (1.5 điểm) Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Câu 2:(1.5 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 4 b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020. Câu 3: (2 điểm) Tìm số tự nhiên n để: a, A= n3-n2+n-1 là số nguyên tố. b, B= n5-n+2 là số chính phương. ( n N;n 2 ) Câu 4: (1.5 điểm) 1 1 1 1 a) Giải phương trình : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c 3 b c a a c b a b c Câu 5: (0.5 điểm)Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với : x = 1 a ; y = 1 b 1 a a2 1 b b2 Câu 6: (3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên đoạn OB lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P. a/ Tứ giác AMBD là hình gì? Vì sao? b/ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD, AB. Chứng minh: EF // AC. c/ Chứng minh: Ba điểm E, F, P thẳng hàng. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. TRƯỜNG THCS . HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 8 . NĂM HỌC 2021 - 2022 Câu Nội dung Điểm x2 2x 2x2 1 2 Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. a) x 0 x 0 +)A được xác định 2 3 2 8 4x 2x x 0 4(2 x) x (2 x) 0 0.25 x 0 x 0 x 0 2 (2 x)(4 x ) 0 2 x 0 x 2 +) ĐKXĐ : x 2; x 0 * Rút gọn : x2 2x 2x2 1 2 Ta có A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x Câu 1 x2 2x 2x2 x2 x 2 (1.5đ) 2 2 2 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x (x 2 2x)(2 x) 4x 2 x 2 x 2x 2 0.75 . 2(x 2 4)(2 x) x 2 2x 2 x 3 4x 2x 2 4x 2 x(x 1) 2(x 1) . 2(x 2 4)(2 x) x 2 x(x2 4) (x 1)(x 2) x 1 . 2(x2 4)(2 x) x2 2x b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. x 1 * Z x +1  2x 2x + 2  2x Mà 2x  2x 2x 2  2x 1  x x = 1 hoặc x = -1 0.5 * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) x 1 +) Vậy A= Z x = 1 hoặc x = -1 2x Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 4 b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020. Câu 2 a) x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 = ( x2+2)2 - (2x)2 0.5 (1.5đ) = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 = x4 x 2020x2 2020x 2020 0.5 = x x 1 x2 x 1 2020 x2 x 1 = x2 x 1 x2 x 2020 0.5 Tìm số tự nhiên n để:
3. Câu 3 a, A= n3-n2+n-1 là số nguyên tố. (2đ) b, B= n5-n+2 là số chính phương. ( n N;n 2 ) a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1) 0.25 +)Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài +)Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 0.5 +)Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 - Vậy n = 2 thì p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố 0.25 b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 0.5 =n(n-1)(n+1) n 2 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)5 (tích của 5số tự nhiên liên tiếp) 0.25 và 5 n(n-1)(n+1)5 Vậy B chia 5 dư 2 Do đó số B có tận cùng là 2 hoặc 7nên B không phải số chính phương 0.25 Vậy không có giá trị nào của n để B là số chính phương 1 1 1 1 a) Giải phương trình : x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng : a b c 3 b c a a c b a b c x2 9x 20 x 4 x 5 2 Ta có x 11x 30 x 6 x 5 2 0.25 x 13x 42 = x 6 x 7 ĐKXĐ : x 4; x 5; x 6; x 7 0,25 Phương trình trở thành : 1 1 1 1 Câu 4 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 (1.5 đ) 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 0.25 1 1 1 0,25 x 4 x 7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13) Từ đó tìm được x=-13; x=2 và kết luận đúng 0.25 b) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y z x z x y 0.25 Từ đó suy ra a= ;b ;c ; 2 2 2
4. y z x z x y 1 y x x z y z =>A= ( ) ( ) ( ) 0.5 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A (2 2 2) hay A 3 2 0.25 Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với : x = 1 a ; y = 1 b 1 a a2 1 b b2 Ta có x,y > 0 và Câu 5 1 1 a a2 a2 1 1 1 1 1 1 1 1 (0.5 đ) 1 a 1 1 1 1 x 1 a 1 a y 0.5 a2 a2 a b2 b 1 1 1 1 Vì a> b > 0 nên và . Vậy x < y. a2 b2 a b Câu 4 B (3đ) C P M F O 0.5 I E A D (Vẽ hình ghi GT, KL đúng) a/ Gọi O là giao điểm của AC và BD. 0,5 Chứng minh PO là đường trung bình của MCA, suy ra PO // MA. Suy ra tứ giác AMBD là hình thang. 0.5 b/ Gọi I là giao điểm của AM và EF. 0.5 IEA cân tại I nên I·EA I·AE ; OAD cân tại O nên O· AD O· DA. · · · · Mà IAE ODA nên IEA OAD . 0.5 Suy ra EF // AC c/ Chứng minh IP là đường trung bình của MAC nên IP // AC 0.5 Kết hợp với câu b, suy ra E, F, P thẳng hàng. Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình.