Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 - Đề số 12 - Trần Trọng Tuyến

Nội dung text: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 - Đề số 12 - Trần Trọng Tuyến

1. Megabook.vn ĐỀ THI THỬ THPTQG NĂM 2019 Biên soạn bởi Th.S Trần Trọng Tuyển CHUẨN CẤU TRÚC CỦA BỘ GIÁO DỤC – ĐỀ 12 Chu Thị Hạnh, Trần Văn Lục Môn thi: TOÁN (Đề thi có 21 trang) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Họ, tên thí sinh: Số báo danh: Câu 1. Cho số phức z 3 2i . Tìm số phức w z 1 i 2 z . A. B.w C.3 D. 5 i w 7 8i. w 3 5i. w 7 8i. x 1 2t Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d : . y 3 5t A. B.u C. 2 D.; 5 . u 5;2 . u 1;3 . u 3;1 . Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M 1;2;3 , N 2;3;1 và P 3; 1;2 . Tọa độ điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành là: A. B.Q C.4; 0D.; 4 . Q 2;2;4 . Q 4;0;0 . Q 2; 2;4 . Câu 4. Hàm số nào sau đây có tập xác định không phải là khoảng 0; ? 3 1 A. B.y C.x D.2 . y x 2 . y x 5. y x 2 . Câu 5. Khối 20 mặt đều như hình vẽ bên có bao nhiêu đỉnh? A. 10. B. 12. C. 16. D. 20. Câu 6. Phương trình x 2 3x 1 có tổng các nghiệm là: 1 1 1 3 A. B. C D. . . 2 4 4 4 Câu 7. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x x ln x . Tính F '' x . 1 A. B.F 'C.' x D. 1 ln x. F '' x F '' x 1 ln x F '' x x ln x x Câu 8. Một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp đó. Tính xác suất thẻ lấy được ghi số lẻ và chia hết cho 3. 3 1 1 3 A. B. C D. . . . 10 2 5 20 Câu 9. Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là: Trang 1
2. 4 3 A. B.S C. RD.2. S R3. S R2. S 4 R2. 3 4 Câu 10. Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây, hàm số nào có bảng biến thiên sau? x 1 3 y ' + 0 0 + 1 y 29 3 1 2 A. B.y x3 3x2 9x 2. y x3 x2 3x . 3 3 1 2 C. D.y x3 3x2 9x 2. y x3 x2 3x . 3 3 Câu 11. Phương trình nào trong số các phương trình sau có nghiệm? A. B.co s x 3 0. sin x 2. C. D.2s in x 3cos x 1. sin x 3cos x 6. Câu 12. Tập xác định của hàm số y x 1 là A. B. C.;1 D.. 1; . 1; . ¡ . Câu 13. Đường cong ờ hình bên là đồ thị của hàm số y ax4 bx2 c với a, b, c là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Phương trình y ' 0 có ba nghiệm thực phân biệt. B. Phương trình y ' 0 có đúng một nghiệm thực. C. Phương trình y ' 0 có hai nghiệm thực phân biệt. D. Phương trình y ' 0 vô nghiệm trên tập số thực. Câu 14. Cho a, b là các số thực dương, khác 1. Đặt log b . Biểu thức P log b log a3 là: a a2 b 2 12 2 12 4 2 1 2 2 A. B.P C. D. . P . P . P . 2 2 2 Trang 2
3. x 2 Câu 15. Giới hạn lim có giá trị bằng bao nhiêu? x x2 1 A. 0.B. 1.C. 2.D. -2 Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A 0;1;2 , B 2; 2;1 ,C 2;0;1 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC là: A. 2x y 1 0. B. y 2z 3 0. C. 2x y 1 0. D. y 2z 5 0. 2x 1 Câu 17. Cho hàm số y ,m là tham số thực. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số nghịch biến x m 1 trên khoảng ;1 ? 2 1 1 1 A. B. C.m D. 1. m . m 1. m . 2 2 2 Câu 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng   a3 3 đáy là điểm H thuộc cạnh BC sao cho BH 2CH .Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng thì góc 6 giữa SB và mặt phăng (ABC) bằng α. Giá trị tan bằng bao nhiêu? 2 3 A. B.tan C. D. . tan 3. tan . tan 2. 3 2 Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình m 5 9x 2m 2 6x 1 m 4x 0 có hai nghiệm phân biệt? A. 2B. 4C. 3D. 1 Câu 20. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' đáy ABC là một tam giác vuông cân tại A, AB a . Cạnh AA' hợp với B'C góc 60°. Thể tích của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' theo a là: a3 3 a3 6 a3 2 a3 A. B.V C. D. . V . V . V . 6 6 6 6 Câu 21. Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn 2 z 1 3z i 5 i . Giá trị H a 2b bằng bao nhiêu? A. B.H C. 1 D H 3. H 3. H 1. Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho phương trình đường thẳng x 1 y 2 z 3 d : và phương trình mặt phẳng P : mx 10y nz 11 0 . Biết rằng mặt phẳng (P) 2 3 4 luôn chứa đường thẳng d. Giá trị m + n bằng bao nhiêu? A. B.m C.n D. 3 3. m n 33. m n 21. m n 21. x 1 y z Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và hai điểm 2 1 2 A 2;1;0 , B 2;3;2 . Viết phương trình mặt cầu đi qua A,B và có tâm I thuộc đường thẳng d. A. B. x 3 2 y 1 2 z 2 2 5. x 1 2 y 1 2 z 2 2 17. C. D. x 1 2 y 1 2 z 2 2 17. x 3 2 y 1 2 z 2 2 5. Trang 3
4. Câu 24. Nghiệm của phương trình 2cos 2x 9sin x 7 0 là: A. B.x k2 ,k ¢ . x k ,k ¢ . 2 2 C. D.x k ,k ¢ . x k2 ,k ¢ . 2 2 2 Câu 25. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f x 6x sin 3x, biết F 0 . 3 cos3x 2 cos3x A. B.F x 3x2 . F x 3x2 1. 3 3 3 cos3x cos3x C. D.F x 3x2 1. F x 3x2 1. 3 3 Câu 26. Hàm số y x 2 x2 1 có đồ thị như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số y x 2 x2 1 ? A. Hình 1B. Hình 2.C. Hình 3.D. Hình 4. Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết BC a 3 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Góc giữa SD với mặt phẳng (SAB) là: A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o x2 1 khi x 1 Câu 28. Hàm số f x liên tục tại điểm x0 1 khi m nhận giá trị bằng bao nhiêu? x m khi x 1 A. B.m C.1 D. m 2. m . m 1. Câu 29. Đạo hàm của hàm số y 3e x 2018ecos x là: A. B.y ' 3e x 2018.sin x.ecos x . y ' 3e x 2018.sin x.ecos x . C. D.y ' 3e x 2017.sin x.ecos x . y ' 3e x 2018.sin x.ecos x . 2 Câu 30. Biết 2x ln x 1 dx a.ln b, với a,b ¥ * , b là số nguyên tố. Tính 6a 7b. 0 A. 33.B. 25.C. 42.D. 39. x2 3 Câu 31. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn 2;4. x 1 19 A. B.mi C.n y D. 6. min y 2. min y 3. min y . 2;4 2;4 2;4 2;4 3 Trang 4
5. Câu 32. Một hộp chứa 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Người ta lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp đó. Tính xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho 3. 2 3 1 4 A. B C. D. 5 10 3 15 Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 2a, AD = a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. Góc giữa SC với mặt phẳng đáy bằng 45°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là: a 3 a 6 a 6 a 3 A. B. C D. . . . 3 4 3 6 Câu 34. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm DD’. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A'D là: 4a a 2a 3a A. B. C D. . . . 3 3 3 4 Câu 35. Cho hai đường thẳng d 1 và d2 song song với nhau. Trên d1 có 10 điểm phân biệt, trên d 2 có n điểm phân biệt n 2 . Biết rằng có 1725 tam giác có các đỉnh là ba trong số các điểm thuộc d 1 và d2 nói trên. Khi đó n bằng bao nhiêu? A. B.n C.12 D n 13. n 14. n 15. Câu 36. Để đồ thị hàm số C : y x3 2x2 1 m x m (m là tham số) cắt trục hoành tại 3 điểm phân 2 2 2 biệt có hoành độ là x1, x2 , x3 sao cho x1 x2 x3 4 thì giá trị của m là: m 1 1 1 m 1 A. B.m C.1 .D. 1 m 1 4 m 4 4 m 0 3 Câu 37. Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 và nửa 2 1 đường elip có phương trình y 4 x2 (với 2 x 2 ) (phần tô 2 đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng: 2 3 2 3 A. B. 6 12 2 3 4 3 C. D. 6 6 Câu 38. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình x3 3x2 2 m có1 6 nghiệm phân biệt. A. B.1 m 3 C. 2 m 0 D. 1 m 1 0 m 2 Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = 3, BC = 4. Hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SC hợp với mặt phẳng đáy một góc 45°. Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 5 2 25 2 125 3 125 2 A. B.V C. D. . V . V . V . 3 3 3 3 Trang 5
6. Câu 40. Tìm môđun của số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 4 1 i z 4 3z i 1 A. B.z C. 1 D. z z 2 z 4 2 2 2 Câu 41. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình 2sin x 21 cos x m có nghiệm. A. B.4 C.m D. 3 2. 3 2 m 5 0 m 5 4 m 5 Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt a 3 phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SM bằng . 4 Thể tích của khối chóp đã cho theo a là: a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 4 2 6 12 Câu 43. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn f 0 0. Biết 1 9 1 x 3 1 f 2 x dx và f ' x cos dx . Tích phân f x dx bằng: 0 2 0 2 4 0 1 4 6 2 A. B. C. D. Câu 44. Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh n 2,n ¥ . Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong sổ 2n đỉnh của 1 đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là . Tìm n. 5 A. B.n C.5. D. n 4. n 10. n 8. x 1 y z 2 Câu 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và điểm 2 1 2 M 2;5;3 . Mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất là: A. B. P : x 4y z 1 0. P : x 4y z 3 0. C. D. P : x 4y z 3 0. P : x 4y z 1 0. Câu 46. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính 3 AD 2a, SA  ABCD , SA a . Tính khoảng cách giữa BD và SC. 2 3a 2 a 2 5a 2 5a 2 A. B. C. D . . . 4 4 12 4 2sin x 1 Câu 47. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biển trên khoảng sin x m 0; là: 2 1 1 A. B.m hoặc m 0 m 1 2 2 Trang 6
7. 1 1 C. m 0 hoặc D.m 1 m 2 2 Câu 48. : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A 3;5 , tâm I thuộc đường thẳng : x y 5 0 và diện tích hình vuông bằng 25. Tìm tọa độ đỉnh C, biết rằng tâm I có hoành độ dương. 9 1 A. B.C C. ;D. C 1;8 C 4;4 C 2;2 2 2 Câu 49. Cho hình nón (N) có đường cao SO = h và bán kính đáy bằng R, gọi M là điểm trên đoạn SO, đặt OM = x (0 < x < h). (C) là thiết diện của mặt phẳng (P) vuông góc với trục SO tại M, với hình nón (N). Giá trị x theo h để thể tích khối nón đỉnh O đáy là (C) lớn nhất là: h h 2 h 3 h A. B.x C. D. x x x 2 2 2 3 1 1 1 1 Câu 50. Cho ba số thực a,b,c ;1 với biểu thức P loga b logb c logc a .Giá 4 4 4 4 trị nhỏ nhất P bằng bao nhiêu? A. B.Pm iC.n D.3. Pmin 6. Pmin 3 3. Pmin 1. Trang 7
8. ĐÁP ÁN 1. D 2. A 3. D 4. C 5. B 6. C 7. C 8. D 9. D 10. B 11. C 12. C 13. A 14. B 15. A 16. C 17. C 18. B 19. D 20. B 21. C 22. D 23. C 24. D 25. D 26. D 27. C 28. D 29. A 30. D 31. A 32. C 33. C 34. B 35. D 36. D 37. A 38. C 39. D 40. C 41. D 42. C 43. C 44. D 45. C 46. B 47. C 48. C 49. D 50. B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Chọn đáp án D Ta có: z 3 2i w 3 2i 1 i 2 3 2i 3 2i 2i 3 2i 7 8i. Vậy số phức w 7 8i. Câu 2. Chọn đáp án A Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u 2; 5 . Câu 3. Chọn đáp án D Gọi tọa độ điểm Q là Q x; y; z .   MNPQ là hình bình hành MN QP 1 3 x x 2 1 1 y y 2 D 2; 2;4 . 2 2 z z 4 Câu 4. Chọn đáp án C Với đáp án C: y x 5 vì lũy thừa bằng -5 là số nguyên âm.  Hàm số xác định khi x 0 D ¡ \0 Câu 5. Chọn đáp án B Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh. Câu 6. Chọn đáp án C 1 x x 2 3x 1 2 1 Ta có: x 2 3x 1 . Vậy tổng các nghiệm là . x 2 1 3x 3 4 x 4 Câu 7. Chọn đáp án C Ta có: F x f x dx x ln xdx F ' x f x x ln x F '' x ln x 1. Câu 8. Chọn đáp án D 1 Số phần tử không gian mẫu là: n  C20 20. Gọi A là biến cố lấy được một tẩm thẻ ghi số lẻ và chia hết cho 3 A 3;9;15. Trang 8
9. Do đó n A 3. 3 Xác suất cần tìm là: P A . 20 Câu 9. Chọn đáp án D Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là S 4 R2. Câu 10. Chọn đáp án B Dựa vào đáp án hoặc bảng biến thiên ta thấy hàm số có dạng y ax3 bx2 cx d. Ta có lim y Hệ số a 0 Loại đáp án A, D. x Đồ thị hàm số đi qua điểm A 1;1 Loại đáp án C. Câu 11. Chọn đáp án C Ta có: 2sin x 3cos x 1 có a2 b2 4 9 13 c2 1 nên phương mình có nghiệm. Câu 12. Chọn đáp án C Hàm số y x 1 xác định x 1 0 x 1. Câu 13. Chọn đáp án A Dựa vào hình dáng cùa đồ thị hàm số y ax4 bx2 c ta thấy đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương có 3 điểm cực trị nên phương trình y ' 0 có ba nghiệm thực phân biệt. Câu 14. Chọn đáp án B Cách 1: Sử dụng công thức logarit biến đổi. 1 1 6 2 12 Ta có: P log b log a3 log b 6log a a2 b 2 a b 2 2 Cách 2: Chọn giá trị thích hợp kết hợp bấm máy tính. Chọn a 2,b 4 loga b log2 4 2 Xét P log b log a3 log 4 log 23 2 a2 b 22 4 22 12 Với α = 2 chỉ có đáp án B có P 2 2.2 Tại sao lại chọn được vì giá trị biêu thức P không đổi với mọi giá trị a, b thỏa, mãn điều kiện loga b . Câu 15. Chọn đáp án A 1 2 x 2 2 Ta có: lim lim x x 0. x 2 x 1 x 1 1 x2 Câu 16. Chọn đáp án C  Ta có: BC 4;2;0  Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC nên nhận vcctơ BC 4;2;0 làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 4 x 0 2 y 1 0 2x y 1 0. Trang 9
10. Câu 17. Chọn đáp án C Tập xác định: D ¡ \m. 1 2m Ta có y ' x m 2 1 1 2m 0 y ' 0 x ;1 1 2 1 Để hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 m m 1 2 1 2 m ;1 2 m 1 Câu 18. Chọn đáp án B     BH 2CH BH 2HC BH 2HC và H nằm giữa BC. BH là hình chiếu của SB lên (ABC). Góc giữa SB với (ABC) là: S· BH . AB2 3 a2 3 Diện tích tam giác đều ABC là: S . ABC 4 4 Thể tích khối chóp S.ABC là: 1 1 a2 3 a3 3 V SH.S SH. SH 2a. S.ABC 3 ABC 3 4 6 Tam giác SBH vuông tại H: SH SH 2a tan 3. 2 2a BH BC 3 3 Câu 19. Chọn đáp án D 2x x x x x 3 3 m 5 9 2m 2 6 1 m 4 0 m 5 2m 2 1 m 0 1 2 2 x 3 2 Đặt t 0. Phươngtrình (1) trở thành m 5 t 2m 2 t 1 m 0 2 2 (1) có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt 2m2 8m 6 0 ' 0 2m 2 S 0 0 3 m 5. m 5 P 0 1 m 0 m 5 Mặt khác m ¢ nên m = 4. Câu 20. Chọn đáp án B Do tam giác ABC vuông cân tại A: BC AB 2 a 2 r OB . 2 2 2 Trang 10
11. Ta có AA'//BB' nên góc giữa AA' hợp với B'C là góc giữa BB' với B'C là C· B ' B 600 . BC a 2 a 6 h BB ' . tan C· B ' B tan 600 3 Thề tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' là: 2 3 2 a 2 a 6 a 6 V r h . 2 3 6 Câu 21. Chọn đáp án C Số phức z a bi a,b ¡ là số phức cần tìm. Ta có: 2 z 1 3z i 5 i 2 a bi 1 3 a bi i 5 i . 2a 2 3a 1 a 1 2a 2 2bi 3a 1 3b 5 i . 2b 3b 5 b 1 H a 2b 3. Câu 22. Chọn đáp án D Đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và có một vectơ chỉ phương là ud 2;3;4 . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là n P m;10;n . Mặt phẳng (P) luôn chứa đường thẳng d. n P .u d 0 2m 30 4n 0 d  P m 20 3n 11 0 A P 2m 4n 30 m 27 . m 3n 9 n 6 m n 21 Câu 23. Chọn đáp án C  AI 1 2t;t 1; 2t Ta có: I d I 1 2t;t; 2t  BI 3 2t;t 3; 2 2t Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B nên R IA IB IA2 IB2. 1 2t 2 t 1 2 2t 2 3 2t 2 t 3 2 2 2t 2 20t 20 0 t 1 1; 1;2 R IA 17 Mặt cầu (S) có tâm I 1; 1;2 và bán kính R 17 có phương trình là x 1 2 y 1 2 z 2 2 17. Trang 11
12. Câu 24. Chọn đáp án D 5 sin x l Ta có: 2cos 2x 9sin x 7 0 4sin2 x 9sin x 5 0 4 sin x 1 x k2 ,k ¢ . 2 Câu 25. Chọn đáp án D cos3x Ta có: f x dx 6x sin 3x dx 3x2 C F x 3 2 1 2 Vì F 0 0 .1 C C 1. 3 3 3 cos3x Vậy F x 3x2 1. 3 Câu 26. Chọn đáp án D Hàm số y x 2 x2 1 có đồ thị (C) 2 x 2 x 1 khi x -1 x 1 Ta có y x 2 x2 1 2 x 2 x 1 khi -1 x 1 Cách vẽ đồ thị hàm số y x 2 x2 1 như sau:  Giữ nguyên đồ thị (C) ứng với x 1 hoặc x 1 .  Bỏ đồ thị (C) ứng với 1 x 1  Lấy đối xứng đồ thị (C) ứng với 1 x 1 qua trục Ox . Hợp 2 phần đồ thị trên là đồ thị hàm số y x 2 x2 1 cần vẽ ở hình 4. Câu 27. Chọn đáp án C DA  AB Ta có:  DA  SAB . DA  SA  SA là hình chiếu của SD lên mặt phẳng (SAB). Góc giữa SD với mặt phẳng (SAB) là D· SA . Ta có: AD BC a 3 Xét tam giác SAD vuông tại A: AD a 3 tan D· SA 3 D· SA 600 SA a Câu 28. Chọn đáp án D Ta có: lim f x lim x2 1 0; lim f x lim x m m 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Mặt khác: f 1 0 Trang 12
13. Để hàm số liên tục tại x0 1 lim f x lim f x f 1 m 1 0 m 1. x 1 x 1 Câu 29. Chọn đáp án A Ta có: y ' 3 x 'e x 2018. cos x 'ecos x 3e x 2018.sin x.ecos x . Câu 30. Chọn đáp án D 2 Xét I 2x ln x 1 dx 0 1 u ln x 1 du dx Đặt x 1 dv 2xdx 2 v x 1 2 2 2 2 2 2 x 1 x 2 Ta có I x 1 ln x 1 dx 3ln 3 x 1 dx 3ln 3 x 3ln 3 0 0 x 1 0 2 0 Vậy a 3,b 3 6a 7b 39. Câu 31. Chọn đáp án A Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2;4 x2 2x 3 x 1 2;4 Ta có: y ' 2 0 x 1 x 3 2;4 f 2 7 19 Mà: f 4 min f x f 3 6 3 2;4 f 3 6 Câu 32. Chọn đáp án C Số phần tử không gian mẫu n  30. Gọi A là biến cố: “Thẻ lấy được là số lẻ và không chia hết cho 3”. A 1;5;7;11;13;17;19;23;25;29 n A 10. n A 10 1 Xác suất để thẻ lấy được mang số lẻ và không chia hết cho 3 là P A . n  30 3 Câu 33. Chọn đáp án C HC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là: S· CH 450 AB//CD AB// SCD . d A; SCD d H; SCD Kẻ HI  CD I CD HI //BC. HI  CD  CD  SHI SH  CD Trang 13
14. Kẻ HK  SI K SI . HK  SI   HK  SCD . HK  CD d H; SCD HK 2 2 2 2a 2 Ta có: HC BH BC a a 2. 2 Tam giác SHC vuông cân tại H vì S· CH 450 SH HC a 2 Mặt khác: HI AD a. SH.HI a 2.a a 6 Xét tam giác SHI vuông tại H: HK 2 2 2 3 SH HI a 2 a2 a 6 d A; SCD d H; SCD HK . 3 Câu 34. Chọn đáp án B Gọi M là trung điểm BB ' CK //MA' CK // A'MD . d CK; A' D d CK; A'MD d C; A'MD Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ: a Ta có: D 0;a;0 , A' 0;0;a , C a;a;0 , M a;0; . 2 a  Khi đó: A'M a;0; ; A' D 0;a; a . 2   a2 a2 2 2 A'M , A' D ;a ;a 1;2;2 . 2 2 Mặt phẳng (A’MD) đi qua điểm D 0;a;0 và nhận làm vectơ pháp tuyến là: x 2 y a 2z 0 x 2y 2z - 2a 0 . a 2a 2a a Khi đó: d C; A' DM . 12 22 22 3 Câu 35. Chọn đáp án D Một điểm bất kì trên đường thẳng d 1 với hai điểm phân biệt trên d 2 hoặc cứ một điểm bất kì trên đường thẳng d2 với hai điểm phân biệt trên d1 tạo thành một tam giác. 2 2 Vậy tổng sổ tam giác thỏa mãn đề bài là 10Cn nC10 1725. n! 10 45n 1725 5n n 1 45n 1725 0. 2. n 2 ! 2 n 15 5n 40n 1725 0 . Vậy n 15. n 23 Câu 36. Chọn đáp án D Trang 14
15. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành x3 2x2 1 m x m 0. x 1 2 x 1 x x m 0 2 f x x x m 0 (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f x 0 có 2 nghiệm phân biệt ≠1 1 0 1 4m 0 m 4 * . f 1 0 m 0 m 0 x2 x3 1 Giả sử x1 1 x2 , x3 là các nghiệm của phương trình f x 0 . Theo Viet ta có: x2x3 m 2 2 2 2 Do đó: x1 x2 x3 1 x2 x3 2x2 x3 2 2m 2 2 2 x1 x2 x3 4 2 2m 4 m 1. 1 m 1 Kết hợp với (*) vậy 4 m 0 Câu 37. Chọn đáp án A 3 1 Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y x2 và nửa đường elip y 4 x2 (với 2 2 2 x 2 ) là: x2 1 1 2 3 2 2 4 4 x x 4 x 3x 4 2 2 x2 3 x 1 x 1 Diện tích của (H) là: 1 1 3 3 1 3 1 1 S 4 x2 x2 dx I x3 I với I 4 x2 dx. 1 1 2 2 6 3 2 1 Đặt x 2sin t,t ; dx 2cost.dt 2 2 Đổi cận: x 1 t , x 1 t . 6 6 6 6 6 1 2 2 1 6 3 I 4 4sin t.2cost.dt 2cos t.dt 1 cos 2t .dt t sin 2t . 2 2 3 2 6 6 6 6 3 3 3 2 3 Vậy S I 3 3 2 3 6 Câu 38. Chọn đáp án C Trang 15
16. Ta có: x3 3x2 2 m 1 x3 3x2 2 m 1 * Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y x3 3x2 2 và đường thẳng y m 1. Xét hàm số y x3 3x2 2 trên ¡ 2 x 0 y ' 3x 6x; y ' 0 x 2 Bảng biến thiên: x 0 2 y ' + 0 0 + 2 y 2 Đồ thị hàm số y x3 3x2 2 . Từ đó ta suy ra đồ thị hàm số y x3 3x2 2 bằng cách:  Giữ nguyên đồ thị ở phía trên trục Ox.  Bỏ phần đồ thị phía dưới trục Ox.  Lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới qua trục Ox. Khi đó ta được đồ thị như hình bên. Dựa vào đồ thị để phương trình có 6 nghiệm khi 0 m 1 2 1 m 1. Câu 39. Chọn đáp án Hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA  ABC BC  AB Ta có BC  SB. BC  SA Suy ra SAC và SBC là hai tam giác vuông tại A và B. Trang 16
17. IA IC IS Gọi I là trung điểm của SC thì IB IC IS IA IB IC IS I là tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABC Vì SA  ABC nên ·SC, ABC S· CA 450 Ta lần lượt tính được: AC AB2 BC 2 5 ; Vì tam giác SAC vuông cân tại A: SC AC 2 5 2 . SC 5 2 Suy ra bán kính mặt cầu (S) là: R 2 2 3 4 3 4 5 2 125 2 Vậy thể tích khối cầu (S) là V R . 3 3 2 3 Câu 40. Chọn đáp án C Ta có: z 4 1 i z 4 3z i 1 3i z z 4 z 4 i. Lấy môđun hai vế, ta được: 1 3i z z 4 z 4 i 2 2 z 10 z 4 z 4 2 2 10 z 2 z 4 z 4 8 z 2 32 z 2 4 z 2 (Vì )z 0 Câu 41. Chọn đáp án sin2 x 1 cos2 x sin2 x 2 sin2 x sin2 x 4 Ta có: 2 2 m 2 2 m 2 2 m * 2sin x 2 4 Đặt t 2sin x ,t 1;2, (*) trở thành t m. t 4 Xét hàm số f t t với t 1;2. t 4 t 2 4 t 2 1;2 Ta có f ' t 1 2 2 0 . t t t 2 1;2 Khi đó f 1 5; f 2 4. Do đó min f t 4 và max f t 5 1;2 1;2 Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm t 1;2 min f t m max f t 4 m 5 1;2 1;2 Câu 42. Chọn đáp án C Gọi N là trung điểm của AB BC// SMN . Trang 17
18. d BC, SM d BC, SMN d B, SMN . d B, SMN BN Ta có: 1 d A; SMN AN d B, SMN d A; SMN Kẻ AH  SN AH  SMN . a 3 d A, SMN AH 4 Xét tam giác SAN vuông tại A 1 1 1 1 1 1 AH 2 AN 2 SA2 SA2 AH 2 AN 2 a a 3 . AN.AH 2 4 a 3 1 1 a 3 2 a 3 SA VS.ABCD SA.SABCD . .a 2 2 2 2 2 3 3 2 6 AN AH a a 3 2 4 Câu 43. Chọn đáp án C 1 x 3 Xét: f ' x cos dx . 0 2 4 x x u cos du sin dx Đặt: 2 2 2 dv f ' x dx v f x 1 x x 1 1 x 1 x Khi đó: f ' x cos dx cos . f x sin . f x dx sin . f x dx. 0 2 2 0 0 2 2 2 0 2 1 x 3 sin f x dx 0 2 2 2 1 x 1 1 1 1 1 1 Mặt khác: sin dx 1 cos x dx x sin x 0 2 2 0 2 0 2 1 1 1 2 2 x x Ta có: f x dx 2 3sin f x dx 3sin dx 0 0 0 2 0 2 2 1 x x Hay f x 3sin dx 0 f x 3sin . 0 2 2 1 1 x 6 x 1 6 Vậy: f x dx 3sin dx cos 0 0 2 2 0 Câu 44. Chọn đáp án D 2n ! 2n. 2n 1 2n 2 Không gian mẫu là: n  C3 . 2n 3! 2n 3 ! 6 Trang 18
19. Gọi A là biến cố để 3 đỉnh tạo thành một tam giác vuông. Ta có một đa giác đều 2n cạnh có n đường chéo đi qua tâm. Ta lấy hai đường chéo thì tạo thành một hình chữ nhật. Mỗi một hình chữ nhật sẽ có bốn tam giác vuông. 4.n! Vậy số tam giác vuông tạo thành từ đa giác đều 2n đỉnh là n A 4.C 2 2n n 1 n 2! n 2 ! n A 12n n 1 3 Xác suất là: P n  2n 2n 1 2n 2 2n 1 1 3 1 Theo bài ra thì P 15 2n 1 n 8. 5 2n 1 5 Câu 45. Chọn đáp án C Gọi I là hình chiểu vuông góc của M 2;5;3 lên đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 2;5;3 lên mặt phẳng (P) Ta có: d M ; P MH MI. Do đó MH đạt giá trị lớn nhất khi H  I hay MI  P Đường thẳng d đi qua A 1;0;2 và có một vectơ chỉ phương ud 2;1;2  Ta có: I d I 1 2t;t;2 2t MI 1 2t;t 5; 1 2t .   MI  d MI  ud MI.ud 0 1 2t .2 5 t 1 2t .2 0 t 1  MI 1; 4;1 .  Mặt phẳng (P) đi qua A 1;0;2 và nhận vectơ MI 1; 4;1 . làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) là: x 1 4 y 0 z 2 0 x 4y z 3 0. Câu 46. Chọn đáp án B Trong (ABCD), kẻ Cx//BD BD// SCx . d BD, SC d DB, SCx d O, SCE . Vì là nửa lục giác đều nên AB BC CD a. OC BC 1 Và OA AD 2 d O; SCx OC 1 Mặt khác: . d A; SCx AC 3 1 d O; SCx d A; SCx 3 Gọi F AB CE AF  CE do AB  BD . Trang 19
20. CF  SA Ta có: CF  SAF . CF  AF Trong (SAF), kẻ AH  SF thì AH  SCF AF AC 3 3 3a Tam giác AFE có: AE 3a và AF AB . AB AO 2 2 2 3a Ta có: SA AF tam giác SAF vuông cân tại A. 2 1 1 1 3a 3a 2 AH SF .SA 2 . 2 2 2 2 2 4 1 1 a 2 Vậy: d BD, SC d A, SCE AH . 3 3 4 Câu 47. Chọn đáp án C x 0; Đặt t sin x  2  0 t 1 (dựa vào đường tròn lượng giác). 2t 1 Bài toán trờ thành hàm y đồng biến trên t 0;1 . t m Tập xác định: D ¡ \m 2m 1 y ' 0x D Ta có: y ' 2 . Hàm số đồng biến trên khoảng 0;1 t m m 0;1 1 2m 1 0 m 1 2 m 0 m 0 2 m 0 m 1 m 1 m 1 Câu 48. Chọn đáp án C 2 Ta có: SABCD AB 25 AB 5. AC AB 2 5 2 AI 2 2 2 Gọi I t;5 t với t 0 25 2 25 Khi đó: AI 2 t 3 t 2 2 2 1 t 2 2 1 9 4t 12t 7 0 I ; 7 2 2 t l 2 Do I là trung điểm của AC nên C 4;4 Câu 49. Chọn đáp án D Ta có BM là bán kính đường tròn (C). Trang 20
21. BM SM AO.SM R h x xh BM BM . AO SO SO h Thể tích của khối nón đỉnh O đáy là (C) là: 2 2 1 2 1 R h x 1 R 2 V BM .OM x 2 h x x. 3 3 h 3 h Xét hàm số f x h x 2 x, 0 x h Ta có: f ' x 2 h x .x h x 2 h x h 3x . x h f ' x 0 h x 3 Bảng biến thiên: h x 0 h 3 f x + 0 4 h3 27 f x 0 0 4hR2 h Từ bảng biến thiên ta có thể tích khối nón đỉnh O đáy là (C) lớn nhất bằng khi x . 81 3 Câu 50. Chọn đáp án B 2 1 2 1 1 2 1 Với mọi x ;1 ta có x x x 0 x x 4 4 2 4 2 1 Lấy logarit 2 vế, ta được logt x logt x với t 0;1 * 4 Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: 1 2 loga b loga b 2loga b. 4 1 2 logb c logb c 2logb c. 4 1 2 logc a logc a 2logc a. 4 3 P 2 loga b logb c logc a 2.3 loga b.logb c.logc a 6 Pmin 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 2 Trang 21
22. Trang 22