Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Mã đề: 12 - Năm học 2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Mã đề: 12 - Năm học 2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 12 ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC (Đề thi có 06 trang) Môn: Toán (Đề có lời giải) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Nghiệm của phương trình 22x 1 2x.22020 bằng A. 2018.B. 2021.C. 2019.D. 2020. Câu 2. Điểm A trong hình vẽ dưới là điểm biểu diễn của số phức A. z 2 2i . B. z 2 2i . C. z 2 2i . D. z 2 2i . Câu 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. x 0 1 2 y + 0 + 1 y 3 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1  1;2 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; . Câu 4. Cho điểm M 1;2;4 , hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng yOz là điểm A. M 2;0;4 .B. M 0;2;4 .C. M 1;0;0 .D. M 1;2;0 . Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số f x sin x ex 5x là 5 A. cos x ex x2 C .B. cos x ex 10x2 C . 2 5 ex 5 C. cos x ex x2 C .D. cos x x2 C . 2 x 1 2 Câu 6. Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? A. y x3 2x 1.B. y x3 2x 1. C. y x3 x2 1.D. y x3 2x 1. Trang 1
2. x 1 y 2 z Câu 7. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : có một vectơ chỉ phương là 2 3 4     A. u3 2; 3;0 .B. u1 2; 3;4 .C. u4 1;2;4 .D. u2 1;2;0 . Câu 8. Cho khối chóp S.ABC có SA  ABC , SA a , đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Thể tích của khối tứ diện S.ABC là a2 3 a 3 a3 3 3 A. .B. .C. .D. . 12 12 12 12 Câu 9. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 3x2 3 trên đoạn 1;3 . Giá trị T 2M m bằng A. 3.B. 5.C. 4.D. 2. Câu 10. Với a, b là hai số dương tùy ý. Khi đó ln a3b2 có giá trị bằng 1 1 A. 6ln a.ln b B. 2ln a 3ln b . C. ln a ln b .D. 3ln a 2ln b . 3 2 Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos5x . 1 A. f x dx sin 5x C .B. f x dx 5sin 5x C . 5 1 C. f x dx sin 5x C .D. f x dx 5sin 5x C . 5 Câu 12. Cho hình nón đỉnh S có bán kính R a 2 , góc ở đỉnh bằng 60. Diện tích xung quanh của hình nón bằng A. 4 a2 .B. 3 a2 .C. 2 a2 .D. a2 . Câu 13. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng P : 2x 3y 4z 15 0 có một vectơ pháp tuyến là A. n 2; 3;4 .B. n 2; 3;4 .C. n 2;3;4 .D. n 2;3; 4 . Câu 14. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. x 1 3 y + 0 + 0 y 4 Hàm số f x đạt cực tiểu tại điểm A. x 4.B. x 3. C. x 0 .D. x 1. Câu 15. Cho cấp số nhân un có công bội q 0, u2 4, u4 9, giá trị của u5 bằng Trang 2
3. 81 27 27 A. .B. . C. 6.D. . 4 2 2 Câu 16. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau x 1 3 y + 0 + 4 y 2 Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 8 0 là A. 2.B. 3.C. 1.D. 0. Câu 17. Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và B D bằng a 2 A. .B. a .C. 2a .D. a 2 . 2 Câu 18. Có bao nhiêu số phức z có phần thực bằng 1 và z 1 2i 5 ? A. 2.B. 1.C. 3.D. 0. 2 Câu 19. Đạo hàm của hàm số y log2 2x 1 là 2log 2x 1 4log 2x 1 log 2x 1 2 A. 2 .B. 2 .C. 2 .D. . 2x 1 ln 2 2x 1 ln 2 2x 1 ln 2 2x 1 ln 2 Câu 20. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  2;3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên  2;3 . Giá trị của M 2 m bằng A. 7.B. 10. C. 8.D. 9. 2 1 Câu 21. Tích phân I 2 dx bằng 1 x A. ln 2 1.B. ln 2 1.C. ln 2 2.D. ln 2 3 . Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại C, ·ABC 60 , cạnh BC a , đường chéo AB của mặt bên ABB A tạo với mặt phẳng BCC B một góc 30. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A B C bằng a3 6 a3 3 A. .B. a3 6 . C. .D. a3 3 . 3 3 Trang 3
4. 3 Câu 23. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình 3log3 x 1 log1 x 5 3 bằng 3 A. 36.B. 32.C. 16 6 7 .D. 16 6 7 . Câu 24. Kí hiệu a log8 5, b log6 2 , khi đó giá trị của log3 10 bằng b 3ab a b ab a b ab b A. .B. .C. .D. . 1 b 1 a 1 b 1 ab Câu 25. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z 1 z z 2 trên mặt phẳng tọa độ là một A. đường thẳng.B. đường tròn.C. parabol.D. hypebol. Câu 26. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: x 1 2 3 4 f x 0 + 0 + 0 0 + Các khoảng nghịch biến của hàm số y 2 f 1 x là A. 4; và 3;4 .B. ; 3 và 2;0 . C. 3;1 và 2;4 .D. ;1 và 3;4 . x 3 y 1 z 2 Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : và 1 2 1 3 x 1 y 5 z 1 d : . Xét vị trí tương đối giữa d và d . 2 4 2 6 1 2 A. d1 chéo d2 .B. d1 trùng d2 . C. d1 song song với d2 .D. d1 cắt d2 . 15 2 1 Câu 28. Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của P x x là x A. 4000.B. 2700.C. 3003.D. 3600. Câu 29. Diện tích hình phẳng phần màu xám của hình vẽ bên là 11 61 A. .B. . 6 3 343 39 C. .D. . 162 2 Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A 1;3;2 , B 2;0;5 , C 0; 2;1 . Đường trung tuyến AM của tam giác ABC có phương trình là x 1 y 3 z 2 x 1 y 3 z 2 A. .B. . 2 4 1 2 4 1 x 1 y 3 z 2 x 2 y 4 z 1 C. .D. . 2 4 1 1 1 3 Trang 4
5. Câu 31. Trên mặt phẳng P cho ba hình tròn bán kính a tâm là O1;O2 ;O3 đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Ba hình tròn đó là ba đáy của ba hình nón mà các đỉnh tương ứng là ba điểm S1, S2 , S3 nằm cùng phía đối với mặt phẳng P và cùng cách P một khoảng 2a 2 . Mặt cầu tiếp xúc với S1S2S3 và tiếp xúc ngoài với ba hình nón trên có bán kính bằng a 6 a 6 a 3 A. a 2 .B. . C. .D. . 3 2 2 Câu 32. Cho hàm số f x 2x 1 . f 2 x và f 1 0,5 . a a Tổng f 1 f 2 f 3 f 2017 f 2018 f 2019 f 2020 ; a ¢ ;b ¥ với tối b b giản. Khẳng định nào sau đây đúng? a A. 1.B. a 2019;2019 . C. b a 4041. D. a b 1. b Câu 33. Cho parabol P : y x2 , điểm A 0;2 . Một đường thẳng đi qua A cắt P tại hai điểm B, C sao cho AC 2AB như hình vẽ bên. Gọi H là hình giới hạn bởi P và đường thẳng AB. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục hoành bằng 138 72 A. .B. . 5 5 12 78 C. .D. . 5 5 Câu 34. Xét các số phức z thỏa mãn z2 2z 5 z 1 2i z 3 4i . Giá trị nhỏ nhất của z 1 i bằng 2 5 2 6 3 A. 1.B. .C. .D. . 5 6 4 x 1 Câu 35. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y có hai tiệm cận m x 1 2 4 đứng. m 0 A. m 0 .B. m 0 . C. . D. m 1. m 1 Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y m2 x4 m2 2020m x2 3 có đúng một điểm cực trị? A. 2019.B. 2020.C. 2021.D. 2022. Trang 5
6. Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  15;2020 để phương trình 4x m.2x 2m 4 0 có nghiệm ? A. 18.B. 17.C. 20.D. 19. Câu 38. Cho điểm A 0;8;2 và mặt cầu S có phương trình S : x 5 2 y 3 2 z 7 2 72 và điểm B 9; 7;23 . Viết phương trình mặt phẳng P qua A tiếp xúc với S sao cho khoảng cách từ B đến P là lớn nhất. Giả sử n 1;m;n là một vectơ pháp tuyến của P . Khẳng định nào sau đây đúng? A. m.n 2 .B. m.n 2 . C. m.n 4 .D. m.n 4 . Câu 39. Ông An có một khu vườn giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình y x2 và đường thẳng y 25. Ông An dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi một đường thẳng đi qua O và điểm M trên 9 parabol để trồng một loại hoa. Tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn bằng . 2 A. OM 2 5 .B. OM 15. C. OM 10 .D. OM 3 10 . Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc AB sao cho BH 2HA . Cạnh SC tạo với đáy ABCD một góc bằng 60. Khoảng cách từ trung điểm K của HC đến mặt phẳng SCD bằng a 13 a 13 a 13 A. .B. .C. a 13 .D. . 2 8 8 Câu 41. Cho hình hộp ABCD.A B C D có A B vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD ; góc giữa đường thẳng AA với ABCD bằng 45. Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và DD bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng BB C C và mặt phẳng CC D D bằng 60. Thể tích khối hộp đã cho bằng A. 2 3 .B. 2.C. 3 .D. 3 3 . Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3; 4;5 , B 5;6; 7 và mặt phẳng P :3x 2y z 10 0 . Gọi M a;b;c là điểm thuộc P sao cho MA2 3MB2 có giá trị lớn nhất. Tổng a b c bằng A. 29.B. 1.C. 7.D. 23. Câu 43. Cho hàm số f x ax3 bx2 cx d, a,b,c,d ¡ thỏa mãn a 0, d 2020 , a b c d 2020 0 . Số điểm cực trị của hàm số y f x 2020 là A. 2.B. 1.C. 3.D. 5. Trang 6
7. Câu 44. Biết rằng đồ thị hàm số y x3 2a 1 x2 2a2 2a x b cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 2 3 4 có hoành độ dương x1, x2 , x3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x1 x2 x3 . 8 3 64 2 32 3 2 2 A. min P .B. min P .C. min P .D. min P . 729 6561 6561 729 Câu 45. Có 32 học sinh làm đề kiểm tra trắc nghiệm. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, học sinh chỉ được chọn một phương án cho mỗi câu. Sau khi kiểm tra thấy rằng tất cả các câu đã được học sinh tô đáp án và bất kì 2 học sinh nào cũng có chung nhiều nhất 1 câu trả lời. Tìm giá trị lớn nhất của số câu trắc nghiệm trong đề kiểm tra. A. 15 câu.B. 20 câu.C. 25 câu.D. 30 câu. Câu 46. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m 2020;2020 để phương trình 3x2 3x m 1 log x2 5x 2 m có hai nghiệm phân biệt x , x thỏa mãn x3 x3 155? 2 2x2 x 1 1 2 1 2 A. 2016.B. 202.C. 2017.D. 2019. Câu 47. Giả sử hàm số y f x liên tục nhận giá trị dương trên 0; và thỏa mãn f 1 1, f x f x . 3x 1 với mọi x 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. 3 f 5 4 .B. 1 f 5 2 C. 4 f 5 5.D. 2 f 5 3. Câu 48. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu f x như sau x 2 1 3 f x 0 + 0 + 0 Hỏi hàm số y f x2 2x có bao nhiêu điểm cực tiểu? A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. Câu 49. Cho các số phức z1, z2 , z thỏa mãn z1 z2 2, z1 z2 2 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z z z1 z z2 là A. 2 2 2 .B. 2 2 3 .C. 2 3 .D. 4 3 . Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2;0;3 và mặt phẳng P : x y z 1 0 . Điểm x 7 t B xB ; yB ; zB thay đổi thuộc d : y 2 2t sao cho A, B cùng phía so với P , điểm C thay đổi thuộc z 4 t mặt phẳng P . Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Giá trị xB 4yB zB bằng A. 2.B. 3.C. 4.D. 5. Trang 7
8. Đáp án 1-B 2-A 3-D 4-B 5-A 6-D 7-B 8-C 9-B 10-D 11-C 12-A 13-A 14-B 15-D 16-A 17-B 18-A 19-B 20-B 21-C 22-B 23-D 24-A 25-C 26-B 27-C 28-C 29-A 30-C 31-B 32-C 33-B 34-B 35-C 36-B 37-B 38-D 39-D 40-B 41-C 42-B 43-D 44-C 45-B 46-C 47-A 48-A 49-B 50-D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B Ta có 22x 1 2x.22020 22x 1 2x 2020 2x 1 x 2020 2x x 2020 1 x 2021. Câu 2: Đáp án A Điểm A 2; 2 biểu diễn số phức z 2 2i . Câu 3: Đáp án D Dựa vào Bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên từng khoảng ;0 và 2; . Hàm số đồng biến trên từng khoảng 0;1 và 1;2 . Câu 4: Đáp án B Ta có yOz : x 0 Hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng yOz là M 0;2;4 . Câu 5: Đáp án A 5 Ta có sin x ex 5x dx sin xdx exdx 5xdx cos x ex x2 C . 2 Câu 6: Đáp án D Đồ thị hàm số có nhánh ngoài cùng bên phải hướng lên nên loại B và C. Ta có: y 0 0 nên loại A Chọn D. Câu 7: Đáp án B x 1 y 2 z Đường thẳng d có phương trình chính tắc d : có một vectơ chỉ phương u 2; 3;4 . 2 3 4 x x y y z z Tổng quát: Đường thẳng d có phương trình chính tắc d : 0 0 0 có một vectơ chỉ a b c phương u a;b;c . Câu 8: Đáp án C a2 3 1 a3 3 Ta có: S , V SA.S . ABC 4 S.ABC 3 ABC 12 Câu 9: Đáp án B Trang 8
9. Ta có: y 3x2 6x . 2 x 0 y 0 3x 6x 0 . x 2 y 1 1 Ta có: y 2 1 và hàm số liên tục trên 1;3 . y 3 3 Suy ra max y 3 và min y 1. Suy ra M 3 và m 1. Vậy T 5 . x D x D Câu 10: Đáp án D Với a, b là hai số dương tùy ý, ta có: ln a3b2 ln a3 ln b2 3ln a 2ln b . Câu 11: Đáp án C 1 1 Ta có: f x dx cos5xdx cos5xd 5x sin 5x C . 5 5 Câu 12: Đáp án A 1 Ta có: B· SO ·ASB 30 . 2 OB Xét tam giác SOB vuông tại O có: l SB 2a 2 . sin B· SO 2 Diện tích xung quanh của hình nón Sxq Rl .a 2.2a 2 4 a . Câu 13: Đáp án A Câu 14: Đáp án B Câu 15: Đáp án D 3 u u .q 2 u 9 3 Ta có: 4 1 q 4 q . u2 u1.q u1 4 2 27 Suy ra u u .q . 5 4 2 Câu 16: Đáp án A Ta có 2 f x 8 0 f x 4 . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng y 4 và đồ thị hàm số y f x . Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Câu 17: Đáp án B BD / /B D Do nên d BD, B D d B, B D BB a . BD / / A B C D Câu 18: Đáp án A Trang 9
10. Gọi số phức có phần thực bằng 1 là z 1 bi, b ¡ . Khi đó, ta có: 2 b 3 1 bi 1 2i 5 2 b 2 i 5 4 b 2 5 . b 1 Vậy chỉ có hai số phức thỏa mãn. Câu 19: Đáp án B 2 4log 2x 1 Ta có: y log2 2x 1 2log 2x 1 . log 2x 1 2log 2x 1 . 2 . 2 2 2 2 2x 1 .ln 2 2x 1 .ln 2 Câu 20: Đáp án B Hàm số liên tục trên  2;3 . Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy: Giá trị lớn nhất của f x trên  2;3 bằng 3, đạt được tại x 2 . Suy ra M 3. Giá trị nhỏ nhất của f x trên  2;3 bằng 1, đạt được tại x 2. Suy ra m 1. Vậy M 2 m 32 1 10 . Câu 21: Đáp án C 2 1 2 Ta có: I 2 dx ln x 2x ln 2 4 2 ln 2 2 . 1 1 x Câu 22: Đáp án B Tam giác ABC vuông tại C có ·ABC 60; BC a , suy ra AC BC tan 60 a 3 . 1 a2 3 Khi đó: S AC.BC . ABC 2 2 Mặt khác: AC  BCC B suy ra góc giữa AB và mặt phẳng BCC B là ·AB C 30 . Tam giác AB C vuông tại C có ·AB C 30 ; AC a 3 suy ra AC B C 3a . tan 30 Tam giác BB C vuông tại B có BC a; B C 3a BB 2 2a . 3 Vậy VABC.A B C S ABC .BB a 6 . Câu 23: Đáp án D Điều kiện: x 5. 3 Ta có: 3log3 x 1 log1 x 5 3 3log3 x 1 3log3 x 5 3 3 log3 x 1 log3 x 5 1 log3 x 1 x 5 1 x 1 x 5 3 x2 6x 2 0 x 3 7 . Trang 10
11. Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm x 3 7 x2 16 6 7 . Câu 24: Đáp án A log 5 x a log 5 3 3ab 8 x log3 8 3y 3ay x 1 b Đặt x log3 5, y log3 2 . Khi đó . log 2 y b by y b b log 2 3 y 6 log3 6 1 y 1 b 3ab b 3ab b Mặt khác: log 10 x y . 3 1 b 1 b 1 b Sử dụng máy tính cầm tay: lần lượt lưu log8 5 và log6 2 vào các phím ( ) (A); (B). Sau đó lần lượt thử các đáp án. Câu 25: Đáp án C Giả sử z x yi, x, y ¡ z x yi z z 2x . Bài ra ta có 2 x 1 yi 2x 2 2 x 1 2 y2 2x 2 x 1 2 y2 x 1 2 x2 2x 1 y2 x2 2x 1 y2 4x . Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z 1 z z 2 trên mặt phẳng tọa độ là một parabol. Câu 26: Đáp án B 1 x 1 x 0 1 x 2 x 1 Ta có: y 2. f 1 x . Khi đó: y 0 . 1 x 3 x 2 1 x 4 x 3 Ta có trục xét dấu 3 2 1 0 + + Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 3 và 2;0 . Câu 27: Đáp án C Ta có:  d1 qua M1 3;1; 2 và có vectơ chỉ phương u1 2;1;3 .  d2 qua M 2 1; 5;1 và có vectơ chỉ phương u2 4;2;6 2. 2;1;3 .     Ta có u2 2u1 nên u1 cùng phương với u2 và M1 d2 nên suy ra d1 song song với d2 . Câu 28: Đáp án C Trang 11
12. 15 15 k 15 2 1 k 2 15 k 1 k 30 3k Ta có: P x x C15 x . C15 x . x k 0 x 0 Số hạng cần tìm không chứa x 30 3k 0 k 10 . 10 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển của P x là C15 3003. Câu 29: Đáp án A 4 1 4 x 1 4 Phương trình hoành độ giao điểm: x2 x 3 ; x 0 x 4 3 3 3 3 x 1 1 4 2 1 4 11 Vậy diện tích phần gạch sọc trong hình là S x dx x dx . 0 1 3 3 6 Câu 30: Đáp án C Do M là trung điểm BC nên ta có: M 1; 1;3 .  Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AM là AM 2; 4;1 . x 1 y 3 z 2 Vậy phương trình đường thẳng AM là . 2 4 1 Câu 31: Đáp án B Gọi mặt cầu cần tìm là O; R và tiếp điểm của nó với S1S2S3 là I . Thiết diện qua O,O1, S1 như hình 2a 3 vẽ trên. Dễ thấy S I . 1 3 2 S1 A S1B 2a 2a 2 a 2 Mặt khác, ta có: S S AB .O1K O1K . 1 2 a 3a 2 2a 3 a 2 . OI IS1 3 2 a 6 Ta có: S1IO # AO1K R OI . O1K AO1 a 3 Câu 32: Đáp án C f x f x Ta có: f x 2x 1 . f 2 x 2x 1 dx 2x 1 dx f 2 x f 2 x 1 1 x2 x C x2 x C . f x f x Trang 12
13. Lại có: f 1 0,5 2 12 1 C C 0. 1 1 Vậy x2 x x x 1 hay f x . f x x x 1 Ta có: f 1 f 2 f 3 f 2017 f 2018 f 2019 f 2020 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 2018.2019 2019.2020 2020 2021 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2020 1 1 . 2 2 3 3 4 2018 2019 2019 2020 2020 2021 2021 2021 2020 Vậy f 1 f 2 f 3 f 2020 hay a 2020, b 2021 b a 4042 . 2021 Câu 33: Đáp án B Đường thẳng đi qua điểm A có phương trình là y kx 2, k 0 . Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và đường thẳng là: x2 kx 2 x2 kx 2 0 . 2 2 x1 x2 k Giả sử B x1; x1 ; C x2 ; x2 thì 1 . x1.x2 2 x1 1 Từ giả thiết: AC 2AB x2 2x1 thay vào (1) ta được k 1. x2 2 3 2 2 72 Do đó V x 2 x2 dx . 1 5 Câu 34: Đáp án B Ta có: z2 2z 5 z 1 2i z 3 4i z 1 2i . z 1 2i z 1 2i . z 3 4i z 1 2i 0 . z 1 2i z 3 4i Trường hợp 1: z 1 2i 0 z 1 2i z 1 i 2 3i 13 . Trường hợp 2: z 1 2i z 3 4i . Đặt z x yi x, y ¡ . Khi đó z 1 2i z 3 4i x 1 2 y 2 2 x 3 2 y 4 2 2x y 5 0 d . Trang 13
14. Gọi M x; y , A 1;1 lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z và 1 i . Ta có: z 1 i MA . Đoạn thẳng MA đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d . 2 5 2 5 9 7 Mặt khác, d A;d nên min MA khi M ; . 5 5 5 5 2 5 9 7 So sánh hai trường hợp ta thấy min z 1 i khi z i . 5 5 5 Câu 35: Đáp án C Đặt g x m x 1 2 4 mx2 2mx 4 m . Để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng thì cần tìm m để phương trình g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1. m 0 2 m 0 Điều kiện m m 4 m 0 . m 1 g 1 0 Câu 36: Đáp án B Trường hợp 1: Với m 0 ta có y 3 nên hàm số không có cực trị suy ra m 0 loại. Trường hợp 2: Với m 0 m2 0 . Hàm số y m2 x4 m2 2020m x2 3 có đúng một cực trị m2. m2 2020m 0 m2 2020m 0 0 m 2020 . Vì m 0 nên 0 m 2020 . Do m ¢ nên có 2020 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán. Câu 37: Đáp án B Đặt t 2x , t 0 . Khi đó phương trình đã cho trở thành 2 t 2 t mt 2m 4 0 t 2 t m 2 0 * . t 2 m Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm t 0 . m ¢ Từ (*) suy ra 2 m 0 m 2 m  15;5 m 15; 14; ;0;1 . Vậy có 17 số nguyên m thỏa mãn. Câu 38: Đáp án D Mặt phẳng P qua A có dạng a x 0 b y 8 c z 2 0 ax by cz 8b 2c 0 . Điều kiện tiếp xúc: 5a 3b 7c 8b 2c 5a 11b 5c d I; P 6 2 6 2 6 2 * a2 b2 c2 a2 b2 c2 Trang 14
15. 9a 7b 23c 8b 2c 9a 15b 21c Mà d B; P a2 b2 c2 a2 b2 c2 5a 11b 5c 4 a b 4c 5a 11b 5c a b 4c 4 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 12 1 2 42 . a2 b2 c2 6 2 4 18 2 . a2 b2 c2 a b c Dấu “=” xảy ra khi . Chọn a 1; b 1; c 4 thỏa mãn (*). 1 1 4 Khi đó P : x y 4z 0 . Suy ra m 1; n 4 . Suy ra: m.n 4 . Câu 39: Đáp án D Gọi điểm H a;0 , a 0 là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox. Khi đó ta có đường thẳng OM có dạng y tan .x , (với M· OH ) MH a2 tan a y ax OH a 1 a3 a3 9 Vậy diện tích mảnh vườn cần tính là: S ax x2 dx a 3. 0 6 6 2 Suy ra OM 32 92 3 10 . Câu 40: Đáp án B Kẻ HM  CD, HN  SM HN  SCD d H, SCD HN . Vì HM  CD HM //AD AHMD là hình bình hành HM a Tam giác HBC vuông tại B 4a2 a 13 HC HB2 BC 2 a2 . 9 3 Tam giác SHC vuông tại H a 13 a 39 SH HC.tan S· CH . 3 . 3 3 Tam giác SHM vuông tại H, HN là đường cao, suy ra 1 1 1 1 3 16 a 13 HN . HN 2 HM 2 SH 2 a2 13a2 13a2 4 1 a 13 Vì K là trung điểm của HC nên d K, SCD d H, SCD . 2 8 Câu 41: Đáp án C Ta có: A B  ABCD ·AA , ABCD ·A AB 45 . Trang 15
16. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BB và DD . A H A K 1 và AA  A HK . Hình bình hành ABB A có A B  AB và ·A AB 45 nên các tam giác A AB và A BB là các tam giác vuông cân tại B và A . Từ đó suy ra H là trung điểm của BB và A H 1 BB 2A H 2 . Vì ABCD.A B C D là hình hộp nên góc giữa hai mặt phẳng BCC B và CDD C bằng góc giữa hai mặt phẳng ABB A và ADD A . Do đó, ·BCC B , CDD C ·A H, A K 60 . 1 3 Vậy H· A K 60 hoặc H· A K 120. S A H.A K sin H· A K . A HK 2 4 3 3 Từ đó, suy ra V AA .S 2. . ABD.A B D A HK 4 2 Vì ABCD.A B C D là hình hộp nên VABCD.A B C D 2VABD.A B D 3 . Câu 42: Đáp án B   Gọi I a;b;c là điểm thỏa mãn IA 3IB 0 , suy ra I 9;11; 13 .  2  2   2   2 Ta có MA2 3MB2 MA 3MB MI IA 3 MI IB ’    2MI 2 2MI IA 3IB IA2 3IB2 2MI 2 IA2 3IB2 . Do đó MA2 3MB2 lớn nhất 2MI 2 lớn nhất MI nhỏ nhất M a;b;c là hình chiếu của I trên P . Do đó M 3;15; 11 . Câu 43: Đáp án D Xét hàm số g x f x 2020 ax3 bx2 cx d 2020 . g 0 d 2020 Ta có: . g 1 a b c d 2020 g 0 0 Theo giả thiết, ta được . g 1 0 lim g x x Lại do: a 0 nên  1: g  0 và  0 : g 0 . lim g x x Trang 16
17. g .g 0 0 Do đó: g 0 .g 1 0 g x 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ; . g 1 .g  0 Hay hàm số y g x có đồ thị dạng Khi đó đồ thị hàm số y g x có dạng Vậy hàm số y f x 2020 có 5 điểm cực trị. Câu 44: Đáp án C x1 x2 x3 2a 1 2 Ta có x x x 2 x x x x x x 1. 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 x1x2 x2 x3 x3 x1 2a 2a 2 2 2 Do vậy: x1 x2 x3 1. Xét các số thực dương p,q,r sao cho đẳng thức xảy ra khi x1 p , x2 q , x3 r . 2x 3x 4x x x x x x x x x x x2 x3 x4 Áp dụng AM – GM: 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 3 9 9 1 2 3 . p q r p p q q q r r r r p2q3r 4 2 2x1 3x2 4x3 2 2 2 4 9 16 4 9 16 Lại có: x1 x2 x3 2 2 2 2 2 2 . p q r p q r p q r 2 3 4 px qx rx p2 q2 r 2 Khi đó ta có đẳng thức xảy ra khi: x : x : x : : 1 2 3 . 1 2 3 p q r 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 2 2 2 3 2 2x 3x 4x x x x Mà p q r 1 nên p ; q ; r do đó: 1 2 3 9 nên 9 1 2 3 1. 3 3 3 p q r p2q3r 4 32 3 32 3 Vậy: x2 x3 x4 p2q3r 4 nên min P . 1 2 3 6561 6561 Câu 45: Đáp án B Giả sử đề kiểm tra có n câu P1, P2 , , Pn ; với mỗi câu Pi , gọi ai là số học sinh trả lời đáp án thứ nhất, tương tự có bi ,ci ,di . Khi đó ai bi ci di 32 . Trang 17
18. 2 Ta có ít nhất 4.C4 24 cặp với 1 câu trả lời giống nhau cho mỗi câu. 2 Do có n câu nên có ít nhất 24n cặp, nhưng có nhiều nhất C32 496 cặp. 62 Ta có: 24n 496 n . Do số câu là số nguyên nên n 20 . 3 Do đó có nhiều nhất là 20 câu. Câu 46: Đáp án C Điều kiện: 3x2 3x m 1 0 . 3x2 3x m 1 Ta có: log x2 5x 2 m 2 2x2 x 1 2 3x 3x m 1 2 log2 2 1 x 5x 1 m 2x x 1 3x2 3x m 1 log x2 5x 1 m 2 4x2 2x 2 2 2 2 2 log2 3x 3x m 1 3x 3x m 1 log2 4x 2x 2 4x 2x 2 . 1 1 Xét hàm số: f t t log t trên D 0; , có f t 1 0, t D . 2 t.ln 2 Do đó hàm số f t đồng biến trên D. Phương trình 1 f 4x2 2x 2 f 3x2 3x m 1 4x2 2x 2 3x2 3x m 1 x2 5x m 1 0 2 21 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 25 4 1 m 0 m . 4 x1 x2 5 Theo định lý Vi-ét ta có . x1x2 1 m 3 3 3 Từ x1 x2 155 x1 x2 3x1x2 x1 x2 155 125 15 1 m 155 m 3 . Kết hợp giả thiết thì 3 m 2020 có tất cả 2017 số nguyên m thỏa mãn. Câu 47: Đáp án A f x 1 Từ f x f x . 3x 1 ta có f x 3x 1 f x 1 2 Suy ra: dx dx ln f x 3x 1 C . f x 3x 1 3 2 4 4 Ta có ln f 1 3.1 1 C ln1 C C . 3 3 3 2 4 2 4 3x 1 Nên ln f x 3x 1 f x e 3 3 . 3 3 Trang 18
19. 2 4 4 3.5 1 Vậy f 5 e 3 3 e 3 3;4 . Câu 48: Đáp án A Ta có y x2 2x f x2 2x 2x 2 f x2 2x . 2x 2 0 2x 2 0 2 x 2x 2 Khi đó y 0 . f x2 2x 0 x2 2x 1 2 x 2x 3 Tại x 1 thì f x không đổi dấu nên ta không cần xét x 2 Từ bảng xét dấu ta thấy f x 0 . x 3 x2 2x 2 x 1 Khi đó f x2 2x 0 . 2 x 2x 3 x 3 Bảng biến thiên x 1 1 3 2x 2 0 + + f x2 2x 0 + + 0 2x 2 . f x2 2x + 0 0 + 0 y f x2 2x Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có một cực tiểu. Câu 49: Đáp án B Gọi A, B, M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1, z2 , z . Dựa vào điều kiện 2 z1 2 z2 z1 z2 2 2 OA OB 2, AB 2 2 . Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O. Phép quay tâm B góc quay 60 ta có: Q B, 60 : A A ;M M . Do tam giác BMM đều AM A M , BM MM . Trang 19
20. Suy ra P z z z1 z z2 OM AM BM OM MM A M OA . Dấu “=” xảy ra khi O, M , M , A thẳng hàng. Khi đó tam giác OBA có OB 2, BA BA 2 2 và O· BA 105. Từ đó suy ra OA OB2 BA 2 2OB.BA .cos105 2 2 3 . Vậy min P 2 2 3 . Câu 50: Đáp án D Gọi A là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng P A 2;4; 1 . Chu vi tam giác ABC là AB AC BC AB A C BC AB A B Gọi B 7 t; 2 2t; 4 t d . Ta có: AB A B 6 t 1 2 77 6 t 1 2 120 đạt giá trị nhỏ nhất khi t 1 2 0 t 1. Vậy B 8;0; 3 xB 4yB zB 5 . Trang 20