Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Mã đề: 15 - Năm học 2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Mã đề: 15 - Năm học 2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 15 ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC (Đề thi có 06 trang) Môn: Toán (Đề có lời giải) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P : 4x z 3 0 . Véctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d? A. u 4;1; 1 B. u 4; 1;3 C. u 4;0; 1 D. u 4;1;3 Câu 2. Cho hàm số y f x liên tục tại x0 và có bảng biến thiên sau. Đồ thị hàm số đã cho có A. hai điểm cực trị, một điểm cực tiểu.B. một điểm cực đại, không có điểm cực tiểu. C. một điểm cực đại, hai điểm cực tiểu.D. một điểm cực đại, một điểm cực tiểu. 2 Câu 3. Tập nghiệm của bất phương trình log3 x 2 3 là A. S ; 55; B. S  C. S ¡ D. S  5;5 Câu 4. Điểm A trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực là 3 và phần ảo là 2. B. Phần thực là 3 và phần ảo là 2 . C. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i . D. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i . Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên ¡ \ 1 .B. Hàm số đồng biến trên ; 1 . C. Hàm số đồng biến trên ;2 . D. Hàm số đồng biến trên ¡ . Trang 1
2. x 1 y 1 z 3 Câu 6. Cho ba điểm A 1; 3;2 , B 2; 3;1 ,C 3;1;2 và đường thẳng d : . Tìm điểm 2 1 2 D có hoành độ dương trên d sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12. A. D 6;5;7 B. D 1; 1;3 C. D 7;2;9 D. D 3;1;5 1 Câu 7. Đặt t ex 4 thì I dx trở thành x e 4 2 t 2 2t A. I dt B. I dt C. I dt D. I dt 2 2 2 2 t t 4 t t 4 t 4 t 4 Câu 8. Cho hàm số y f x x3 ax2 bx c a,b,c ¡ . Biết hàm số có hai điểm cực trị là x 1, x 2 và f 0 1. Giá trị của biểu thức P 2a b c là A. P 2 B. P 0 C. P 1 D. P 5 Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Thể tích V của khối chóp là a3 3 a3 3 a3 3 a3 2 A. V B. V C. V D. V 24 8 4 6 2020 Câu 10. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 2 2019 x2 1 . Số điểm cực trị của hàm số là A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 11. Cho log3 m; ln 3 n . Hãy biểu diễn ln 30 theo m và n. n m n m n A. ln 30 1 B. ln 30 n C. ln 30 D. ln 30 n m n n m x Câu 12. Với x a 0 và a là tham số, đặt f x t ln3 tdt . Hàm số f x đồng biến trên khoảng nào 0 trong các khoảng sau đây? 1 A. 1;e B. ; C. 1; D. e; e Câu 13. Một hình nón có bán kính đáy bằng 1 và thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. Diện tích xung quanh của hình nón bằng 1 A. 2 B. πC. 2 2 D. 2 Câu 14. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu S đi qua bốn điểm O, A 1;0;0 , B 0; 2;0 và C 0;0;4 là A. S : x2 y2 z2 x 2y 4z 0 B. S : x2 y2 z2 2x 4y 8z 0 C. S : x2 y2 z2 x 2y 4z 0 D. S : x2 y2 z2 2x 4y 8z 0 Trang 2
3. Câu 15. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Giá trị cực đại của hàm số bằng 1.B. Giá trị cực đại của hàm số bằng 5. C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2.D. Giá trị cực đại của hàm số bằng 0. Câu 16. Buổi sáng ông Tần vừa nhập một lượng dưa hấu từ nông dân và bán cho khách. Ông thống kê lại số dưa bán được theo giờ. Giờ thứ nhất bán được nửa số dưa và nửa quả, giờ thứ hai bán được nửa số dưa còn lại và nửa quả, giờ thứ 3 bán được nửa số dưa còn lại và nửa quả Đến giờ thứ 5 sau khi bán được nửa số dưa còn lại và nửa quả thì ông còn dư 1 quả. Hỏi buổi sáng ông Tần đã nhập vào bao nhiêu quả dưa hấu? A. 127 quảB. 63 quảC. 45 quảD. 105 quả Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Trên AB lấy một điểm M. Gọi là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng SAD cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P, Q. Thiết diện của với hình chóp là A. hình thoi MNPQ.B. hình thang MNPQ. C. hình thang cân MNPQ.D. hình bình hành MNPQ. 2 Câu 18. Kí hiệu z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 5 0 . Giá trị của z1 z2 bằng A. 2 5 B. 5 C. 3D. 10 Câu 19. Trong các hàm số sau hàm số nào là đạo hàm của hàm số y 2x.5x ? A. 10x ln10 B. 10x C. 2x 5x D. x.10x 1 Câu 20. Cho hàm số y f x có đồ thì hàm số y f x như hình vẽ. Biết f a 0 . Hỏi đồ thị hàm số y f x 2020m có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 3B. 4 C. 5D. 7 Câu 21. Một cốc nước hình trụ có chiều cao là h 3 (cm) bên trong đựng một lượng nước. Biết rằng khi nghiêng chiếc cốc sao cho lượng nước chạm mép cốc thì đồng thời nước cũng vừa chạm vào bán kính đáy cốc. Hỏi khi nghiêng cốc sao cho Trang 3
4. lượng nước vừa đủ phủ kín đáy cốc thì điểm còn lại mà lượng nước chạm vào thành cốc cách đáy cốc một khoảng bằng bao nhiêu? A. 2π cmB. π cmC. 4cmD. 3cm Câu 22. Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn O và O , chiều cao bằng 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng đi qua trung điểm của OO và tạo với OO một góc 30 , cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng 4 3R 2R 6 2 3R 2R A. B. C. D. 9 3 3 3 Câu 23. Tập nghiệm S của phương trình 22x 1 5.2x 2 0 là A. S 1;1 B. S 1;0 C. S 1 D. S 0;1 2y 15 Câu 24. Cho x, y ( x 1) là hai số thực dương thỏa mãn log y ,log x . Giá trị của biểu thức x 5 3 5 y P y2 x2 là A. P 17 B. P 50 C. P 51 D. P 40 Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn z 2. Tập hợp điểm biểu diễn số phức w 1 i z 2i là A. một đường tròn.B. một đường thẳng. C. một Elip.D. một parabol hoặc hyperbol. Câu 26. Cho hàm số y f x là hàm đa thức bậc 5 có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Hàm số y f x đồng biến trên những khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. ; 1 và 1; B. ; 2 và 1;2 C. ; 2 và 2; D. 2; 1 và 2; 2 1 1 Câu 27. Cho f x thỏa mãn f 2 . Biết phương trình f x 1 có nghiệm 2x 1 2 x 1 2 3 x0 duy nhất x x0 . Giá trị của biểu thức T 2020 là A. T 2020 B. T 1 C. T 2020 D. T 20203 Câu 28. Trong một lớp học có 35 học sinh. Muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó thì số cách chọn là 2 2 1 A. C35 B. A35 C. 2!35 D. 2C35 Trang 4
5. Câu 29. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và hàm số y g x xf x2 có đồ thị trên đoạn 0;2 như hình vẽ. Biết diện 5 4 tích miền màu xám là S , giá trị tích phân I f x dx là 2 1 5 5 A. I B. I 4 2 C. I 5 D. I 10 Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng x 2 y 3 z d : và vuông góc với mặt phẳng  : x y 2z 1 0. Giao tuyến của và  đi 1 1 2 qua điểm nào dưới đây? A. 0;1;3 B. 2;3;3 C. 5;6;8 D. 1; 2;0 Câu 31. Một chiếc cốc có dạng hình trụ, chiều cao là 16cm, đường kính đáy bằng 8cm, bề dày thành cốc và đáy cốc là 1cm. Nếu đổ một lượng nước vào cốc cách miệng cốc 5cm thì ta được khối nước có V1 thể tích V1 , nếu đổ đầy cốc ta được khối trụ (tính cả thành cốc và đáy cốc) có thể tích V2 . Tỉ số V2 bằng 2 11 245 45 A. B. C. D. 3 6 512 128 Câu 32. Cho hàm số y f x đồng biến trên 0; ; y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 2 2 0; và thỏa mãn f 3 và f x x 1 . f x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 A. 2613 f 2 8 2614 B. 2614 f 2 8 2615 C. 2618 f 2 8 2619 D. 2616 f 2 8 2617 Câu 33. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Gọi P là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với ABC . Trong P xét đường tròn C đường kính BC. Diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón có đáy là C và đỉnh A bằng a2 a2 A. B. C. a2 D. 2 a2 2 3 Câu 34. Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y f 2 ex đồng biến trên khoảng A. 0;ln 3 B. 1; C. 1;1 D. ;0 Trang 5
6. Câu 35. Tại sân ga, có một đoàn tàu gồm 8 toa. Có 5 hành khách lên tàu, độc lập với nhau, mỗi người lên 1 toa ngẫu nhiên. Xác suất để sau khi hành khách lên tàu, đoàn tàu còn 7 toa trống là 1 2 1 1 A. B. C. D. 85 84 2.84 84 Câu 36. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , cung tròn có phương trình y 6 x2 6 x 6 và tục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên). Thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D quanh trục Ox là 22 22 22 A. V 8 6 2 B. V 8 6 C. V 8 6 D. V 4 6 3 3 3 Câu 37. Cho hàm số y f x có đồ thị y f x như hình vẽ bên. Đặt g x 2 f x x2 . Biết rằng g 0 g 1 g 1 g 2 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. g 0 g 1 g 2 g 1 B. g 0 g 1 g 1 g 2 C. g 0 g 1 g 1 g 2 D. g 0 g 1 g 1 g 2 Câu 38. Xét các số phức z, w thỏa mãn w i 2, z 2 iw . Gọi z1, z2 lần lượt là các số phức mà tại đó z đạt giá trị nhỏ nhất và đạt giá trị lớn nhất. Môđun z1 z2 bằng A. 3 2 B. 3C. 6D. 6 2 Câu 39. Cho lăng trụ đều tam giác ABC.A B C có cạnh AB 2a , M là trung điểm của A B , a 2 d C ,(MBC) . Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C bằng 2 2 2 3 2 2 A. a3 B. a3 C. a3 D. a3 3 6 2 2 x x Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên m 0;2021 để phương trình 2 3 2 3 m có hai nghiệm phân biệt? A. 2016B. 2017C. 2018D. 2019 Trang 6
7. x 1 y z 1 Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 10;2;1 và đường thẳng d : . Gọi P là 2 1 3 mặt phẳng đi qua điểm A, song song với đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và P lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M 1;2;3 đến mặt phẳng P là 97 3 76 790 2 13 3 29 A. B. C. D. 15 790 13 29 Câu 42. Cho tứ diện ABCD có AB CD a, AC BD b, AD BC c . Giá trị côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng 2 2 2 2 2 2 3 b a 2 b a a2 c2 3 a c A. B. C. D. c2 c2 b2 b2 x 1 y z 1 Câu 43. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt cầu 2 1 1 S : x 4 2 y 5 2 z 7 2 2 . Hai điểm A và B thay đổi trên S sao cho tiếp diện của S tại A và B vuông góc với nhau. Đường thẳng qua A song song với d cắt mặt phẳng Oxy tại M, đường thẳng B song song với d cắt mặt phẳng Oxy tại N. Giá trị lớn nhất của tổng AM BN bằng A. 16 6 B. 8 6 C. 7 6 5 3 D. 20 Câu 44. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số h x f 2 x f x m có đúng 3 điểm cực trị là 1 A. m B. m 1 4 1 C. m 1 D. m 4 3x 5 3x 2 Câu 45. Cho đồ thị C : y ; C : và điểm I 2; 3 . Lấy A, B C , các tia đối của 1 x 2 2 x 2 1 tia IA, IB cắt C2 lần lượt tại C và D sao cho SABCD 2020. Diện tích tam giác IAB bằng 505 2020 A. B. 250C. D. 505 2 9 Câu 46. Cho phương trình log x3 3x 2sin mx với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị 2 của m 2020;2020 để phương trình đã cho có nghiệm trên đoạn 2;4 ? A. 1280B. 1285C. 1287D. 1286 Trang 7
8. 1 Câu 47. Cho f x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn  1;1 và f x dx 2 . Giá trị tích phân 1 1 f x 2020 I dx là x 1 e A. I 2019 B. I 2020 C. I 2021 D. I 2018 Câu 48. Cho hàm số y f x ax3 bx2 cx d có bảng biến thiên như sau. 1 Tìm m để phương trình f x m có bốn nghiệm phân biệt x x x x . 1 2 3 2 4 1 1 A. m 1 B. 0 m 1 C. 0 m 1 D. m 1 2 2 Câu 49. Cho ba điểm A, B, C lần lượt là 3 điểm biểu diễn của các số phức z1, z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1 z2 z3 9 và z1 z2 8 6i . Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC bằng A. 28 14 B. 28 17 C. 30 14 D. 30 17 Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;0;6 , điểm M nằm trên mặt phẳng Oxy và M O . Gọi D là hình chiếu vuông góc của O lên AM và E là trung điểm của OM. Biết đường thẳng DE luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định. Bán kính mặt cầu đó là A. R 2 B. R 1 C. R 3 D. R 2 Trang 8
9. ĐÁP ÁN 1-C 2-D 3-D 4-B 5-B 6-C 7-C 8-A 9-A 10-B 11-D 12-C 13-A 14-C 15-B 16-B 17-B 18-A 19-A 20-C 21-C 22-B 23-A 24-B 25-A 26-D 27-B 28-B 29-C 30-B 31-D 32-A 33-B 34-D 35-D 36-D 37-A 38-C 39-C 40-D 41-A 42-C 43-A 44-A 45-C 46-D 47-C 48-A 49-A 50-C LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Do d  P nên véctơ chỉ phương của đường thẳng d là véctơ pháp tuyến của P .  Suy ra một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là u u P 4;0; 1 . Câu 2: Tại x x2 hàm số y f x không xác định nên khôg đạt cực trị tại điểm này. Tại x x1 thì dễ thấy hàm số đạt cực đại tại điểm này. Tại x x0 , hàm số không có đạo hàm tại x0 nhưng liên tục tại x0 thì hàm số vẫn đạt cực trị tại x0 và theo như bảng biến thiên thì đó là cực tiểu. Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực đại, một điểm cực tiểu. 2 2 2 Câu 3: Ta có: log3 x 2 3 x 2 27 x 25 5 x 5. Câu 4: Ta có: z 3 2i z 3 2i . Câu 5: Dựa vào bảng biến thiên hàm số đã cho đồng biến trên ; 1 và 1; . Câu 6: Ta có D d D 1 2t; 1 t;3 2t ,t ¡ .     AB 1;0; 1 , AC 4;4;0 AB, AC 4;4;4 .  AD 2t;2 t;1 2t .    t 3 1 VABCD AB, AC .AD 4 2t 4 2 t 4 1 2t 6.12 5t 3 18 21 . 6 t 5 Với t 3 suy ra D 7;2;9 (thỏa mãn điều kiện). 21 37 Với t x 0 (loại). 5 D 5 x 2 x x 2 2tdt Câu 7: Đặt t e 4 t e 4 2tdt e dx 2tdt t 4 dx dx 2 . t 4 1 2 Do đó I dx dt . x 2 e 4 t 4 Câu 8: Ta có f x 3x2 2ax b . Trang 9
10. 9 a 3 2a b 0 2 Theo giả thiết, ta có hệ phương trình 12 4a b 0 b 6 . c 1 c 1 Vậy 2a b c 2. Câu 9: Gọi M là trung điểm AB, O là trọng tâm ABC CM  AB ·(SAB),(ABC) S·MO 60. 1 a 3 a 3 a 3 a Mặt khác MO . SO MO.tan 60 . 3 . 3 2 6 6 2 1 a a2 3 a3 3 Suy ra V . . . SABC 3 2 4 24 x 0 2020 2019 2 Câu 10: Ta có f x x x 2 x 1 0 x 2 . x 1 Bảng xét dấu f x : Vậy hàm số có hai điểm cực trị. log3 m 3 10m n Câu 11: Ta có 10n en n mln10 ln10 . n ln 3 n 3 e m n Vậy ln 30 ln 3 ln10 n . m Câu 12: Giả sử F t là một nguyên hàm của t ln3 t , ta có F t t ln3 t . Khi đó f x F x F a f x F x x ln3 x 0 ln x 0 x 1. Câu 13: Ta có  R 2 2 Sxq R 2 . Câu 14: Giả sử phương trình mặt cầu có dạng S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cx d 0 a2 b2 c2 d 0 . Vì mặt cầu S đi qua O, A 1;0;0 , B 0; 2;0 và C 0;0;4 nên ta có hệ phương trình Trang 10
11. d 0 d 0 12 0 0 2.1.a d 0 1 a 2 2 2 2 2 S : x y z x 2y 4z 0 . 0 2 0 2 2 .b d 0 b 1 0 0 42 2.4.c d 0 c 2 Câu 15: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực đại của hàm số bằng 5. Câu 16: Gọi x là số quả dưa ông Tần đã nhập. Ta có: x 1 x 1 Giờ thứ nhất bán được (quả). 2 2 2 1 x 1 1 x 1 Giờ thứ 2 bán được x 2 (quả) 2 2 2 2 . x 1 Giờ thứ 5 bán được (quả). 25 1 1 1 Vậy x 1 2 5 x 1. 2 2 2 1 1 1 1 1 1 5 31 31 Tổng cấp số nhân . 2 x 1 x 1 x 63 . 2 22 25 2 1 32 32 2 // SD Câu 17: Ta có: // SAD // SA . // AD // SD SD  SAD + Với // SD , ta có PQ // SD .  SAD PQ // SA // SA + Với // SA, ta có SA  SAB MN // SA .  SAB MN // AD + Với // AD , ta có AD  ABCD MQ // AD (1).  ABCD MQ // BC BC // MQ Lại có // BC , BC  SBC PN // BC (2). BC   SBC PN Trang 11
12. Từ (1) và (2), suy ra MQ // PN MNPQ là hình thang. 2 z1 1 2i Câu 18: Ta có: z 2z 5 0 . z2 1 2i Suy ra z1 z2 5 z1 z2 2 5 . Câu 19: Ta có y 2x .5x 2x. 5x 2x.5x ln 2 2x.5x ln 5 10x ln 2 ln 5 10x.ln10 . Câu 20: Từ đồ thị của hàm số y f x ta có bảng biến thiên: Hàm số y f x có 3 điểm cực trị. Để đồ thị hàm số y f x 2020m có số điểm cực trị lớn nhất thì y f x cắt trục hoành tại số điểm là nhiều nhất f c 0 . Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt Ox tại nhiều nhất 2 điểm nên hàm số y f x 2020m có tối đa 5 điểm cực trị. 2 3 2 h1 h2 Câu 21: Thể tích hình nêm: V R tan Thể tích hình trụ cụt: V R 3 2 2 3 2 h1 h2 h Thể tích của lượng nước không đổi nên V R tan R trong đó tan ;h1 0 . 3 2 R 2 3 h 2 h2 2 2 2 h2 4h Khi đó V R R R h R h2 4 (cm). 3 R 2 3 2 3 Câu 22: Dựng OH  AB AB  OIH OIH  IAB đường thẳng IH là hình chiếu của đường thẳng OI lên IAB . Ta có O· IH 30 . Trang 12
13. R 3 Xét tam giác vuông OIH vuông tại O OH OI tan 30 . 3 Xét tam giác OHA vuông tại H R 6 2R 6 AH OA2 OH 2 AB . 3 3 2x 2 2 x 1 2x 1 x x x Câu 23: Phương trình: 2 5.2 2 0 2 2 5.2 2 0 1 . 2x x 1 2 2y y Câu 24: Ta có log y log y (1). x 5 x 5 15 5 Lại có log x log x (2). 3 5 y 5 y 1 Từ (1) và (2), ta có log x y log x y log x 5 y 5 . log5 x Thay vào (2), suy ra x 5. Vậy P y2 x2 50. Câu 25: Ta có w 1 i z 2i w 2i 1 i z w 2i 1 i z w 2i 2 2 . Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I 0;2 và bán kính 2 2 . Câu 26: Ta có f x 0 chỉ chọn các nghiệm x 2, x 1, x 2 và lập trục xét dấu Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y f x đồng biến trên các khoảng 2; 1 và 2; . 1 1 Câu 27: Ta có f x f x C . 2x 1 x 1 1 Mặt khác f 2 C 1. 3 1 1 Xét phương trình 0 x 0 . 2x 1 x 1 Vậy x x0 0 T 1. Câu 28: Chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó từ 35 học sinh (tức là một chỉnh hợp chập 2 của 35 phần 2 tử) hay A35 . 2 4 1 Câu 29: Đặt x2 t , ta có S xf x2 dx f t dt 1 1 2 4 1 1 4 1 S f t dt f x dx I I 2S 5 . 1 2 2 1 2 Trang 13
14.  Câu 30: Ta có ud 1;1;2 là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d.     n 1;1; 2 là một véctơ chỉ phương của  n u ;n 4;4;0 . P d P A 2;3;0 d A . Phương trình mặt phẳng : 4 x 2 4 y 3 0 z 0 0 4x 4y 4 0 x y 1 0 . x y 1 0 Giả sử M x; y; z   . Khi đó tọa độ M thỏa mãn hệ . x y 2z 1 0 Thay các đáp án vào hệ trên ta thấy M 2;3;3 thỏa mãn. Câu 31: Gọi r1,r2 lần lượt là bán kính trong và bán kính ngoài (tính cả bề dày thành cốc) khi đó ta có r1 3,r2 4 . Gọi h1,h2 lần lượt là chiều cao cột nước trong cốc và chiều cao hình trụ, khi đó ta có h1 10,h2 16 . 2 2 Thể tích lượng nước V1 r1 h1 .3 .10 90 . 2 2 Thể tích khối trụ V2 r2 h2 .4 .16 256 . V 90 45 Vậy 1 . V2 256 128 Câu 32: Hàm số y f x đồng biến trên 0; nên f x 0,x 0; . Mặt khác y f x liên tục, nhận giá trị dương trên 0; nên 2 f x x 1 . f x f x x 1 . f x ,x 0; f x x 1 ,x 0; f x f x 1 3 dx x 1dx f x x 1 C . f x 3 2 2 8 Từ f 3 suy ra C . 3 3 3 2 1 3 2 8 Như vậy f x x 1 . 3 3 3 Do đó 2 2 4 1 3 2 8 2 8 2 2 8 f 8 8 1 9 f 8 9 2613,26 . 3 3 3 3 3 3 3 Câu 33: Mặt cầu nội tiếp hình nón để cho có 1 đường tròn lớn nội tiếp tam giác đều ABC (cạnh a). Trang 14
15. 1 a 3 a 3 Do đó mặt cầu đó có bán kính r . . 3 2 6 2 2 2 a 3 a Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là V 4 r 4 . 6 3 Câu 34: Ta có y ex f 2 ex . 2 ex 1 x x 0 y 0 2 e 1 . x ln 3 x 2 e 4 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y f 2 ex đồng biến trên các khoảng ;0 và ln 3; . Câu 35: Ta có n  85 . Gọi A là biến cố: “Sau khi hành khách lên tàu xong, đoàn tàu có 7 toa trống”. Vậy có đúng 1 toa tàu có khách. Khi đó tính số kết quả thuận lợi theo trình tự sau: 1 + Chọn 1 toa tàu để các hành khách đi lên đó, có C8 cách. + Xếp 5 hành khách cùng vào toa tàu vừa chọn ta có được 15 1 cách chọn. 1 Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A C8.1 8 . n A 8 1 Vậy xác suất của biến cố A là P A . n  85 84 4 3 Câu 36: Cung tròn khi quay quanh Ox tạo thành một khối cầu có thể tích V 6 8 6 . 1 3 x 0 Xét phương trình x 6 x2 x 2 . 2 x x 6 0 Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x , cung tròn có phương trình y 6 x2 và đường thẳng y 0 quanh Ox là: 2 6 12 6 28 22 V xdx 6 x2 dx 2 4 6 . 2 0 2 3 3 Trang 15
16. 22 22 Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V V1 V2 8 6 4 6 4 6 . 3 3 Câu 37: Ta có g x 2 f x 2x , vẽ thêm đường thẳng y x . x 1 Ta có g x 0 f x x x 0 . x 2 Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta dễ thấy max g x g 0 và g 1 g 2 .  1;2 Do g 0 g 1 g 0 g 1 g 1 g 2 g 0 g 2 g 1 g 2 . Vậy g 0 g 1 g 2 g 1 . Câu 38: Cách 1: z 2 Ta có: z 2 iw w . i z 2 Khi đó w i 2 i 2 z 3 2 (*). i Gọi z x yi x, y ¡ và M x; y là điểm biểu diễn số phức z. Ta có (*) x 3 2 y2 4. Suy ra M nằm trên đường tròn C có tâm I 3;0 , bán kính R 2 . Ta lại có z OM đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng d qua hai điểm O và I với đường tròn C . qua O 0;0 x t d :   có phương trình tham số d : . y 0 OI 3;0 ud 1;0 x t t 1 Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ y 0 . t 5 2 2 x 3 y 4 Suy ra hai số phức tương ứng là z 1 và z 5 . Vậy z1 z2 6 . Trang 16
17. Cách 2: Ta có z 2 iw z 3 i w i z 2 i w i w i 2 . Gọi z x yi , do z 3 2 x 3 2 y2 4 (*). Tập hợp các số phức z là đường tròn tâm I 3;0 , bán kính r 2 . Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z x yi . Ta có z OM x2 y2 . Ta tìm điểm M x; y thuộc đường tròn tâm I 3;0 , bán kính r 2 sao cho OM đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất (với O nằm ngoài đường tròn vì OI 3 r ).  Ta có OI 3;0 đường thẳng OI có phương trình y 0. Tọa độ giao điểm của (*) và đường thẳng OI x 1 2 x 3 y2 4 y 0 là nghiệm của hệ A 1;0 , B 5;0 . y 0 x 5 y 0 Ta có OM max OB 5, OM min OA 1. Suy ra z1 1, z2 5, z1 z2 6 . Vậy z1 z2 6 . Câu 39: Gọi J, K, H theo thứ tự là trung điểm của BC, B C , KA . MH // BC MBC  MHJB . B C // MBC d C ,(MBC) d K,(MBC) . MH  KA , MH  JK MH  JKH JKH  MHJB . Gọi L là hình chiếu của K trên JH d K,(MBC) KL . a 2 a 3 Tam giác JKH vuông tại K có đường cao KL , KH ; 2 2 1 1 1 a 6 KJ là độ dài dường cao của lăng trụ. KL2 KH 2 KJ 2 2 3 2 Vậy V KJ.S a3 . ABC.A B C ABC 2 x Câu 40: Đặt t 2 3 ;t 0 . 1 Phương trình đã cho trở thành t m (*) t 1 Xét hàm số f t t xác định và liên tục trên 0; . t 1 Ta có f t 1 . Cho f t 0 t 1. t 2 Trang 17
18. Bảng biến thiên Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt m 2 . Vậy m 3;4;5; ;2021 nên có 2019 giá trị thỏa mãn. Câu 41: P là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng d nên P chứa đướng thẳng d đi qua điểm A và song song với đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu của A trên d, K là hình chiếu của H trên P . Ta có d d,(P) HK AH (AH không đổi) Giá trị lớn nhất của d d,(P) là AH d d,(P) lớn nhất khi AH vuông góc với P . Khi đó nếu gọi Q là mặt phẳng chứa A và d thì P vuông góc với Q    n u ,n 98;14; 70 P d Q 97 3 P : 7x y 5z 77 0 d M ,(P) . 15 Câu 42: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD. PM // BD · · Ta có BD, AC PM , PN . PN / / AC Theo công thức tính đường trung tuyến ta có 2 2 2 CA2 CB2 AB2 2 b c a CM 2 . 2 4 4 2 b2 c2 a2 Tương tự DM 2 nên: 4 2 2 MC 2 MD2 CD2 2 b c a2 b2 c2 a2 MN 2 2 4 4 4 2 Áp dụng định lí Cô-sin cho tam giác PMN ta có: Trang 18
19. 2 2 b b b2 c2 a2 2 2 2 2 2 PM PN MN 2 2 2 a c cos M· PN . 2PM.PN b b b2 2 2 2 a2 c2 Vậy cos ·AC, BD . b2 Câu 43: Mặt cầu S có tâm I 4;5;7 và bán kính R 2 . Gọi K là trung điểm của AB.  Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương ud 2;1;1 , mặt phẳng Oxy có một véctơ pháp tuyến n 0;0;1 . Gọi là góc giữa đường thẳng d và Oxy .  ud .n 1 Khi đó sin  . ud . n 6 Đường thẳng qua K song song với d cắt mặt phẳng Oxy tại P. Gọi G là hình chiếu của K lên mặt phẳng Oxy . KG Ta có AM BN 2KP 2 2 6KG . sin Mặt khác ·AIB là góc giữa hai tiếp diện vuông góc nên tam giác IAB vuông tại I. 1 2 Do đó IK AB 1, hay điểm K nằm trên mặt cầu S tâm I 4;5;7 và bán kính R 1. 2 2 Khi đó KG IG R d I; Oxy R 7 1 8 hay AM BN 16 6 . Vậy AM BN 16 6 . max Câu 44: Xét hàm số g x f 2 x f x m . Ta có g x 2 f x f x f x f x 2 f (x) 1 . Dựa vào đồ thị của hàm số y f x suy ra f x 0 x 1 g x 0 1 x 3 . f x 2 x a 0 Trang 19
20. 2 2 1 1 1 2 Ta có g a f a f a m m m và g 3 f 3 f 3 m m . 2 2 4 Bảng biến thiên của hàm số y g x 1 1 Đồ thị hàm số y h x có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m 0 m . 4 4 1 C : y 3 1 x 2 Câu 45: Ta có 4 C : y 3 2 x 2 1 4  4 Lấy A a 2; 3 C1 ;C c 2; 3 C2 IC c; . a c c 2IA IC 2020 Mà I, A, C thẳng hàng nên SABCD 9S IAB S IAB . 2IB ID 9 Câu 46: Với x 2;4 x3 3x 2 . Dấu “=” đạt được khi x 2 . VT log x3 3x log 2 2, x 2;4 . 2 2    Ta có VP 2sin mx 2 . Dấu “=” xảy ra khi sin mx 1. VT 2 Khi đó phương trình đã cho có nghiệm trên 2;4 VP 2 x 2 x 2 VP VT 2 m k . sin mx 1 mx k2 k ¢ 4 2 Với m 2020;2020 2020 k 2020 643,23 k 642,7 . 4 Vì k ¢ nên có 1286 giá trị có 1286 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1 f x 2020 0 f x 2020 1 f x 2020 Câu 47: I dx dx dx I I . x x x 1 2 1 1 e 1 1 e 0 1 e 0 f x 2020 Xét I dx . Đặt x t dx dt , đổi cận x 0 t 0, x 1 t 1. 1 x 1 1 e Trang 20
21. 0 f t 2020 1 et f t 2020 I dt dt 1 t t 1 1 e 0 1 e 1 et f t 2020 1 ex f x 2020 Ta có dt dx . t x 0 1 e 0 1 e 1 f x 2020 1 ex f x 2020 1 f x 2020 Suy ra I dx dx dx x x x 1 1 e 0 1 e 0 1 e 1 x 1 1 1 e f x 2020 1 dx f x 2020 dx f x 2020 dx 2021. x 0 1 e 0 2 1 Câu 48: f 0 1 a 2 f 1 0 b 3 3 2 Ta có , suy ra y f x 2x 3x 1. f 0 0 c 0 d 1 f 1 0 x 1 Nhận xét f x 0 1 . Bảng biến thiên của hàm số y f x như sau: x 2 1 Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f x m có nghiệm phân biệt x x x x khi và 1 2 3 2 4 1 chỉ khi m 1. 2 Câu 49: Ta có z1 z2 8 6i nên trung điểm của AB là điểm M 4;3 và ba điểm A, B, C thuộc đường tròn O;9 . Ta hạ CH vuông góc AB và hạ OK vuông góc CH. Khi đó: 1 S CH.AB CK KH OA2 OM 2 S 2 14 CK 5 2 14 CO 5 28 14 . 2 Câu 50: Ta có OA 6 . Tam giác OAM luôn vuông tại O. Gọi I là trung điểm của OA (điểm I cố định). 1 Ta có tam giác ADO vuông tại D có ID là đường trung tuyến nên ID OA 3. (1) 2 Trang 21
22. Ta có IE là đường trung bình của tam giác OAM nên IE song song với AM. Mặt khác OD  AM OD  IE . Lại có tam giác EOD cân tại E. Từ đó suy ra IE là đường trung trực của OD. Do đó D· OE O· DE, I·OD I·DO I·DE I·OE 90 ID  DE . (2) OA Từ (1) và (2), suy ra DE luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm I bán kính R 3. 2 Trang 22