Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Mã đề: 21 - Năm học 2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Mã đề: 21 - Năm học 2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 21 ĐỀ LUYỆN ĐIỂM 10 (Đề thi có 06 trang) Môn: Toán (Đề có lời giải) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 12 và G là trọng tâm của tam giác BCD. Thể tích V của khối chóp A.GBC là A. V 3.B. V 4 . C. V 6 .D. V 5. 2022 2021 Câu 2. Giá trị của biểu thức P 7 4 3 4 3 7 là 2020 A. P 7 4 3 .B. P 7 4 3 . C. P 1.D. P 7 4 3 x x Câu 3. Phương trình 9 3.3 2 0 có hai nghiệm x1 , x2 x1 x2 . Giá trị biểu thức A 2x1 3x2 là A. 4log3 2 . B. 1. C. 3log3 2 . D. 2log2 3. Câu 4. Cho hàm số f x ln x2 2x 5 . Tập nghiệm của bất phương trình f x 0 là A. 2; . B. 1; . C. 2; .D. 1; . Câu 5. Tìm môđun của số phức z 4 3i 2 1 2i 3 . A. z 2 137 . B. z 2 371 . C. z 2 173 . D. z 2 317 . Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB a , BC a 10 . Thể tích của khối nón khi quay tam giác ABC quanh trục AC là A. 3 a3 . B. a3 . C. 2 a3 . D. 10 a3 . 100 Câu 7. Giá trị tích phân x.e2xdx bằng 0 1 1 1 1 A. 199e200 1 . B. 199e200 1 .C. 199e200 1 . D. 199e200 1 . 4 2 4 2 2cos2 x cos x 1 Câu 8. Cho hàm số y . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số cos x 1 đã cho. Khi đó M m bằng A. –4.B. –5.C. –6.D. 3. 2020 Câu 9. Số phức z i5 i4 i3 i2 i 1 có phần ảo là A. 21010 .B. 21010 C. 2020.D. 0. Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong x y 6 z 6 góc A là . Biết rằng điểm M 0;5;3 thuộc đường thẳng AB và điểm N 1;1;0 thuộc 1 4 3 đường thẳng AC. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC? Trang 1
2. A. u 1;2;3 .B. u 0;1;3 .C. u 0; 2;6 . D. u 0;1; 3 . 1 Câu 11. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x 5 trên khoảng 0; là x A. min f x 3 . B. min f x 5 . C. min f x 2 . D. min f x 3 . 0; 0; 0; 0; Câu 12. Cho log3 m ; ln 3 n . Hãy biểu diễn ln 30 theo m và n. n m m n n A. ln 30 1. B. ln 30 n . C. ln 30 . D. ln 30 n . m n n m Câu 13. Một vật chuyển động với gia tốc a t 20 1 2t 2 m / s2 . Khi t 0 thì vận tốc của vật là 30m/s. Quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây bằng A. 36m.B. 48m.C. 42m. D. 49m. 2 Câu 14. Phương trình log3 x 2x log3 2x 3 có bao nhiêu nghiệm? A. 3.B. 2.C. 1.D. 0. Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 0;2; 2 , B 2;2; 4 . Giả sử I a;b;c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Giá trị biểu thức T a2 b2 c2 là A. T 8.B. T 2 .C. T 6 .D. T 14 . x 2 y 1 z 1 Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho điểm I 1;2; 3 và đường thẳng : . Phương 1 2 2 trình mặt cầu S có tâm I và cắt tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 20 là A. x 1 2 y 2 2 z 3 2 41. B. x 1 2 y 2 2 z 3 2 41. C. x 1 2 y 2 2 z 3 2 29 . D. x 1 2 y 2 2 z 3 2 29 . Câu 17. Cho hàm số y f x liên tục hên ¡ và có bảng biến thiên như sau x 0 2 y + 0 – 0 + y –1 –2 Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong số các mệnh đề sau đối với hàm số g x f 2 x 2? I. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 4; 2 . II. Hàm số g x nghịch biến trên khoảng 0;2 . III. Hàm số g x đạt cực tiểu tại điểm –2. IV. Hàm số g x có giá trị cực đại bằng –3. A. 3.B. 2. C. 1. D. 4. Trang 2
3. Câu 18. Người ta làm tạ tập cơ tay như hình vẽ với hai đầu là hai khối trụ bằng nhau và tay cầm cũng là khối trụ. Biết hai đầu là hai khối trụ đường kính đáy bằng 12, chiều cao bằng 6, chiều dài tạ bằng 30 và bán kính tay cầm là 2. Thể tích vật liệu làm nên tạ tay đó bằng A. 108 .B. 6480 . C. 502 . D. 504 . x2 2 m 1 x m 2 Câu 19. Cho hàm số y C . Điểm cố định của họ đường cong C là x 1 m m 1 13 2 12 4 5 21 A. ; .B. ; . C. ;2 . D. ; . 2 2 3 3 3 3 2 Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc H của S nằm trong hình vuông ABCD. Hai mặt phẳng SAD , SBC vuông góc với nhau. Góc giữa hai mặt phẳng SAB , SBC bằng 60°, góc giữa hai mặt phẳng SAB , SAD bằng 45°. Biết rằng khoảng cách từ H tới SAB bằng a. Thể tích khối chóp S.ABCD là 4a3 3 2a3 6 a3 6 2a3 3 A. V .B. V . C. V .D. V . 3 3 3 3 Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ABCD , SA x . Giá trị của x để đường thẳng SB và mặt phẳng SCD hợp với nhau góc 30 là A. x 2a . B. x a . C. x a 2 . D. x a 3 . Câu 22. Giá trị của tham số m để phương trình 16x 3.4x 1 m 0 có hai nghiệm thực trái dấu là A. 0 m 36 . B. 11 m 36 . C. 0 m 11. D. 0 m 13. Câu 23. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2x3 3x2 12x 1 C song song với đường thẳng d: 12x y 0 có dạng là y ax b . Giá trị của biểu thức 2a b bằng A. 0. B. –23. C. –24. D. –23 hoặc –24. m Câu 24. Giá trị thực lớn hơn 1 của tham số m thỏa mãn ln2 xdx m.ln m ln m 2 21000 là 1 A. m 21000 . B. m 21000 1. C. m 2999 1. D. m 2999 2 . Câu 25. Cho hàm số y f x liên tục trên M và có đồ thị C . Biết hai tiếp tuyến với C tại điểm x0 1 tạo với nhau một góc 45°, hai tiếp tuyến này cùng với trục hoành tạo thành một tam giác nhọn có f x f 2 x số đo ba góc lập thành một cấp số cộng. Biết rằng biểu thức A lim dương. Khi đó giá x 1 x 1 trị của A bằng A. 2. B. 2 2 3 . C. 3 2 . D. 3 1. Trang 3
4. m m Câu 26. Xét số thực m log2 log2 2 , biểu thức có 2021 dấu căn thức. Phương trình x x m có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 27. Để thực hiện kế hoạch kinh doanh, ông A cần chuẩn bị một số vốn ngay từ bây giờ. Ông có số tiền là 500 triệu đồng gửi tiết kiệm với lãi suất 0,4%/tháng theo hình thức lãi kép. Sau 10 tháng, ông A gửi thêm vào 300 triệu nhưng lãi suất các tháng sau có thay đổi là 0,5% tháng. Hỏi sau 2 năm kể từ lúc gửi số tiền ban đầu, số tiền ông A nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? (Không tính phần thập phân) A. 879693510 đồng. B. 879693600 đồng. C. 901727821 đồng. D. 880438640 đồng. Câu 28. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 4 3i 2 là đường tròn có tâm I, bán kính R. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn là A. I 4;3 , R 4 . B. I 4; 3 , R 2 .C. I 4;3 , R 2 . D. I 4; 3 , R 4 . Câu 29. Cho hình chóp S.ABC có SC a 2 , tam giác SAB đều cạnh a và tam giác SAC vuông tại A. Mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là 4 a3 a3 a3 3 A. .B. . C. 4 a3 .D. . 3 6 2 Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S1 có tâm I 2;1;0 , bán kính bằng 3 và mặt cầu S2 có tâm J 0;1;0 , bán kính bằng 2. Đường thẳng thay đổi tiếp xúc với cả hai mặt cầu S1 , S2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm A 1;1;1 đến đường thẳng . Giá trị tổng M m bằng A. 5.B. 5 2 . C. 6. D. 6 2 . 1 2 4 Câu 31. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cn Cn 5. Hệ số a của x trong khai triển của biểu thức n 1 2x 2 là x A. a 11520 .B. a 256 .C. a 45 .D. a 3360 . Câu 32. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x như hình bên. Hàm số g x f x2 2x 3 x2 2x 2 đồng biến trên khoảng nào? 1 1 A. ; .B. ; . 2 2 C. ; 1 .D. 1; . Trang 4
5. số Câu 33. Cho hàm y f x liên tục trên 0;2 có đồ thị như hình vẽ. Biết S1 , S2 có diện tích lần lượt là 1 và 5. Tích 2 phân xf x dx bằng 0 A. –2.B. –12. C. 6.D. 4. Câu 34. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A a;0;0 , B 0;b;0 , C 0;0;c với a, b, c dương. Biết A, B, C di động trên các tia Ox, Oy, Oz sao cho a b c 2 . Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng P cố định. Khoảng cách từ M 2020;1; 2021 tới mặt phẳng P bằng 3 2020 3 2 3 2019 3 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 f 3 x . f x 1 Câu 35. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên 0;3 , thỏa mãn với mọi x 0;3 f x 1 1 3 xf x và f 0 . Tính tích phân I dx . 2 2 2 0 1 f 3 x . f x 1 3 5 A. I .B. I 1.C. I .D. I . 2 2 2 Câu 36. Để tính diện tích xung quanh của một khối cầu bằng đá, người ta thả nó vào một chiếc thùng hình trụ có chiều cao 2m, bán kính đường tròn 1 ngoại tiếp đáy bằng 0,5 m và chứa một lượng nước có thể tích bằng thể 8 tích khối trụ. Sau khi thả khối cầu bằng đá vào khối trụ người ta đo được mực nước trong khối trụ cao gấp ba lần mực nước ban đầu khi chưa thả khối cầu. Hỏi diện tích xung quanh của khối cầu gần bằng với kết quả nào được cho dưới đây? A. 2,6 m2 . B. l,5 m2 . C. 3,4 m2 . D. l,7 m2 . z1 i Câu 37: Cho hai số phức z1 x1 y1 , z2 x2 y2 x1, x2 , y1, y2 ¡ thỏa mãn 1; z1 2 3i z2 i 2 . Khi z1 z2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x1 x2 y1 y2 có giá trị bằng z2 1 i A. 0.B. 2.C. 4.D. 2 2 . Trang 5
6. Câu 38. Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị cắt đồ thị C . Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A 3;20 và có hệ số góc m. Giá trị của m để đường thẳng d cắt C tại ba điểm phân biệt là 15 15 15 m 24 m 24 15 A. m .B. 4 . C. 4 .D. m . 4 4 m 24 m 24 Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, AC 2 3a , BD 2a ; hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng a 3 SAB bằng . Thể tích khối chóp S.ABC bằng 2 2a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. .C. .D. . 3 3 6 2 Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x y 2z m 0 và mặt cầu S : x2 y2 zh 2x 4y 6z 2 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn T có chu vi bằng 4 3 ? A. 3.B. 4. C. 2. D. 1. Câu 41. Cho đường cong C : y 8x 27x3 và đường thẳng y m cắt C tại hai điểm phân biệt nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ Oxy và chia thành 2 miền phẳng (gạch sọc và kẻ caro) có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. 0 m . B. m 1. 2 2 3 3 C. 1 m . D. m 2 . 2 2 Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD, SA 2a . Thể tích khối chóp S.ABCD là 2a3 a3 15 a3 15 A. V .B. V . C. V . D. V 2a3 . 3 6 12 Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BC 2a , SA vuông góc với đáy, 1 SA a , I thuộc cạnh SB sao cho SI SB , J thuộc cạnh BC sao cho JB JC . Thể tích khối tứ diện 3 ACIJ là a3 a3 a3 a3 A. .B. .C. .D. . 9 6 12 3 Trang 6
7. Câu 44. Đồ thị của hàm số y x4 8x3 22x2 24x 6 2 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 5.B. 3.C. 7. D. 9. 2 Câu 45. Cho biểu thức P 2x 2 1 4 y trong đó x, y là 2 số thực thỏa mãn 1 26y3 3 2y x x3 3xy x y . Biết rằng giá trị lớn nhất của P có dạng a.b c với a, b, c ¥ . Giá trị của biểu thức a b c là A. 3.B. 2.C. 4.D. 5. Câu 46. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2019;2019 sao cho hàm số y x3 6x2 9 m x 2m 2 có 5 điểm cực trị? A. 2019.B. 2021.C. 2022. D. 2020. Câu 47. Trong một hình tứ diện ta tô màu các đỉnh, trung điểm các cạnh, trọng tâm các mặt và trọng tâm tứ diện. Chọn ngẫu nhiên 4 điểm trong số các điểm đã tô màu, xác suất để 4 điểm được chọn có thế tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện là 188 1009 245 136 A. .B. .C. .D. . 273 1365 273 195 Câu 48. Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 1. Khi 3 z 2 z 4 4i đạt giá trị lớn nhất, giá trị z bằng A. 3.B. 2.C. 2 1.D. 3 . u1 1;u2 2 Câu 49. Cho dãy số un xác định bởi công thức 2u .u * . Giới hạn của dãy un u n n 1 ,n n 2 ¥ un un 1 bằng 5 6 3 2 A. .B. . C. .D. . 6 7 2 3 Câu 50. Trong không gian Oxyz, biết rằng với mọi tham số thực a thay đổi thì mặt phẳng P : 2sin a cos a x 2sin a cos a y 6 cos az sin a 3cos a 2 0 luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có bán kính R là 2 2 1 A. R .B. R 2 . C. R .D. R . 2 4 2 Trang 7
8. Đáp án 1-B 2-B 3-C 4-D 5-C 6-B 7-C 8-D 9-D 10-B 11-A 12-D 13-B 14-C 15-A 16-B 17-C 18-D 19-A 20-A 21-B 22-C 23-B 24-C 25-A 26-A 27-A 28-C 29-A 30-A 31-A 32-C 33-A 34-A 35-A 36-A 37-B 38-B 39-C 40-C 41-C 42-B 43-A 44-C 45-B 46-C 47-A 48-B 49-C 50-A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án B 1 V h.S 1 A.BCD 3 BCD Áp dụng công thức V Sh V 4 3 1 1 V h.S h.S A.GBC 3 GBC 9 BCD Câu 2: Đáp án B 2 Ta có 7 4 3 4 3 7 4 3 72 1 2021 2021 2021 P 7 4 3 4 3 7 7 4 3 4 3 7 7 4 3 1 2021 7 4 3 7 4 3 . Câu 3: Đáp án C 3x 1 x 0 Ta có: 9x 3.3x 2 0 . x 3 2 x log3 2 Do 0 log3 2 x1 0 , x2 log3 2 A 2x1 3x2 2.0 3.log3 2 3log3 2 Câu 4: Đáp án D 2 x 2x 5 2x 2 Ta có: f x 0 x 1 x2 2x 5 x2 2x 5 Câu 5: Đáp án C Ta có z 4 3i 2 1 2i 3 4 26i Suy ra x 4 2 26 2 2 173 Câu 6: Đáp án B Khối nón sinh ra khi quay tam giác ABC quanh trục AC có chiều cao h AC 3a ; r a có thể tích V a3 . Câu 7: Đáp án C Trang 8
9. du dx u x Đặt 2x 1 2x dv e dx v e 2 100 1 100 1 100 1 100 1 1 1 Khi đó x.e2xdx xe2x e2xdx 50e200 e2x 50e200 e200 199e200 1 0 2 0 2 0 4 0 4 4 4 Câu 8: Đáp án D Tập xác định D ¡ . 2t 2 t 1 Đặt t cos x , 0 t 1 y f t , 0 t 1. t 1 2t 2 4t t 0 f t 2 f t 0 t 1 t 2 0;1 Ta có f 0 1, f 1 2 . Vậy min y 1, max y 2 M m 3 . ¡ ¡ Câu 9: Đáp án D 2020 1010 z i5 i4 i3 i2 i 1 1 i 2020 1 i 2 2i 1010 21010.i1010 21010 Câu 10: Đáp án B x t Phương trình tham số của đường phân giác trong góc A là d : y 6 4t z 6 3t Gọi D là điểm đối xứng với M qua d .  Khi đó D AC Đường thẳng AC có một vectơ chỉ phương là ND . Ta xác định điểm D.  Gọi K là giao điểm MD với d . Ta có K t;6 4t;6 3t , MK t;1 4t;3 3t .    1 Ta có MK  u với u 1; 4; 3 nên t 4 1 4t 3 3 3t 0 t . d d 2 xD 2xK xM xD 1 1 9 K ;4; là trung điểm MD nên yD 2yK yM yD 3 hay D 1;3;6 . 2 2 zD 2zK zM zD 6  Một vectơ chỉ phương của AC là DN 0; 2; 6 hay u 0;1;3 là vectơ chỉ phương. Câu 11: Đáp án A 1 1 x2 1 Ta có f x x 5 , x 0; . Khi đó f x 1 ; f x 0 x 1. x x2 x2 Ta có bảng biến thiên của hàm số Trang 9
10. Khi đó ta có min f x f 1 3 0; Câu 12: Đáp án D log3 m 10m 3 Ta có 10m 3n n mln10 n ln 3 n e 3 n Vậy ln 30 ln 3 ln10 n . m Câu 13: Đáp án B 1 10 10 Vận tốc là v 20 dt C . Khi t 0 thì vận tốc của vật là 30m/s, suy ra v 20 . 2 1 2t 1 2t 1 2t 2 10 Quãng đường s 20 dt 48 . 0 1 2t Câu 14: Đáp án C x 2 2 x 2x 0 x 0 Điều kiện của phương trình x 2 . 2x 3 0 3 x 2 2 2 2 x 3 Ta có: log3 x 2x log3 2x 3 x 2x 2x 3 x 4x 3 0 x 1 Đối chiếu với điều kiện, x 3 thỏa mãn, loại x 1. Vậy phương trình có một nghiệm. Câu 15: Đáp án A   Ta có OA 0;2; 2 , OB 2;2; 4 . Phương trình mặt phẳng OAB là x y z 0 I OAB a b c 0 1    AI a;b 2;c 2 , BI a 2;b 2;c 4 , OI a;b;c . 2 2 2 2 AI BI a c 2 a 2 c 4 a c 4 Ta có hệ 2 AI OI 2 2 2 2 b c 2 b 2 c 2 b c Trang 10
11. a c 4 a 2 a c 4 Từ 1 và 2 , suy ra b c 2 b 0 b c 2 a b c 0 c 2 Vậy I 2;0; 2 T a2 b2 c2 8 . Câu 16: Đáp án B Đường thẳng đi qua điểm M 2; 1;1 và có vectơ chỉ phương u 1;2;2 .    Ta có IM 1; 3;4 IM ,u 14;2;5 IM ,u 15 .  IM ,u 15 Khoảng cách từ I đến đường thẳng là d I, 5 . u 3 2S 2.20 Diện tích tam giác IAB bằng 20 nên AB IAB 8. d I, 5 2 AB 2 2 2 Bán kính mặt cầu S là R d I, 4 5 41. 2 Phương trình mặt cầu S cần lập là x 1 2 y 2 2 z 3 2 41 Câu 17: Đáp án C x 0 x 1 Từ bảng biến thiên ta có hàm số y f x có f x 0 , f x 0 , x 2 x 2 f x 0 0 x 2 và f 0 1, f 2 2. Xét hàm số g x f 2 x 2 ta có g x f 2 x . 2 x 0 Giải phương trình g x 0 . 2 x 2 Ta có g x 0 f 2 x 0 f 2 x 0 0 2 x 2 0 x 2 . 2 x 0 x 2 g x 0 f 2 x 0 f 2 x 0 . 2 x 2 x 0 g 0 f 2 0 2 f 2 2 4 . g 2 f 2 2 2 f 0 2 3 . Bảng biến thiên Trang 11
12. Từ bảng biến thiên ta có Hàm số g x nghịch biến trên khoảng ;0 nên I sai. Hàm số g x đồng biến trên khoảng 0;2 nên II sai. Hàm số g x không đạt cực tiểu tại điểm –2 nên III sai. Hàm số g x đạt cực đại tại x 2 và cực đại bằng –3 nên IV đúng. Câu 18: Đáp án D Gọi h1 , R1 , V1 lần lượt là chiều cao, bán kính đáy, thể tích khối trụ nhỏ mỗi đầu. 2 2 Ta có: V1 h1. .R1 6. .6 216 . Gọi h2 , R2 , V2 lần lượt là chiều cao, bán kính đáy, thể tích của tay cầm. 2 2 Ta có V2 h2. .R2 30 2.6 . .2 72 . Thể tích vật liệu làm nên tạ tay bằng V 2V1 V2 504 . Câu 19: Đáp án A Tập xác định D ¡ \ 1 . Gọi A x; y là điểm cần tìm. Khi đó A là điểm cố định của họ đường cong Cm khi và chỉ khi phương trình x2 2 m 1 x m 2 y x 1 2x 1 m x2 2x 2 xy y 0 1 có nghiệm đúng với mọi m. 1 x 1 2x 1 0 2 Để 1 có nghiệm đúng với mọi m . x2 2x 2 xy y 0 13 y 2 Câu 20: Đáp án A Ta có hai mặt phẳng SAD , SBC vuông góc với nhau suy ra M· SN 90 với M , N là các hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AD và BC . Khi đó H nằm trên đoạn MN . 3 d N; SAB a sin 60 2 d N;SB d N;SB Lại có . 2 d M ; SAB a sin 45 2 d M ;SA d M ;SA Trang 12
13. 1 3 1 1 2 2 2 2 2a d N;SB 4a SN NB Do vậy d N;SB , d M ;SA a 2 . Bên cạnh đó ta lại 3 1 1 1 1 2 2 2 2 d M ;SA 2a SM MA 5 1 1 2 1 1 1 1 1 Do NB MA HK suy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 2 HK 2a . 4a SM SN HK SH HK HK a HK 1 3 1 1 1 1 2a Vậy SN a 2 ; SM 2a SH ; MN a 6 . SN 2 4a2 4a2 SM 2 2a2 4a2 3 1 1 2 2a 4a3 3 Thể tích khối chóp S.ABCD là V .S .SH . a 6 . . S.ABCD 3 ABCD 3 3 3 Câu 21: Đáp án B 1 d B, SCD d A, SCD Ta có sin 2 SB SB ax 2 2 ax 1 Lại có d A, SCD , SB x a . Suy ra 2 2 x a . x2 a2 a x 2 Câu 22: Đáp án C Đặt 4x t t 0 . Phương trình đã cho trở thành t 2 12t m 0 . 1 Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực x1 , x2 trái dấu, tức là x1 0 x2 thì phương trình 1 có hai nghiệm dương t1 , t2 thỏa mãn t1 1 t2 . * Ta có: 36 m 0 m 36 . t1 t2 12 Theo định lí Vi-ét . t1.t2 0 Từ t1 1 t2 t1 1 t2 1 0 t1.t2 t1 t2 1 0 m 11 0 . Vậy 0 m 11. Câu 23: Đáp án B Giả sử M x0 ; y0 là tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị hàm số C . 2 Suy ra y x0 6x0 6x0 12 là hệ số góc của tiếp tuyến. Hệ số góc của đường thẳng d là k 12 . 2 x0 0 y0 1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng d suy ra y x0 k 6x0 6x0 12 12 . x0 1 y0 12 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C tại M1 0;1 là y 12x 1. Trang 13
14. a 12 Suy ra 2a b 23. b 1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C tại M 2 1; 12 là y 12x (loại do trùng với đường thẳng d: 12x y 0 ) Câu 24: Đáp án C 2ln x u ln2 x du dx Đặt x dv dx v x m m m Khi đó I x.ln2 x 2 ln xdx m.ln2 m 2 ln xdx m.ln2 m 2J . 1 1 1 1 u ln x du dx m m Đặt x J x.ln x dx m.ln m m 1 dv dx 1 1 v x Suy ra I m.ln2 m 2m.ln m 2 m 1 m.ln m ln m 2 2 m 1 . m Theo bài ra ta có ln2 xdx m.ln m ln m 2 21000 1 m.ln m ln m 2 2 m 1 m.ln m ln m 2 21000 2 m 1 21000 m 1 2999 m 2999 1. Câu 25: Đáp án A Ta nhận thấy đạo hàm của hàm số y f x là không xác định tại x0 1; nhưng tồn tại các đạo hàm trái f x f 1 f x f 1 và đạo hàm phải tại điểm x0 1; tức là lim f 1 và lim f 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Các giá trị đạo hàm này lần lượt là hệ số góc của hai tiếp tuyến. Dễ dàng suy ra được tam giác mà hai tiếp tuyến tạo với Ox có một góc bằng 60° và một góc bằng 75°. f 1 f 1 tan 60 tan 75 2 Suy ra f 1 f 1 tan 75 tan 60 2 f x f 2 x f x f 1 f 1 f 2 x f x f 1 f 1 f 2 x A lim lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f 1 f 2 x f 1 f x f 1 f 2 x f 1 A lim lim lim lim x 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 1 x 1 2 x 1 Đặt t 2 x ; nhận thấy khi x 1 thì t t . Trang 14
15. f t f 1 Suy ra A f 1 lim f 1 f 1 2 (do A 0 ). x 1 t 1 Câu 26: Đáp án A 1 22021 1 Ta có: m log2 log2 2 log2 log2 2 log2 2021 2021. 2 Khi đó xét phương trình f x x2021 x 20212021 0. Ta có f x 2021x2020 1 0 do đó hàm số f x đồng biến trên ¡ nên phương trình xm x mm có nghiệm duy nhất. Câu 27: Đáp án A n 10 Sau 10 tháng số tiền ông A có được là S1 A1 1 r1 500. 1 0,004 (triệu đồng). 10 Sau khi gửi thêm 300 triệu thì số tiền ông A là A2 500. 1 0,004 300 (triệu đồng). 14 tháng sau số tiền ông A là S A 1 r n A 500. 1 0,004 10 300 . 1 0,005 14 879,6935105(triệu đồng). 2 2 2 2 Vậy sau 2 năm số tiền ông A là 879693510 (đồng). Câu 28: Đáp án C Gọi số phức z x yi z x yi x, y ¡ . x yi 4 3i 2 x 4 3 y i 2 x2 8x 16 9 6y y2 4 x2 y2 8x 6y 21 0 1 1 là phương trình đường tròn có tâm I 4;3 , R 2 . Câu 29: Đáp án A Từ giả thiết ta có AC SC 2 SA2 a AB ABC là tam giác cân tại A. Gọi E, F lần lượt là trung điểm SB, BC AF  BC AF  SBC SB  AE , SB  AF SB  AEF SB  EF SF FB FC SBC vuông tại S. Ta có AF là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC nên tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì BC SC 2 SB2 a 3 nên bán kính mặt cầu là R OA OB a . 4 a3 Suy ra thế tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là V . S.ABC 3 Câu 30: Đáp án A Trang 15
16. Ta đặt ·AKI , E· KI  . min d A, AE AK sin  Khi đó max d A, AD AK sin  Ta có I 2;1;0 và J 0;1;0 nên K 4;1;0 . 1 1 sin sin  26 2 Ta tính được ; và AK 26 . 5 3 cos cos  26 2 5 3 5 3 Do vậy min d A, AE AK sin  ; max d A, AD AK sin  . 2 2 Vậy M m 5 . Câu 31: Đáp án A Điều kiện n ¥ , n 2 . 1 2 n n 1 2 n 1 Ta có 5Cn Cn 5 5n 5 n 11n 10 0 2 n 10 Do n 2 n 10 10 10 k 10 1 10 k 1 10 k Xét khai triển 2x C k 2x . C k 2x x10 3k . 2  10 2  10 x k 0 x k 0 Hệ số a của x4 trong khai triển tương ứng với 10 3k 4 k 2 . 2 8 Vậy hệ số cần tìm là a C10.2 11520 . Câu 32: Đáp án C 1 1 Ta có g x f x2 2x 3 x2 2x 2 x 1 . 2 2 x 2x 3 x 2x 2 Ta có: 1 1 1 1 0 ; x2 2x 3 x2 2x 2 . x2 2x 3 x2 2x 2 x2 2x 3 x2 2x 2 1 2 Do đó phương trình g x 0 chỉ có trường hợp duy nhất đó là x 1. Lập trục xét dấu ta suy ra hàm số g x đồng biến trên khoảng ; 1 . Câu 33: Đáp án A 2 2 2 2 Ta có: xf x dx xdf x xf x f x dx 2. f 2 0. f 0 S S 2 1 2 0 0 0 0 Câu 34: Đáp án A Trang 16
17. a b c a b c a b c 2 Tâm mặt cầu là điểm I ; ; . Ta có x1 y1 z1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Tâm I của mặt cầu luôn thuộc mặt phẳng P : x y z 1 0 . 2020 1 2021 1 3 Khi đó d M , P . 3 3 Câu 35: Đáp án A f 3 x . f x 1 Từ giả thiết 1 f 3 2 . f x 2 2 2 2 2 Ta có: 1 f 3 x . f x f x f 3 x . f x f x 1 3 xf x 3 1 x 3 3 1 + Tính I dx xd dx 1 J 2 1 f x 1 f x 0 1 f x 0 1 f x 0 0 3 1 t 3 x 0 1 3 1 3 1 + Tính J dx dt dt dx 0 1 f x 3 1 f 3 t 0 1 f 3 t 0 1 f 3 x 3 1 3 1 3 3 2J dx dx dx f 3 x . f x 1 3 J 0 1 f x 0 1 f 3 x 0 2 3 xf x 1 Vậy I dx 2 2 2 0 1 f 3 x . f x Câu 36: Đáp án A 1 Thể tích lượng nước có trong thùng là V .0,52.2 . n 8 16 Do khi thả khối cầu vào thì mực nước dâng lên cao gấp ba lần mực nước ban đầu khi chưa thả khối cầu 3 nên V 3V V 2V R 3 . c n n n 8 32 2 2 Vậy Sxq 4 R 2,59m . Câu 37: Đáp án B Điều kiện z1 2 3i ; z2 1 i . z1 i Ta có 1 z1 i z1 2 3i x1 y1 1 i x1 2 y1 3 i z1 2 3i 2 2 2 2 x1 y1 1 x1 2 y1 3 x1 y1 3 0 Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z1 thuộc đường thẳng : x y 3 0 z2 i Ta có 2 z2 i 2 z2 1 i x2 y2 1 i 2 x2 1 y2 1 i z2 1 i Trang 17
18. 2 2 2 2 2 x2 y2 1 2 x2 1 y2 1 x2 4x2 2y2 3 0 2 2 Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z2 là đường tròn C : x y 4x 2y 3 0 có tâm I 2; 1 và bán kính R 22 1 2 3 2 . Khoảng cách từ I đến là 2 1 3 d I; 3 2 R Đường thẳng và 12 1 2 đường tròn C không có điểm chung. Ta có: z1 z2 MN , suy ra z1 z2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MN nhỏ nhất. Dễ thấy min MN 3 2 2 2 2 khi M 1;2 , N 1;0 Vậy z1 z2 nhỏ nhất bằng 2 2 khi z1 1 2i ; z2 1 Khi đó x1 x2 y1 y2 1 2 1 2 . Câu 38: Đáp án B Đường thẳng d đi qua điểm A 3;20 và có hệ số góc m có phương trình y m x 3 20 . Xét phương trình hoành độ giao điểm x3 3x 2 m x 3 20 x 3 x2 3x 6 m x 3 0 x 3 2 x 3 x 3x 6 m 0 2 g x x 3x 6 m 0 Yêu cầu bài toán tương đương g x có hai nghiệm phân biệt khác 3 15 15 4m 0 m 4 . g 3 24 m 0 m 24 Câu 39: Đáp án C 2 2 Ta có diện tích hình thoi ABCD là SABCD 2 3a SABC 3a . Theo giả thiết SO  SBCD . Kẻ OK  AB , OH  SK AB  SOH AB  OH OH  SAB . a 3 Ta có: d C, SAB 2d O, SAB 2 a 3 d O, SAB OH . 4 Trang 18
19. 1 1 1 4 1 1 1 4 Khi đó: . OK 2 OA2 OB2 3a2 OS 2 OH 2 OK 2 a2 1 1 a a3 3 Vậy V S .SO . 3a2. . S.ABC 3 ABC 3 2 6 Câu 40: Đáp án C S có tâm I 1; 2;3 và bán kính R 4 Gọi H là hình chiếu của I lên P 2.1 2 2.3 m m 6 Khi đó IH d I, P 22 12 2 2 3 4 3 Đường tròn T có chu vi là 4 3 nên có bán kính là r 2 3 . 2 P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn T có chu vi bằng 4 3 IH R2 r 2 m 6 m 6 6 m 12 16 12 m 6 6 . 3 m 6 6 m 0 Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Câu 41: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm 8x 27x3 m . Giả sử đường thẳng y m cắt đường cong C trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục, tọa độ tại các 8a 27a3 m điểm có hoành độ 0 a b , ta có 1 và gọi F x là một nguyên hàm của hàm số 3 8b 27b m f x 8x 27x3 m . 27x4 Ta có F x 4x2 mx C và quan sát hình vẽ có các diện tích hình phẳng kẻ caro và gạch sọc 4 lần lượt là a a S f x dx f x dx F 0 F a 1 0 0 b b S f x dx f x dx F b F a 2 a a 27b4 Vì S S F 0 F a F b F a F b F 0 4b2 mb 0 2 1 2 4 27b4 4 Rút m 8b 27b3 từ 1 thay vào 2 , ta có 4b2 8b 27b3 b 0 81b4 16b2 0 b 4 9 (vì b 0 ) Trang 19
20. 32 Thay ngược lại 1 , ta được m 1,185 . 27 Câu 42: Đáp án B Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. Do SAB  ABCD nên SH  ABCD . Xét tam giác SAH vuông tại H có a2 a 15 SH SA2 AH 2 4a2 . 4 2 2 Diện tích đáy là SABCD a 1 a3 15 Thể tích khối chóp là V .S .SH . S.ABCD 3 ABCD 6 Câu 43: Đáp án A Do ABC vuông cân tại B nên AC 2a AB a 2 . 2 IB 2 Đồng thời d I; ABC d S; ABC (do ) 3 BS 3 2 Suy ra V V I .ABC 3 S.ABC 1 Mặt khác S S (do J là trung điểm BC) AJC 2 ABC Ta có 1 1 2 1 1 1 1 a3 V V V . V . SA.S a. AB2 AIJC IAJC 2 IABC 2 3 S.ABC 3 3 ABC 9 2 9 Câu 44: Đáp án C Số cực trị của hàm số y f x bằng số cực trị của hàm số y f x cộng với số giao điểm (khác cực trị) của hàm số y f x với trục hoành. Xét hàm số y f x x4 8x3 22x2 24x 6 2 ta có x 1 3 2 f x 4x 24x 44x 24 f x 0 x 2 x 3 Ta có bảng biến thiên Trang 20
21. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 cực trị và phương trình f x 0 có bốn nghiệm phân biệt nên hàm số y f x có 7 điểm cực trị. Câu 45: Đáp án B Ta có: 26y3 3 2y x x3 3xy x y 3y 3 3 3y x y 3 3 x y 1 Dễ thấy h t t3 3t đồng biến trên ¡ nên 2 1 3y x y 2y x P 2x 2 1 x , 1 x 1 x 2 P 2x ln 2 2 1 x ln 2 . Nếu 1 x 0 thì P 0 . 1 x 2 2x 2 1 x Xét 0 x 1: Ta có: P 0 g x g 1 x2 * x 1 x2 2t 2t ln 2 1 Xét g t , t 0;1 có g t 2 t 0 , t 0;1 hay y g t nghịch biến trên 0;1 . t t ln 2 1 Khi đó * x 1 x2 x 2 1 1  2 Suy ra max P max P 1 ; P 1 ; P  2.2 . Vậy a b c 2 a b c 2 . 2  Câu 46: Đáp án C Số điểm cực trị của hàm số y x3 6x2 9 m x 2m 2 bằng số điểm cực trị của hàm số y x3 6x2 9 m x 2m 2 cộng với số nghiệm của phương trình x3 6x2 9 m x 2m 2 0 . Xét hàm số y g x x3 6x2 9 m x 2m 2 . Ta có g x 3x2 12x 9 m . 2 Yêu cầu bài toán tương đương phương trình 3x 12x 9 m 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho y x1 .y x2 0 . * Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu là 2m 4 2 y 2 x m 4 m 2 x 2 . 3 3 3 9 3m 0 2 Ta có * 2m m 3 . 2 x1 2 x2 2 0 3 Vậy các giá trị của m thỏa mãn là 2; 1;0;1; ;2019. Câu 47: Đáp án A Trang 21
22. 4 Cách 1: Không gian mẫu n  C15 . Tính biến cố bù như sau: Xét số cách chọn 4 đỉnh không tạo thành tứ diện. Có 2 trường hợp + Trường hợp 1: Chọn 3 điểm thẳng hàng, có 25 cách. Chọn điểm còn lại, có 12 cách. Vậy có 25.12 300 cách. + Trường hợp 2: Chọn 4 điểm thuộc 1 mặt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng. - Có 10 mặt chứa 7 điểm: Mỗi mặt 11 cách chọn. Suy ra có 110 cách. - Có 15 mặt chứa 5 điểm, mỗi mặt 1 cách chọn. Suy ra có 15 cách. Tổng 300 110 15 425 cách. 425 188 Vậy xác suất để 4 điểm được chọn là bốn đỉnh của một tứ diện là 1 4 . C15 273 Cách 2: Mặt phẳng chứa 1 đỉnh của tứ diện và 1 đường trung bình của mặt đối diện, suy ra có 5 điểm 4 thuộc mỗi mặt (đỉnh, 2 trung điểm, cạnh và 2 trọng tâm) và có 12 mặt loại này. Vậy có 12C5 (bộ). 4 4 4 4 6.C7 4C7 3C5 12C5 188 Vậy xác suất để 4 điểm được chọn là bốn đỉnh của một tứ diện là 1 4 . C15 273 Câu 48: Đáp án B Đặt z a bi z 1 i 1 a 1 2 b 1 2 1 a2 b2 2a 2b 1. Khi đó 3 z 2 z 4 4i 3 a2 b2 2 a 4 2 b 4 2 3 2a 2b 1 2 a2 b2 8a 8b 32 3 2a 2b 1 2 2a 2b 1 8a 8b 32 3 2a 2b 1 2 6a 6b 31 2 3 6a 6b 3 2 6a 6b 31 3 22 6a 6b 3 6a 6b 31 14 . a2 b2 2a 2b 1 5 a b 2 2 Dấu “=” xảy ra khi 6a 6b 3 6a 6b 31 2 z a b 2. 2 2 3 2 a b 4 Câu 49: Đáp án C * Từ công thức xác định dãy un suy ra un 0 , n ¥ 2un .un 1 1 1 1 1 * Ta có: un 2 , n ¥ un un 1 un 2 2 un 1 un 1 1 1 Đặt vn , ta được v1 1; v2 và vn 2 vn 1 vn un 2 2 1 1 v v v v , n ¥ * n 2 2 n 1 n 1 2 n 1 1 v v v v 1, n ¥ * n 1 2 n 2 2 1 Trang 22
23. 1 v v 1, n ¥ * n 1 2 n 2 1 2 * vn 1 vn , n ¥ 3 2 3 1 w 2 1 3 Đặt wn vn wn là một cấp số nhân với 3 1 q 2 n 1 1 1 wn . 3 2 n 1 1 1 2 vn 3 2 3 1 un n 1 1 1 2 3 2 3 1 3 Vậy limun lim n 1 . 1 1 2 2 3 2 3 Câu 50: Đáp án A Gọi I x0 ; y0 ; z0 là tâm mặt cầu. Theo giả thiết, ta có 2sin a cos a x0 2sin a cos a y0 6 cos az0 sin a 3cos a 2 R 2 2sin a cos a 2 2sin a cos a 2 6 cos a 2sin a cos a x0 2sin a cos a y0 6 cos az0 sin a 3cos a 2 2 2 Ta tìm x0 , y0 , z0 sao cho 2sin a cos a x0 2sin a cos a y0 6 cos az0 sin a 3cos a 0 , a 2x0 2y0 1 sin a x0 y0 6z0 3 cos a 0 , 2x0 2y0 1 0 2 2 a R . 2 x0 y0 6z0 3 0 2 2 Trang 23