Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Mã đề: 22 - Năm học 2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán - Mã đề: 22 - Năm học 2021 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 22 ĐỀ LUYỆN ĐIỂM 10 (Đề thi có 06 trang) Môn: Toán (Đề có lời giải) Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Hàm số y log7 3x 1 có tập xác định là: 1 1 1 A. ; . B. ; . C. 0; . D. ; . 3 3 3 Câu 2. Trong A, B lần lượt là diểm biểu diễn các số phức z1,z2 . Trọng tâm G của tam giác OAB là điểm biểu diễn số phức như trong hình vẽ. Giá trị 2 2 2 z1 z2 z3 bằng: 79 196 A. . B. . 9 9 49 97 C. . D. . 4 4 Câu 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Số điểm cực đại của hàm số đã cho bằng: A. 1.B. 2.C. 3.D. 0. 1 Câu 4. Cho F x là một nguyên hàm của f x trên 0;1, biết F 1 2 và x 1 F x dx 1. Giá trị 1 1 2 tích phân S x 1 f x dx là: 1 A. S 6. B. S 3. C. S 2. D. S 9. Câu 5. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 1 Đồ thị hàm số y có bao nhiêu tiệm cận đứng? f 2020 x 2 Trang 1
2. A. 2.B. 3.C. 1.D. 0. Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P : 3x 2y 2z 5 0 và Q : 4x 5y z 1 0 . Các  điểm A, B phân biệt cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q . Khi đó AB cùng phương với vectơ nào sau đây?  A. w 3; 2;2 . B. v 8;11; 23 . C. k 4;5; 1 . D. u 8; 11; 23 . Câu 7. Giá trị lớn nhất M của hàm số y f x x5 5x3 20x 2 trên đoạn  1;3 là: A. M 26. B. M 46. C. M 46. D. M 50. 1 Câu 8. Cho log 1 a . Khẳng định nào sau đây đúng? 2 5 5a 2 1 1 A. log 25 log 5 . B. log 5 a. C. log 4 . D. log log 3a. 2 2 2 2 5 a 2 5 2 25 Câu 9. Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, V1 là thể tích tứ diện A’ABD. Hệ thức nào sau đây đúng? A. V 3V1. B. V 4V1. C. V 6V1. D. V 2V1. Câu 10. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng a 3 . Thể tích khối chóp A’.ABCD bằng: a3 2 2a3 A. 2 2a3. B. . C. a3. D. . 3 3 Câu 11. Cho các phát biểu sau: (1): Hàm số y f x đạt cực đại tại x0 khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua x0 . (2): Hàm số y f x đạt cực đại tại x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm. (3): Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì x0 không phải là cực trị của hàm số đã cho. (4): Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 . (5): Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . Số phát biểu đúng là: A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. x2 Câu 12. Cho hàm số g x t sin tdt xác định với mọi x 0 . Tính g ' x được kết quả: x sin x sin x A. g ' x x2 sin x2 . B. g ' x 2x2 sin x2 . 4 x 2 4 x sin x sin x C. g ' x 2x2 sin x2 . D. g ' x x2 sin x2 . 4 x 2 4 x mx 4 Câu 13. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y nghịch biến khoảng 1; là: x m Trang 2
3. A. 1 m 2. B. 1 m 2. C. 2 m 2. D. 0 m 2. Câu 14. Thể tích của khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2 a2 là: a3 3 a3 3 a3 3 A. a3 3. B. . C. . D. . 3 6 2 Câu 15. Cho mặt cầu S O;r và một điểm A với OA R . Từ A dựng các tiếp tuyến với mặt cầu S O;r , gọi M là tiếp điểm bất kì. Tập hợp các điểm M là: A. một hình nón.B. một đường tròn.C. một đường thẳng.D. một mặt phẳng. Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 3;2 . Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua M và cắt các trục tọa độ tại A, B, C thỏa mãn OA OB OC 0 ? A. 1.B. 2.C. 3.D. 4. x 0;y 0 Câu 17. Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ x y 1 nhất của biểu thức P 4x2 3y 4y2 3x 25xy . Khi đó có giá trị bằng: 1983 215 A. 46.B. . C. . D. 108. 16 2 Câu 18. Có một mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với AB 4a, AD 2a . Người ta đánh dấu M là trung điểm của AB, N và P là các điểm thuộc CD sao cho DN CP a . Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh BC trùng với cạnh AD tạo thành một hình trụ. Thể tích của tứ diện AMNP với các đỉnh A, M, N, P nằm trên hình trụ vừa tạo thành bằng: 4a3 8a3 16a3 32a3 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 3 2 3 2 Câu 19. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và a 0 . Giả sử rằng với mọi x 0;a , ta có f x 0 và a dx f x f a x 1. Giá trị tích phân I là: 0 1 f x a a A. I . B. I 2a. C. I . D. I a ln a 1 . 2 3 Câu 20. Trên mặt phẳng phức, tập hợp các số phức z x yi thỏa mãn z 2 i z 3i là đường thẳng có phương trình: A. y x 1. B. y x 1. C. y x 1. D. y x 1. Câu 21. Cho hàm số f x x3 3x m 2 . Có bao nhiêu số nguyên dương m 50 sao cho với mọi bộ ba số thực a,b,c  1;3 thì f a , f b , f c là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn? A. 0.B. 5.C. 2.D. 1. Trang 3
4. m n x2 mx 1 Câu 22. Biết đồ thị hàm số y (m, n là tham số) nhận trục hoành và trục tung làm hai x2 mx n 6 đường tiệm cận. Giá trị của tổng bằng: A. 6.B. 6. C. 8.D. 12. Câu 23. Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm tới cấp hai trên ¡ và f 0 0, f 2 2, f ' 0 1 và 2 2 x2 3x 2 f '' x dx 10 . Giá trị tích phân I f x dx là: 0 0 A. 2. B. 5. C. 2.D. 5. Câu 24. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho. Thể tích khối tứ diện OO’AB theo a là: 3a3 3a3 3a3 3a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 6 12 8 4 Câu 25. Cho a là số thực dương a 1. Biết bất phương trình 2 loga x x 1 có nghiệm đúng với mọi x 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a 7;8 . B. a 3;5. C. a 2;3 . D. a 8; . Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z 2i 1 i z là một đường tròn. Tọa độ tâm I của đường tròn là: A. I 0;1 . B. I 1;0 . C. I 0; 2 . D. I 1;0 . Câu 27. Cho a log7 12 và b log12 14 . Biểu diễn c log84 54 theo a và b, ta được kết quả: 2a 5 1 ab a 1 a 1 3a 5 1 ab A. c . B. c . C. c . D. c . a 1 3a 5 1 ab 3a 5 1 ab a 1 Câu 28. Hàm số y f x có f 2 f 2 0 và y f ' x như hình vẽ. 2 Hàm số g x f 3 x nghịch biến trên khoảng nào? A. 2;2 . B. 1;2 . C. 2;5 . D. 5; . Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 4;2; 6 , B 2;4;1 . Gọi d là đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABO sao cho tổng khoảng cách từ A, B đến d là lớn nhất. Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d? A. u 13;8; 6 . B. u 13;8; 6 . C. u 13;8;6 . D. u 13;8;6 . x 1 y 2 z Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P chứa d : và tạo với trục Oy một 1 1 2 góc lớn nhất. Phương trình mặt phẳng P có dạng P : x by cz d 0 . Giá trị b c d là: A. 5.B. 9.C. 10.D. 12. Trang 4
5. Câu 31. Có 12 bạn học sinh trong đó có đúng một bạn tên A và đúng một bạn tên B. Xếp ngẫu nhiên 12 học sinh vào một bàn tròn và một bàn dài mỗi bàn 6 học sinh. Xác suất để hai bạn A và B ngồi cùng bàn và cạnh nhau bằng: 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 10 5 12 6 3 f f x Câu 32. Cho hàm số f x x3 3x2 x . Phương trình 1 có bao nhiêu nghiệm thực phân 2 2 f x 1 biệt? A. 4 nghiệm.B. 9 nghiệm.C. 6 nghiệm.D. 5 nghiệm. 2 Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho điểm A 2;2;2 và mặt cầu S : x2 y2 z 1 4 . Từ điểm A kẻ 3 tiếp tuyến AB, AC, AD với mặt cầu S , trong đó B, C, D là các tiếp điểm. Phương trình mặt phẳng BCD là: A. 2x 2y z 5 0. B. 2x 2y z 1 0. C. 2x 2y z 1 0. D. 2x 2y z 3 0. 3 2 Câu 34. Cho cấp số nhân un thỏa mãn u2 100u1 1 . Đặt f x x 3x . Biết f logu2 4 f logu1 . 2020 Số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho un 10 là: A. 1012.B. 2020.C. 2019.D. 1011. 1 1 x 2 x ln 1 x Câu 35. Cho tích phân I dx a ln b c thì giá trị của a b c là: x 1 e 1 2 23 17 31 23 A. a b c . B. a b c . C. a b c . D. a b c . 8 8 8 8 Câu 36. Gọi m là số thực dương sao cho đường thẳng y m 1 cắt đồ thị hàm số y x 4 3x2 2 tại hai điểm A, B thỏa mãn tam giác OAB vuông tại O (O là gốc tọa độ). Kết luận nào sau đây đúng? 7 9 1 3 3 5 5 7 A. m ; . B. m ; . C. m ; . D. m ; . 4 4 2 4 4 4 4 4 Câu 37. Cho hàm số y x3 ax2 bx c . Giả sử A, B là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Biết rằng AB đi qua gốc tọa độ. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P abc ab c là: 25 16 A. 9. B. . C. . D. 1. 9 25 2 2 Câu 38. Giá trị của m để bất phương trình 1 log5 x 1 log5 mx 4x m thỏa mãn với mọi x ¡ là: A. 1 m 0. B. 1 m 0. C. 2 m 3. D. 2 m 3. Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 1;2;1 , B 3; 1;1 và C 1; 1;1 . Gọi S1 là mặt cầu có tâm A, bán kính bằng 2; S2 và S3 là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính bằng 1. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu S1 , S2 , S3 ? Trang 5
6. A. 5.B. 7.C. 6.D. 8. x 2 y 1 z Câu 40. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và hai điểm A 2;0;3 , B 2; 2; 3 . 1 2 3 Biết M a;b;c điểm thuộc d thỏa mãn MA4 MB4 nhỏ nhất. Giá trị biểu thức 2a 3b c bằng: A. 1. B. 1. C. 0.D. 2. Câu 41. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các hình phẳng A , B lần lượt bằng 3 2 và 7. Tích phân cos x. f 5sin x 1 dx bằng: 0 4 A. . B. 2. 5 4 C. . D. 2. 5 Câu 42. Cho hình chóp tam giác có đáy là một tam giác vuông cân, cạnh huyền bằng 10 m sao cho các cạnh bên của chóp hợp với đáy các góc 45,45,60 . Khi đó thể tích của khối chóp nằm trong khoảng nào sau đây? A. 40;45 . B. 35;40 . C. 45;50 . D. 50;55 . Câu 43. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a và góc B· AC 120 , cạnh bên BB' a . Gọi I là trung điểm CC’. Côsin góc giữa hai mặt phẳng ABC và AB' I là: 30 30 3 10 A. . B. . C. . D. . 10 3 10 3 Câu 44. Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm là: 1 2 4 2 A. V m3 . B. V m3 . C. V m3 . D. V m3 . 9 9 27 27 Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z i 2 z 2i . Giá trị của biểu thức E M2 m2 là: 49 9 81 A. E . B. E . C. E 20. D. E . 2 2 2 Câu 46. Cho hàm số y f x ax2 bx c có đồ thị C như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f 2 x m 2 f x m 3 0 có 6 nghiệm phân biệt? A. 1.B. 4. C. 3.D. 2. Trang 6
7. Câu 47. Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị như hình vẽ. Gọi m là số nghiệm thực của phương trình: f 4 f x 7 12 f x 24 8 4 f x . Khẳng định nào sau đây đúng? A. m 1. B. m 3. C. m 5. D. m 7. Câu 48. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Xác suất để lấy được số chia hết cho 1111 là: 8 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 35 2520 630 105 1 Câu 49. Cho các hàm số y x3 và y x 3 cùng xét trên có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi các điểm A và B lần lượt nằm trên các đồ thị đó sao cho AOB là tam giác đều. Biết rằng tồn tại hai tam giác như S2 vậy với diện tích lần lượt là S1 và S2 trong đó S1 S2 . Tỷ số S1 bằng: A. 97 56 3. B. 7 4 3. C. 26 15 3. D. 91 40 3. Câu 50. Phương trình log2 cot x tan x 1 cos2x sin 2x với x 0; có bao nhiêu nghiệm? 4 A. 0.B. 1.C. 2.D. 3. Đáp án 1-A 2-B 3-B 4-A 5-B 6-D 7-D 8-A 9-C 10-B 11-B 12-B 13-B 14-B 15-B 16-C 17-D 18-C 19-A 20-D 21-C 22-D 23-B 24-B 25-A 26-C 27-D 28-C 29-A 30-D 31-D 32-D 33-A 34-A 35-A 36-C 37-B 38-C 39-B 40-B 41-A 42-A 43-A 44-D 45-A 46-C 47-C 48-D 49-A 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A 1 1 Hàm số xác định khi 3x 1 0 x . Tập xác định: D ; . 3 3 Câu 2: Đáp án B Trang 7
8. 4 Ta có: A 3;0 , B 1; 3 G ; 1 . 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 196 Suy ra z1 z2 z3 OA OB OG 3 1 3 1 . 3 9 Câu 3: Đáp án B Hàm số đạt cực đại tại các điểm x 2 . Vậy số điểm cực đại của hàm số đã cho bằng 2. Câu 4: Đáp án A 1 1 1 2 2 2 Ta có: 1 1 1 1 2 1 6 . S x f x dx x dF x F x x 1 x F x dx 1 1 1 Câu 5: Đáp án B Dựa vào bảng biến thiên, ta có f x 2 có 3 nghiệm. 1 Suy ra đồ thị hàm số y có 3 tiệm cận đứng. f 2020 x 2 Câu 6: Đáp án D   Ta có: P  n P 3; 2;2 , Q  n Q 4;5; 1 .  AB  P AB  n P   Do  nên đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: u n Q ;n P 8; 11; 23 . AB  Q AB  n Q   Do AB cũng là một vectơ chỉ phương của AB nên AB / /u 8; 11; 23 Câu 7: Đáp án D Ta có: f ' x 5x 4 15x2 20 . x2 4 f ' x 0 5x 4 15x2 20 0 . Do x2 0 x2 4 x 2 . 2 x 1 Mà x  1;3 nên x 2 . Ta có f 1 26, f 2 46, f 3 50 . So sánh các giá trị ta được giá trị lớn nhất của hàm số là M 50 . Câu 8: Đáp án A 1 log log 5 1 log 5 Đáp án B sai vì theo giả thiết 1 a 2 1 a 2 a . 2 5 2 2 2 Đáp án C sai vì log5 4 log5 2 2 log5 2 . log2 5 a 1 1 Đáp án D sai vì log log log 5 1 log 5 2 log 5 2 log 5 3a . 2 5 2 25 2 2 2 2 1 1 5a Đáp án A đúng vì log 25 log 5 log 52 log 52 2 log 5 log 5 . 2 2 2 2 2 2 2 2 Trang 8
9. Câu 9: Đáp án C Gọi a là cạnh của hình lập phương. 1 1 a3 Khi đó ta có V a3 và V . a2.a . 1 3 2 6 Vậy V 6V1 . Câu 10: Đáp án B Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng a 3 nên có cạnh bằng a. Khối chóp A’.ABCD có chiều cao AA' a , diện tích đáy a2 có thể tích là: 1 1 V .a.a2 a3 . 3 3 Câu 11: Đáp án B Câu 12: Đáp án B Ta gọi F t là nguyên hàm của t sin t . x2 Ta có g x t sin tdt F x2 F x . x 1 sin x g ' x 2x2 F ' x2 F ' x g ' x 2x2 sin x2 . 4 2 x 2 x Câu 13: Đáp án B Tập xác định của hàm số là D ; m  m; . m2 4 m 1 ' 1; 1 2 Ta có y 2 . Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì 2 m . x m m 4 0 Vậy giá trị cần tìm của m là 1 m 2 . Câu 14: Đáp án B 2 2 2 Ta có: Sxq 2 a rl 2 a r.2a 2a r a h a 3 . 1 a3 3 Thể tích của khối nón là V r2h . 3 3 Câu 15: Đáp án B Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên OA. Xét tam giác OMA vuông tại M có: 1 1 1 1 1 1 . MH2 MO2 MA2 MH2 r2 OA2 r2 MH không đổi và H cố định. Vậy M thuộc đường tròn H;MH . Câu 16: Đáp án C Trang 9
10. Giả sử mặt phẳng cần tìm cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c . x y z Điều kiện a,b,c 0 . Phương trình mặt phẳng : 1. a b c 1 3 2 Mặt phẳng đi qua nên : 1 * a b c a b c 1 a b c 2 Theo bài ra OA OB OC 0 a b c 0 . a b c 3 a b c 4 Thay (1) vào (*), ta có phương trình vô nghiệm. 3 Thay (2), (3), (4) vào (*), ta được tương ứng a 4,a 6,a . 4 Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 17: Đáp án D 2 Ta có: P 4x2 3y 4y2 3x 25xy 16 xy 34xy 12 x3 y3 2 2 2 16 xy 34xy 12 x y x y 3xy 16 xy 2xy 12. 2 x y 1 1 1 Ta có: 0 x ;xy 0 x 0 hoặc y 0;xy x y . 4 4 4 2 2 1 Đặt t xy thì P f t 16t 2t 12 với t 0; . 4 1 1 191 1 25 f ' t 32t 2; f ' t 0 t ; f 0 12; f ; f . 16 16 16 4 2 25 191 Vậy M ;m . Do đó M 8m 108. 2 16 Câu 18: Đáp án C Mảnh bìa sau khi được cuốn lại trở thành hình trụ như hình vẽ với A  B, D  C . Ta dễ thấy AM  NP và d AM,NP AD 2a . Khi đó: 1 1 V .AM.NP.d AM,NP .sin AM,NP .AM.NP.AD . AMNP 6 6 2a 4a 16a3 Vì 2 R AB nên R AM NP 2R V . AMNP 3 2 Câu 19: Đáp án A 1 Từ giả thiết, suy ra f a x . f x x 0 t a Đặt t a x dt dx . Đổi cận . x a t 0 Trang 10
11. 0 dt a dt a f t dt a f x dx Khi đó I . 1 f a t 1 f t 1 f x 1 a 0 1 0 0 f t a f x dx a f x dx a a Suy ra 2I I I dx a I . 0 f x 1 0 f x 1 0 2 Câu 20: Đáp án D Từ z x yi z x yi . Do đó x yi 2 i x yi 3i x 2 y 1 i x y 3 i 2 2 2 x 2 y 1 x2 y 3 4x 2y 5 6y 9 y x 1. Câu 21: Đáp án C Đặt g x x3 3x 2 max g x 20;min g x 0 . Khi đó f x m g x .  1;3  1;3 Ta có: f a f b f c ,a,b,c  1;3 m g c g a g b ,a,b,c  1;3 m max g x 2 min g x m 20.  1;3  1;3 2 2 2 f 2 a f 2 b f 2 c ,a,b,c  1;3 m g a m g b m g c ,a,b,c  1;3 m2 2 g a g b g c m g2 a g2 b g2 c 0,a,b,c  1;3 2 m g a g b g c 2g a g b 2g a g c 2g b g c 2g2 c 0,a,b,c  1;3 2 m g a g b g c 2 g a g c g b g c ,a,b,c  1;3 2 2 m g a g b g c 2 max g x min g x ,a,b,c  1;3  1;3  1;3 m max g x 20 2 2 min g x m 49.  1;3  1;3 Câu 22: Đáp án D m n x2 mx 1 Ta có lim y lim m n suy ra y m n là đường tiệm cận ngang. x x x2 mx n 6 Theo giả thiết đồ thị hàm số trên nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận nên ta có: m n 0 m 6 m n 12. n 6 0 n 6 Câu 23: Đáp án B 2 Nhận thấy cần phân tích tích phân x2 3x 2 f '' x dx 10 1 0 Ta sử dụng phương pháp chia làm hai cột để làm tích phân từng phần cho nhanh. + x2 3x 2 f '' x – 2x 3 f ' x + 2 f x Trang 11
12. 0 f x 2 1 2 3 2 ' 2 2 3 2 2 10 x x f x 0 x f x 0 f x dx 0 2 2 2 f ' 0 f 2 3 f 0 2 f x dx 10 f x dx 5. 0 0 Câu 24: Đáp án B Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’ và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D. Do BH  A' D, BH  AA' BH  AOO' A' . A' B AB2 A' A2 a 3 BD A' D2 A' B2 a O' BD đều. a 3 Do O' BD đều nên BH . 2 a2 3a3 Lại có S , suy ra thể tích khối tứ diện OO’AB là V . AOO' 2 12 Câu 25: Đáp án A Cách 1: Đặt f x 2 loga x x 1. f x 2 loga x x 1 0 Ta có x 0 max f x 0 . 0; f 1 0 Suy ra x 1 là điểm cực đại của hàm số f x . 2 Do đó f ' 1 1 0 ln a 2 a e2 7;8 . ln a Cách 2: 2 log 1 log 1  1; 0 . a x x a x x a x Yêu cầu bài toán tương đương đồ thị log không nằm trên đường thẳng 1, 0 1 . y a x y x x a Suy ra đường thẳng phải là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 Do đó y' 1 0 ln a 1 a e2 7;8 . ln a Câu 26: Đáp án C Đặt z x yi x;y ¡ . Ta có: z 2i 1 i z x yi 2i 1 i x yi x y 2 i x y x y i 2 2 2 x2 y 2 x y x y x2 y2 4y 4 0. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I 0; 2 . Câu 27: Đáp án D Trang 12
13. 2 Ta có a log7 12 log7 2 .3 2 log7 2 log7 3 1 . log7 14 log7 7.2 1 log7 2 b log12 14 1 log7 2 ab log7 2 ab 1. log7 12 a a Thay log7 2 ab 1 vào (1) ta được a 2 ab 1 log7 3 log7 3 a 2 ab 1 . 3 log 54 log7 2.3 log 2 3log 3 3a 5 1 ab Do đó c log 54 7 7 7 . 84 log 84 2 2 log 2 log 3 1 1 7 log7 2 .3.7 7 7 a Câu 28: Đáp án C Ta có g ' x 2 f 3 x f ' 3 x . Lập bảng biến thiên của hàm số y f x như sau: Khi đó ta thấy rằng phương trình f x 0 có nghiệm kép không được chọn và bản thân phương trình f 3 x 0 cũng thế. 3 x 2 x 5 Do vậy f ' 3 x 0 3 x 1 x 2. 3 x 2 x 1 Lập trục xét dấu: Từ trục xét dấu, suy ra hàm số g x nghịch biến trên các khoảng ;1 và 2;5 . Câu 29: Đáp án A Ta gọi AE và BF lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B tới đường thẳng d và gọi G là trọng tâm của tam giác ABO. Khi đó AE BF AG BG . Do vậy giá trị lớn nhất của tổng khoảng cách giữa hai điểm A, B tới đường thẳng d là AG BG và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi d là đường thẳng qua G đồng thời vuông góc với AG, BG.    26 16 Do vậy ud AG, BG ; ;4 , ta chọn u 13;8; 6 . 3 3 Câu 30: Đáp án D Trang 13
14. Cách 1: Gọi P là mặt phẳng chứa d và P tạo với Oy góc lớn nhất. Vì P chứa d nên P đi qua điểm M 1; 2;0 . Phương trình mặt phẳng P là P : a x 1 b y 2 cz 0 1 . Điều kiện a2 b2 c2 0 . Vì N 0; 1;2 nên N thuộc P . Do vậy ta có a b 2c 0 hay a b 2c . Thay vào (1) ta được: b 2c x by cz b 2c 0 2 .  Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n P b 2c;b;c , trục Oy có vectơ chỉ phương là j 0;1;0 .  b Gọi là góc của Oy và ta có sin cos , . P j n P 2b2 5c2 4cb Trường hợp 1: b 0 thì 0 . 1 Trường hợp 2: b 0 thì sin . 2 c c 2 5 4 b b c Đặt t , xét hàm số f t 5t2 4t 2 . b 2 c 2 2b Ta có sin lớn nhất khi f t 5t2 4t 2 nhỏ nhất t c . 5 b 5 5 4b 2b 4b Thay vào (2), ta được: b x by z b 0 x 5y 2z 9 0. 5 5 5 Cách 2:   Ta có vectơ chỉ phương của d là vd 1; 1; 2 ; vectơ chỉ phương của Oy là vOy 0;1;0 .   1 2 2 1 1 1 Gọi n v , J ; ; 2;0;1 . 1 0 0 0 0 1    0 1 1 2 2 0 Gọi n là vectơ pháp tuyến của P , suy ra n n,v ; ; 1;5; 2 . P P 1 2 2 1 1 1 Vậy phương trình mặt phẳng P là 1. x 1 5. y 2 2z 0 x 5y 2z 9 0 . Câu 31: Đáp án D 6 Số trường hợp đồng khả năng là n  A12.5!. Gọi A là biến cố hai bạn A và B ngồi cùng bàn và cạnh nhau. Ta có các trường hợp sau: + Trường hợp 1: A và B ngồi bàn dài. - Chọn 2 vị trí trên bàn dài để xếp A và B ngồi cạnh nhau có 5 cách. Xếp A và B có 2 cách. 4 - Chọn 4 bạn trong 10 bạn còn lại để xếp vào 4 vị trí. Có A10 cách. - Xếp 6 bạn còn lại vào bàn tròn. Có 5! cách. Trang 14
15. 4 Trường hợp này có 2.5.A10.5! cách. + Trường hợp 2: A và B ngồi bàn tròn. - Xếp A và B ngồi cạnh nhau. Có 2 cách. 4 - Chọn 4 bạn trong 10 bạn để xếp vào bàn tròn. Có A10 cách. - Xếp 6 bạn còn lại vào bàn dài. Có 6! cách. 4 Trường hợp này có 2.A10.6! cách. 4 4 Suy ra số trường hợp thuận lợi là n A 2.5.A10.5! 2.A10.6!. n A 1 Vậy xác suất cần tìm là P A . n  6 Câu 32: Đáp án D Đặt t f x . Khi đó phương trình trở thành t1 3,05979197 f t 3 2 5 1 t 3t t 0 t 0,8745059057 2t 1 2 2 t3 0,9342978758 3 Xét phương trình x3 3x2 x t 3,05979197 . Bấm máy tính ta được 1 nghiệm. 2 1 3 Xét phương trình x3 3x2 x t 0,8745059057 . Bấm máy tính ta được 3 nghiệm. 2 2 3 Xét phương trình x3 3x2 x t 0,9342978758 . Bấm máy tính ta được 1 nghiệm. 2 3 Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực. Câu 33: Đáp án A S có tâm I 0;0;1 ; bán kính R 2 . Xét tam giác ABI vuông tại B có BI R 2, AI 3. Gọi H BCD  AI 4 Ta có AI  BCD tại H và BI 2 HI.AI IH . 3  Khi đó mặt phẳng BCD có vectơ pháp tuyến n AI và cách I một mp BCD : 2x 2y z d 0 4 1 d 4 d 3 khoảng nên 4 . 3 d I; BCD 3 3 d 5 3 13 BCD : 2x 2y z 3 0 d A; BCD 3 Do vậy . 5 BCD : 2x 2y z 5 0 d A; BCD 3 13 Vì d A; BCD AI nên không thỏa mãn. 3 Trang 15
16. Vậy phương trình mặt phẳng BCD là 2x 2y z 5 0 . Câu 34: Đáp án A u2 Ta có: u2 q.u1 q 100 và đặt a logu1 0,b log q 2 . u1 Khi đó logu2 log qu1 logu1 log q a b . 3 2 Kết hợp với giả thiết, ta có: a b 3 a b 4 a3 3a2 b3 3b2 4 3ab a b 2 0 2 a 0 u1 1 b 2 b 1 3ab a b 2 0 .   b 2 q 100 0 0 n 1 2020 Do đó un 100 10 2 n 1 2020 n 1011 nmin 1012 . Câu 35: Đáp án A 1 x 1 1 Vì hàm số f x x ln là hàm số chẵn và liên tục trên ; nên ta có: 1 x 2 2 1 1 x 1 2 x ln 2 1 x 1 x I dx x ln dx . x 1 e 1 1 x 0 2 2 1 x du u ln x2 1 Đặt 1 x , ta có: . 1 dv xdx v x2 1 2 1 1 2 1 2 1 x 2 3 1 3 1 I x 1 ln dx ln3 a ;b 3;c . 2 1 x 0 8 2 8 2 0 3 1 23 Vậy a b c 3 . 8 2 8 Câu 36: Đáp án C Phương trình hoành độ giao điểm x 4 3x2 2 m 1 x 4 3x2 3 m 0 . Đặt x2 t, t 0 , ta có phương trình t2 3t m 3 0 * Theo giả thiết ta có m 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. Suy ra đường thẳng y m 1 luôn cắt đồ thị hàm số y x 4 3x2 2 tại hai điểm A, B. Vì A, B đối xứng với nhau qua Oy nên A x;m 1 và B x;m 1 .   2 Tam giác OAB vuông tại O OA.OB 0 x2 m 1 . 2 Thay x2 m 1 vào phương trình x 4 3x2 3 m 0 ta được m4 4m3 3m2 3m 5 0 m 1 m3 5m2 8m 5 0 m 1 (do m 0 ). Câu 37: Đáp án B Trang 16
17. 2b 2a2 ab Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: : y x c . 3 9 9 Vì đi qua gốc tọa độ nên ab 9c . 2 2 5 25 25 Thay ab 9c vào P, ta được: P 9c 10c 3c . 3 9 9 Câu 38: Đáp án C 2 2 Ta có: 1 log5 x 1 log5 mx 4x m 2 2 log5 5 log5 x 1 log5 mx 4x m 2 2 log5 5 x 1 log5 mx 4x m . 2 mx 4x m 0 Bất phương trình thỏa mãn với mọi x ¡ 2 2 ,x ¡ 5 x 1 mx 4x m m 0 m 0 m 2 2 2 mx 4x m 0 16 4m 0 m 2 ,x ¡ 2 m 3. 2 5 m 0 5 m x 4x 5 m 0 m 5 2 16 4 5 m 0 m 3 m 7 Lưu ý: Sử dụng dấu tam thức bậc hai không đổi trên ¡ : 2 a 0 f x ax bx x 0,x ¡ . 0 2 a 0 f x ax bx x 0,x ¡ . 0 Câu 39: Đáp án B Gọi phương trình mặt phẳng P tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là ax by cz d 0 (điều kiện a2 b2 c2 0 ). a 2b c d 2 2 2 2 d A; P 2 a b c a 2b c d 2 a2 b2 c2 3a b c d 2 2 2 Khi đó ta có hệ điều kiện sau: d B; P 1 1 3a b c d 2 a b c . a2 b2 c2 d C; P 1 a b c d 2 a2 b2 c2 a b c d 1 a2 b2 c2 3a b c d a b c d a 0 Khi đó ta có: 3a b c d a b c d 3a b c d a b c d a b c d 0 2b c d 2 b2 c2 2b c d 2 b2 c2 c d 0,b 0 Với a 0 thì 4b c d 0 . 2b c d 2 b c d c d 4b,c 2 2b c d 0 Trang 17
18. Do đó có 3 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. 4 2 2 2 b a 3b 2 a b c 3b 4 a 3 Với a b c d 0 thì ta có . 2a a2 b2 c2 2a a2 b2 c2 11 c a 3 Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Câu 40: Đáp án B Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó ta có: 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 AB 2 AB MA MB MA MB 2MA .MB 2MI 2 MI 2 2 AB4 AB4 4.MI 4 2MI 2 AB2 2.MI 4 MI 2 AB2 4 8 4 2 2 4 2 2 AB 2 3AB 4 2.MI 3MI AB 2 MI AB 8 4 Do đó MA4 MB4 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên d.  Điểm I 2; 1;0 . Lấy M 2 t; 1 2t;3t d. IM t;2t;3t .     IM  ud IM.ud 0 t 4t 9t 0 t 0 . Suy ra M  I 2; 1;0 . Vậy 2a 3b c 1. Câu 41: Đáp án A 1 Đặt t 5sin x 1 dt 5cos xdx cos xdx dt . 5 Đổi cận x 0 t 1;x t 4 . 2 2 4 1 1 4 1 1 4 Khi đó cos x. f 5sin x 1 dx f t dt f t dt f t dt f t dt . 0 1 5 5 1 5 1 1 1 1 1 3 f t dt f t dt f t dt 3 1 1 1 1 4 Mặt khác . Vậy I 3 7 . 4 4 4 5 5 7 f t dt f t dt f t dt 7 1 1 1 Câu 42: Đáp án A Gọi I là chân đường cao của chóp và SI h dựa theo góc của các cạnh ta h có: IB IC h;IA 3 IB 3IA IB2 3IA2 . Áp dụng định lí Pi-ta-go cho IHB (với H là trung điểm BC) ta có: Trang 18
19. 2 2 2 a h a 15 3 h h a (với a 10m ). 2 3 4 4 1 1 a2 Vậy V .h. . 44,6 m3 3 2 2 Câu 43: Đáp án A S ABC S ABC cos .S AB'I cos . S AB'I 1 3 S .AB.AC.sin120 a2. ABC 2 4 AB’ là đường chéo hình vuông A' B' BA A' B a 2 . 2 2 2 2 a 5 AI AC IC a a 2 2 B' I C' I 2 B'C'2 C' I 2 BC2 C' I '2 AC2 AB2 2AB.AC.cos120 2 a 2 2 1 13 a a 2 .a.a a 2 2 2 1 1 5 10a2 Theo định lý Pi-ta-go đảo ta thấy AB' I vuông tại A S .AI.AB' a 2.a . AB'I 2 2 2 4 3a2 S 30 Vậy cos ABC 4 . 2 S AB'I 10a 10 4 Câu 44: Đáp án D Giả sử mỗi góc ta cắt đi một hình vuông cạnh x m . 1 Khi đó chiều cao của hộp là x m với 0 x và cạnh đáy của hộp là 2 1 2x m . 2 Thể tích của hộp là V x 1 2x m3 . 2 Xét hàm số f x x 1 2x . 1 x 2 6 1 1 Ta có: f ' x 1 8x 12x , f ' x 0 x 0; . 1 6 2 x 2 Ta có bảng biến thiên f x như sau: Trang 19
20. 2 Vậy thể tích cần tìm là: V m3 . 27 Câu 45: Đáp án A Ta có: z 1 x2 1 y2 với y  1;1 . 2 2 2 2 P z i 2 z 2i x2 y 1 2 x2 y 2 1 y2 y 1 2 1 y2 y 2 2 2y 2 5 4y 2 1 y 2 5 4y Xét hàm số g x 2 1 y 2 5 4y với y  1;1 . 1 4 g ' y . 2 1 y 5 4y 3 g ' y 0 y . 4 3 9 2 g 1 6;g 1 4;g . 4 2 9 2 49 Do đó max P M ;min P m 4 . Suy ra E . 2 2 Câu 46: Đáp án C Phương trình f 2 x m 2 f x m 3 0 . f x 1 1 f x 1 f x m 3 0 . f x 3 m 2 Từ đồ thị hàm số y f x ax2 bx c ta vẽ được đồ thị hàm số y f x . Từ đồ thị hàm số, suy ra phương trình (1) có 2 nghiệm. Để phương trình f 2 x m 2 f x m 3 0 có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt khi đó 1 3 m 3 0 m 4 Trang 20
21. Do m ¢ nên có 3 giá trị m thỏa mãn. Câu 47: Đáp án C t 1 Đặt t 4 f x 7 f t 3t 3 1 t . Khi đó 2 . f t t t 2 Vẽ đồ thị hàm số f x và y t2 t 2 trên hệ trục tọa độ. f x 2 t 1 Phương trình 0 có nghiệm . f t y a 7 t a 3 a 1 f x 4 Nhìn đồ thị, ta xét phương trình f x 2 có 2 nghiệm. a 7 3 a 7 Vì 3 a 1 1 nên phương trình f x có 3 nghiệm. 4 2 4 Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm hay m 5 . Câu 48: Đáp án D Ta có số phần tử của không gian mẫu n  8!. Giả sử số tự nhiên n a1a2a3a4b1b2b3b4 chia hết cho 1111 trong đó a1,a2 ,a3,a4 ,b1,b2 ,b3,b4 thuộc 1;2;3;4;5;6;7;8 . n9 Ta có 1 2 3 4 5 6 7 8 369 n9999 . n1111 4 Đặt x a1a2a3a4 ;y b1b2b3b4 n 10 x y 9999x x y . n9999 x y 9999 . Do 0 x y 2.9999 x y 9999 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b 4 9 . Có 4 cặp số có tổng bằng 9 là 1;8 , 2;7 , 3;6 , 4;5 Có cách chọn cặp số trên, mỗi cặp số có 2 hoán vị nên có 4!.24 số chia hết cho 1111. Gọi A là biến cố “Số tự nhiên được lấy chia hết cho 1111” n A 4!.24 . 1 Xác suất của biến cố A là P A . 105 Câu 49: Đáp án A 1 Các đồ thị hàm số y x3 và y x 3 cùng xét trên 0; đối xứng qua đường thẳng y x . Trang 21
22. Do đó gọi A a;a3 , B a3;a với a 0 , ta có tam giác OAB cân tại O. 2 Để tam giác đều thì OA AB a2 a6 2 a3 a a6 4a4 a2 0 . Vì a 0 nên a2 2 3 . 2 2 3 2 3 2 6 4 S2 a2 Mặt khác ta có: SOAB OA a a a 3 2 97 56 3 . 4 4 S1 a1 Câu 50: Đáp án B cot x 1 Do x 0; nên cot x tan x 0 . 4 0 tan x 1 cos x sin x 2cos2x cot x tan x nên phương trình đã cho tương đương sin x cot x sin 2x 2cos2x log2 1 cos2x sin 2x sin 2x log2 cos2x log2 sin 2x cos2x sin 2x (do 0 sin 2x,cos2x 1,x 0; ) 4 log2 cos2x cos2x log2 sin 2x sin 2x . Xét hàm số f t log2 t t với t 0;1 . 1 Ta có f ' t 1 0,t 0;1 (vì 0 t 1 0 t ln 2 ln 2 ln e 1) t ln 2 1 1 1 1 0 t ln 2 t ln 2 Suy ra hàm số f t đồng biến trên khoảng 0;1 . Suy ra f cos2x f sin 2x cos2x sin 2x tan 2x 1 x . 8 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x . 8 Trang 22