Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Đề B - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử vào Lớp 10 THPT môn Toán - Đề B - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT THANH HểA NĂM HỌC 2013 – 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn ĐỀ B thi: Toỏn Thời gian làm bài: 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề Ngày thi: 12 thỏng 7 năm 2013 Đề thi cú 01 trang gồm 5 cõu Cõu 1 (2.0 điểm): 1. Cho phương trỡnh bậc hai: x2 +2x – 3 = 0, với cỏc hệ số a = 1, b = 2, c = -3 a.Tớnh tổng: S = a + b + c b.Giải phương trỡnh trờn x 3y 2 2. Giải hệ phương trỡnh: 2x 3y 4 Cõu 2 (2.0 điểm): 1 1 y 1 Q : Cho biểu thức: ( Với y > 0; y 1 ) y y y 1 y 2 y 1 a. Rỳt gọn biểu thức Q b. Tớnh giỏ trị biểu thức Q khi y 3 2 2 Cõu 3 (2.0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 2bx + 1 và Parabol (P): y = - 2x2. a. Tỡm b để đường thẳng (d) đi qua điểm B(1;5) b. Tỡm b để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phõn biệt cú hoành độ thỏa 2 2 món điều kiện: x1 + x2 + 4(x1 + x2) = 0. Cõu 4 (3.0 điểm): Cho (O; R) đường kớnh EF. Bỏn kớnh OI vuụng gúc với EF, gọi J là điểm bất kỳ trờn Cung nhỏ EI (J khỏc E và I), FJ cắt EI tại L; Kẻ LS vuụng gúc với EF (S thuộc EF). a. Chứng minh tứ giỏc IFSL nội tiếp. b. Trờn đoạn thẳng FJ lấy điểm N sao cho FN = EJ. Chứng minh rằng, tam giỏc IJN vuụng cõn. c. Gọi (d) là tiếp tuyến tại điểm E. Lấy D là điểm nằm trờn (d) sao cho hai điểm D và I cựng nằm trờn cựng một nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng FE và ED.JF = JE.OF. Chứng minh rằng đường thẳng FD đi qua trung điểm của đoạn thẳng LS. Cõu 5 ( 1.0 điểm): Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món: ab + bc + ca 3. a4 b4 c4 3 Chứng minh rằng: b 3c c 3a a 3b 4 Hết (Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm) Họ tờn thớ sinh: Số bỏo danh: Chữ ký của giỏm thị 1: Chữ ký của giỏm thị 2:
2. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ CHẤM CÂU NễI DUNG ĐIỂM 1a. S = 1 + 2 + (-3) = 0 0.5 1b. Ta cú a + b + c = 0 0.5 Nờn phương trỡnh cú nghiệm x1 = 1, x2 = -3 1. x 3y 2 3x 6 x 2 2. 0.75 2x 3y 4 2x 3y 4 y 0 Vậy hệ pt cú nghiệm duy nhất: (x;y) = (2;0). 0.25 1 1 y 1 a. Q : y y y 1 y 2 y 1 1 1 y 1 : 0.25 2 y y 1 y 1 y 1 2 2. y 1 y 1 y 1 0.75 y y 1 y 1 y 2 b. y 3 2 2 = 2 1 0.25 2 1 1 2 2 Thay vào ta được giỏ trị tương ứng Q 2 0.75 2 1 2 1 a. Để (d) đi qua B(1;5) thỡ ta phải cú: 5 = 2b.1 + 1=> b = 2. 0.25 Khi đú đường thẳng (d) cú phương trỡnh là: y = 4x + 1. b. Để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt thỡ phương trỡnh sau phải cú hai nghiệm phõn biệt: 0.25 2bx + 1= -2x2 2x2 + 2bx + 1 = 0 cú hai nghiệm phõn biệt 2 b – 2 > 0 0.25 2 b hoặc b 2 (*) 3. x x b 1 2 Khi đú theo hệ thức Vi-ột ta cú: 1 x x 1 2 2 0.25 2 2 2 Để x1, x2 thỏa món x1 + x2 + 4(x1+x2) = 0 (x1+x2) +4(x1+x2) -2x1x2= 0 b2 -4b – 1 = 0 Giải phương trỡnh ẩn b ta được b 2 5 , chỉ cú b 2 5 là thỏa món điều 0.25 kiện (*)Vậy b 2 5 Hỡnh vẽ: P I J D L 4 N K E F S O
3. ả 0 a. Ta cú EIF=90 (Gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) 0.25 L IE => LảIF=900 , theo đề bài LS EF => LãSF=900 0.25 Do đú tứ giỏc LSFI nội tiếp được vỡ cú: LảIF+LãSF=1800 0.5 b. Ta cú VIJE = VINF (c.g.g) vỡ: 0.5 EJ = FN ( đề bài), IE = IF (vỡVIEF cõn tại I ) Mặt khỏc: Trong (O) ta cú IảEJ IảFJ ( gúc nội tiếp cựng chắn cung IJ). Suy ra: IJ = IN ( cặp cạnh tương ứng) 0.25 1 Xột VIJN cú IảJN sđ IºF = 450 2 Do đú VIJN vuụng cõn tại I 0.25 c. Gọi K là giao điểm của FD và LS, P là giao điểm của tia FJ và d Theo đề bài ta cú ED.JF = JE.OF, mà OE=OF => ED.JF = JE.OE ED OE 0.25 =>= => VEOD đồng dạng với VIFE => EãOD JãFE , mà chỳng ở vị trớ JE JF đồng vị nờn => OD//JF=> OD//FP(vỡ P FJ) Trong tam giỏc PEF cú OD//PF, OE = OF => OD là đường trung bỡnh của 0.25 VPEF =>DP = DE (1) Mặt khỏc: Theo đề bài ta suy ra EP  EF, SL  EF EP / /SL FL FS LK FK SK Theo hệ quả của định lớ Ta lột ta cú: = = (2) 0.25 FP FE PD FD ED Từ (1) và (2) => LK = LS, hay FD đi qua trung điểm của LS. 0.25 Cho a,b,c 0 thỏa món ab bc ca 3. a4 b4 c4 3 CMR: b 3c c 3a a 3b 4 Cỏch 1: Vỡ a, b, c dương nờn ta cú: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 3 =>a2 + b2 + c2 3 Mặt khỏc theo bđt Bunhiacopxki ta cú a b c 2 12 12 12 a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 a b c 3 a2 b2 c2 (2) 5 a4 b4 c4 0.25 Lại theo bđt Bunhiacopxki ta cú: 4 a b c b 3c c 3a a 3b 4 4 4 a b c 2 2 2 2 b 3c c 3a a 3b a b c . b 3c c 3a a 3b 2 2 2 2 a4 b4 c4 a b c b 3c c 3a a 3b 4 a b c 2 2 2 2 2 2 2 3 a b c 1 a b c 1 33 3 4 3 a2 b2 c2 4 3 4 3 4
4. Đẳng thức xảy ra a b c 1. (Điều phải chứng minh) 4 Cỏch 2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ hai số dương: a và b +3c b +3c ta cú 16 a 4 b +3c a 4 b+3c a2 + 2 . , ( dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1) b +3c 16 b+3c 16 2 0.5 Tương tự ta cũng cú: b4 c +3a b4 c+3a b2 + 2 . . c +3a 16 c+3a 16 2 c4 a +3b c4 a+3b c2 + 2 . . a +3b 16 a+3b 16 2 a 4 b4 c4 b +3c c +3a a +3b a 2 +b2 +c2 3 Suy ra: + + + + + . b +3c c +3a a +3b 16 16 16 2 2 a 4 b4 c4 3 a+b+c => + + - b +3c c +3a a +3b 2 4 ( dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1). Mặt khỏc ỏp dụng BĐT Bunhia: (a + b + c)2 (1 + 1+ 1)(a2 + b2 + c2 ) a + b + c 3 . a 2 b2 c2 - (a + b + c) -3 . a 2 b2 c2 1 1 1 3 (a2 b2 c2 ) - (a b c) (a2 b2 c2 ) - . a 2 b2 c2 2 4 2 4 1 3 VT (a2 b2 c2 ) - .a 2 b2 c2 2 4 Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c = 1 Lại cú: a2 + b2 2ab b2 + c2 2bc c2 + a2 2ca 0.25 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 3 a2 + b2 + c2 3 a 2 b2 c2 3 . a b c Dấu bằng xảy ra khi: a b c 1 ab bc ca 3 Xột hiệu: 3 1 3 3 A =VT - = (a2 b2 c2 ) - .a 2 b2 c2 - 4 2 4 4 Đặt t = a 2 b2 c2 với t 3 1 3 3 1 3 3 3 1 3 A = t2 - t - = ( t2 - t ) + ( t - ) = t .(t - 3 ) + (t - 2 4 4 2 2 4 4 2 4 3 ) 1 3 = (t - 3 ).( t + ) 2 4 3 Do t 3 nờn A 0 VT - 0 4
5. 3 => VT 4 a4 b4 c4 3 Hay Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c =1 b 3c c 3a a 3c 4 Cỏch 3 1 Ta cú : a2 + b2 + c2 – ab –ac – bc = (a b)2 (b c)2 (c a)2  0 2 a 2 b2 c2 3 nờn : a2 +b2 +c2 ab +ac +bc ≥ 3 (1) 4 4 đẳng thức xảy ra khi a = b = c và: 2 2 2 2 2 2 a b c 2a 2b 2c 3 (a 1) (b 1) (c 1) 0 a 2 b 2 c 2 2 a b c 3 0 a 2 b 2 c 2 3 a b c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 2 a 2 b 2 c 2 2.3 1 a b c a 2 b 2 c 2 3 a 2 b 2 c 2 3 3 3 2 a 2 b 2 c 2 1 (2) a b c đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta cú : 2 2 2 a2 b2 c2 2 2 2 b 3c c 3a a 3b b 3c c 3a a 3b 2 a2 b2 c2 2 a4 b4 c4 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 g (*) b 3c c 3a a 3b 4(a b c) 4 a b c a4 b4 c4 3 Kết hợp (1) (2) và (*) ta cú: b 3c c 3a a 3b 4 đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1